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8.6 空间直线、平面的垂直（1）（精炼）
【题组一 线面垂直】
1．（2021·海原县第一中学高一期末）如图，已知⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E．求证：平面PBC．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：由AB是⊙O的直径，
得.
又⊙O所在平面
⊙O所在平面内
所以，又，
所以面PAC，面PAC.
所以，又，，
所以平面PBC．
2．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体中，E为的中点，.求证：
（1）平面；
（2）平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）在正方体中，平面，
平面，，
，，
平面；
（2）连接，
在正方体中，且，
四边形是平行四边形，且，
分别为中点，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面.
3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体中，点为底面的中心，点为的中点，求证：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：在正方形中，，
平面，平面，可得，
而，可得平面，
而平面，则，
在直角三角形和直角三角形中，
，，，
，，即，即，
又，而，则平面．
4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在四面体中，棱，其余各棱长都为1，为的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）由已知可得，为的中点．
所以，，又，
所以平面．
（2）由，其余各棱长都为1，
可得，，
由为的中点．可得，
因为，所以，
所以，又，，
所以平面．
5．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方体．
（1）直线与平面是否垂直？为什么？
（2）直线与平面是否垂直？为什么？
（3）直线与平面是否垂直？为什么？
（4）直线与平面是否垂直？为什么？
【答案】（1）垂直，证明见解析；（2）垂直，证明见解析；（3）不垂直，证明见解析；（4）垂直，证明见解析．
【解析】（1）垂直，
因为，，且，平面，平面
所以平面；
（2）垂直，
因为，，且，平面，平面；
所以平面；
（3）不垂直，
因为与不垂直，所以与平面不垂直；
（4）垂直，
因为，，且，平面，平面．
所以平面．
6．（2020·全国高一课时练习）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于面，是中点.
（1）求证：面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）取的中点，连接、，
是中点，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
面.
（2）面面，面面，，
面，
平面，，
等边三角形，为的中点，，
又，、平面，平面，
，平面.
【题组二 线线垂直】
1．（2020·陕西西安市·西安一中高一月考）如图1，四棱锥的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.
（1）证明：；
（2）求棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】解：（1）由侧视图可知，，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又因为ABCD是正方形，所以.
而，PD，平面PCD，
所以平面PCD.
因为平面PCD，所以.
又是等腰三角形，M是PC的中点，所以，
而，PC，平面PBC，
所以平面PBC，
而平面PBC，所以.
.
2．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．
证明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）因为底面，底面，
所以，
又，，
所以平面，
又平面
所以；
（Ⅱ）因为，是的中点，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以,
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，又，
所以平面．
3．（2021·陕西商洛市·高一期末）如图，在三棱柱中，，平面，，为棱的中点.
（1）证明：.
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，.
因为平面，
所以三棱柱为直三棱柱.
因为，为棱的中点，所以.
所以.
因为，，所以，所以.
因为为的中点，所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.
（2）解：在三棱锥中，.
因为平面，且，
所以三棱锥的体积为.
设点到平面的距离为，则.
因为，所以.
所以，即点到平面的距离为.
4．（2020·全国高一单元测试）已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1），为等腰三角形
为中点，，
为直棱柱，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
.
（2）取中点，连结，，
，，分别为，，的中点
，，
，
平面平面，
平面
平面.
【题组三 面面垂直】
1．（2021·全国高一课时练习）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是半圆弧CD上异于C，D的点.
（1）证明：平面平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得平面PBD？说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.
【解析】证明：（1）由题意可知，平面平面CDM，
又∵平面平面，，平面ABCD，
∴平面CDM，
又平面CDM，∴，
又由圆的性质知，
∵，平面AMD，平面AMD，
∴平面AMD，
∵平面BMC，∴平面平面；
（2）存在点P，当点P为线段AM的中点时，平面PBD.
理由如下：连接DB与AC交于点O，则O为AC的中点，
连接PO，则PO是三角形AMC的中位线，
∴，
∵平面PBD，平面PBD，
∴平面PBD.
2．（2021·全国高一课时练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）连接交于点O，连结,
因为为矩形，所以O为的中点,
又E为的中点，所以,
平面，平面，所以平面.
（2）因为,
所以，所以底面为正方形，所以，
因为，所以，且，所以平面，
又平面，所以平面平面.
3．（2021·陕西商洛市·高一期末）在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，分别是，的中点，证明：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）在直角梯形中，，，
则.
因为，所以.
因为，
所以平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）取的中点，连接，.
因为，分别为，的中点，
所以,
又平面，平面，
平面，
同理平面，
因为，
所以平面平面，
又平面OPQ，
所以平面.
4．（2020·全国高一单元测试）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）若点是线段的中点，求证：平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）因为矩形所在平面与半圆弦所在平面垂直，
面面，，面，
所以半圆弦所在平面，
且半圆弦所在平面，
所以；
又是上异于，的点，
所以；
又，
所以平面；
又平面，
所以平面平面；
（2）由是的中点，连接交于点，连接，如图所示：
由中位线定理得；
又平面，平面，
所以平面．
5．（2020·西安市华山中学高一月考）如图，在三棱柱中，底面，，是的中点，求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】连接，交于点，
三棱柱中，四边形是矩形，是的中点，
取的中点，连接，
则，四边形是平行四边形，，
又，，
底面，底面，，
又，，
平面，平面，
平面，平面平面.
6．（2021·全国高一）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
由题设知，平面⊥平面，交线为.
因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥.
因为为上异于，的点，且为直径，所以⊥.
又=，所以⊥平面.
而平面，故平面⊥平面.
7．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：平面平面PAC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）∵D、E分别为PC、AC的中点，∴，
∵平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
（2）∵在三棱锥P-ABC中，平面ABC，，
D、E分别为PC、AC的中点，
∴，，
∵，∴平面PAC．
∵平面ABC，
∴平面BDE⊥平面PAC．
【题组四 空间距离】
1．（2021·全国高一课时练习）正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点到平面的距离为是,如图，
易知,
因为
所以，
由，
所以，解得：
故选：D
2．（2020·全国高一课时练习）在长方体中，M，N分别为，AB的中点，，则MN与平面的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】如图，
,又平面，平面.
∴MN与平面的距离为N到面的距离.又N到平面的距离为.
∴MN与平面的距离为2.故选：C
3．（2020·天津师范大学附属实验中学高二月考）长方体中，，，那么直线和平面的距离是________．
【答案】
【解析】∵直线平面，
∴直线和平面的距离即为点和平面的距离.
∵面面，
在面内过作的垂线，即为面的垂线，也就是直角三角形斜边上的高d，
由面积法得：.
故答案为：.
4．（2020·上海高三专题练面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________．
【答案】12
【解析】如图，，由题意可知，， ，
设 ，，
则 ，解得：，
平面与平面间的距离
故答案为：12
5．（2020·全国高一课时练习）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
【答案】2
【解析】如图
平面A BCD平面EFGH
又平面.
平面ABCD与平面EFGH的距离为.
故答案为：2
6．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体中，设，，，则点B到面的距离为________，直线AC与面的距离为________，面与面的距离为________.
【答案】3 1 2
【解析】在长方体中，面,
所以点B到面的距离为
即点B到面的距离为3.
面,
则直线上任意一点到面的距离相等。
由面,
所以点到面的距离为
所以直线AC与面的距离为1.
面与面平行，
且与面、面都垂直
所以线段为面与面的距离
故面与面的距离2.
7．（2019·上海大学附属中学）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为________.
【答案】1
【解析】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB为平面和平面的距离，即为1故答案为：1．
8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：∵正方体中E，F分别为，的中点，
∴∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平面，平，
∴平面.
∵∥，=
∴四边形是平行四边形.
∴.
又平向，平面，
∴AE∥平面.
又∵，
∴平面平面.
（2）平面与平面之间的距离也就是点B到面的距离，设为h，
∵正方体的棱长为2，
∴，，
∴的面积
∴三棱锥的体积，.
又三棱锥的体积.
由可得，
解得.
∴平面与平面之间的距离为.
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8.6 空间直线、平面的垂直（1）（精炼）
【题组一 线面垂直】
1．（2021·海原县第一中学高一期末）如图，已知⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作于E．求证：平面PBC．
2．（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体中，E为的中点，.求证：
（1）平面；
（2）平面.
3．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体中，点为底面的中心，点为的中点，求证：平面．
4．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在四面体中，棱，其余各棱长都为1，为的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
5．（2020·全国高一课时练习）如图，已知正方体．
（1）直线与平面是否垂直？为什么？
（2）直线与平面是否垂直？为什么？
（3）直线与平面是否垂直？为什么？
（4）直线与平面是否垂直？为什么？
6．（2020·全国高一课时练习）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于面，是中点.
（1）求证：面；
（2）求证：平面.
【题组二 线线垂直】
1．（2020·陕西西安市·西安一中高一月考）如图1，四棱锥的底面是正方形，PD垂直于底面ABCD，M是PC的中点，已知四棱锥的侧视图，如图2所示.
（1）证明：；
（2）求棱锥的体积.
2．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在四棱锥中，底面，，是的中点．
证明：（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面．
3．（2021·陕西商洛市·高一期末）如图，在三棱柱中，，平面，，为棱的中点.
（1）证明：.
（2）求点到平面的距离.
4．（2020·全国高一单元测试）已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
【题组三 面面垂直】
1．（2021·全国高一课时练习）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是半圆弧CD上异于C，D的点.
（1）证明：平面平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得平面PBD？说明理由.
2．（2021·全国高一课时练习）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．
（1）证明：平面；
（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．
3．（2021·陕西商洛市·高一期末）在如图所示的几何体中，四边形为直角梯形，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，分别是，的中点，证明：平面.
4．（2020·全国高一单元测试）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）若点是线段的中点，求证：平面．
5．（2020·西安市华山中学高一月考）如图，在三棱柱中，底面，，是的中点，求证：平面平面.
6．（2021·全国高一）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面.
7．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC且，D、E分别为PC、AC的中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）求证：平面平面PAC.
【题组四 空间距离】
1．（2021·全国高一课时练习）正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高一课时练习）在长方体中，M，N分别为，AB的中点，，则MN与平面的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．（2020·天津师范大学附属实验中学高二月考）长方体中，，，那么直线和平面的距离是________．
4．（2020·上海高三专题练面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________．
5．（2020·全国高一课时练习）在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.
6．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体中，设，，，则点B到面的距离为________，直线AC与面的距离为________，面与面的距离为________.
7．（2019·上海大学附属中学）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为________.
8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面之间的距离.
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