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第十章 知识总结及测试
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（2021·全国高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
【答案】C
【解析】与不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，
事件表示向上点数为之一，∴．故选：C．
2．（2021·全国高一课时练习）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设齐王的三匹马分别为，田忌的三匹马分别为，所有比赛的情况:：
、、，齐王获胜三局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，齐王获胜两局；
、、，田忌获胜两局；
、、，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为
故选：B
3．（2020·全国高一课时练习）已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设在网上购买的人数占比为，实体店购买的人数占比为，
由题意可得，网上购买的合格率为，
则网上购买被投诉的人数占比为，实体店里购买的被投诉的人数占比为，
所以，解得.
故选：A．
4．（2021·全国高一课时练习）将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为和，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以作为一个基本事件，可知基本事件总数为，
由可得，即，
满足不等式所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，
因此，所求事件的概率为.
故选：C.
5．（2020·全国高三专题练习）下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是（ ）
A．①②④ B．②④
C．③④ D．①②
【答案】B
【解析】对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，
则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；
对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；
对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；
对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．
故选：B.
6．（2021·全国高一课时练习）下列事件属于古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
【答案】D
【解析】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.
A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为与点数之和为发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；
B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；
C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；
D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.
故选：D.
7．（2021·全国高一课时练习）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【答案】B
【解析】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.
事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，
只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．
故选：B．
8．（2021·全国高一课时练习）从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，
其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，
故所求概率为.故选：C
二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）
9．（2020·全国高一课时练习）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，
根据独立重复试验的概率计算公式，
可得：，
由，故A是错误的；
由，故B是错误的；
由，故C是正确的；
由，故D是正确的.
故选：CD
10．（2021·全国高一课时练习）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由已知，，
由已知有，，，
所以，则A正确；
，则B正确；
事件、、不相互独立，故错误，即C错误
，则D正确；
综上可知正确的为ABD.
故选:ABD．
11．（2021·全国高一课时练习）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )
A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是
B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
【答案】CD
【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;
对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误;
对于C,抛掷骰子次,得点数是的结果有次,则出现点的频率是,符合频率定义,故C正确;
对于D,频率是概率的估计值,故D正确.
故选:CD.
12．（2020·全国高一课时练习）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】AB
【解析】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.
故选：AB.
三、填空题（每题5分，共4题20分）
13．（2021·全国高一课时练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．
【答案】
【解析】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15，
所以射击4次至少击中3次的概率为.
故答案为：
14．（2020·全国高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
【答案】①④
【解析】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，
事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”，
“取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；
②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；
③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，（C），（E），，
从而（C）（E），故④正确；
⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．
故答案为：①④．
15．（2021·全国高一课时练习）某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生2人的概率是________.
【答案】
【解析】由题意可知，事件“至少派出医生2人”包含“派出的医生数是2、3、4、5人及以上”，这几个事件是互斥的，概率之和为，故至少派出医生2人的概率是.
故答案为：.
16．（2021·全国高三专题练习）抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____．
①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；
②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；
③这枚骰子质地一定不均匀．
【答案】②
【解析】根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；故①③错误，②正确；故答案为：②
四、解答题（17一10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·胶州市教育局高一期末）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为
数据的极差为
估计这批鱼该项数据的百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则
记“两鱼最终均在水池”为事件，则
∵事件与事件互斥，
∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为
事件，依次类推；而两鱼的游动独立
∴
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥
∴
即
18．（2020·全国高一单元测试）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲 乙 丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲 丙两个家庭都回答错误的概率是，乙 丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙 丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲 乙 丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【答案】（1）乙：；丙： ；（2） .
【解析】（1）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，
则，且有，
即，
解得， ．
（2）有0个家庭回答正确的概率为
有1个家庭回答正确的概率为
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
19．（2020·全国高一单元测试）A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设表示事件:一个试验组中，服用有效的小鼠有只，，1，2，
表示事件“一个试验组中，服用有效的小鼠有只“，，1，2，
依题意有：，．，
，所求概率为：
（2）依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率；
20．（2021·全国高一课时练习）某网上电子商城销售甲 乙两种品牌的固态硬盘，甲 乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲 乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：
型号 甲 乙
首次出现故障的时间x(年)
硬盘数(个) 2 1 2 1 2 3
假设甲 乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.
（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）某人在该商城同时购买了甲 乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在图表中，甲品牌的个样本中，
首次出现故障发生在保修期内的概率为：，
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内为事件，
利用频率估计概率，得，
即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内的概率为：；
（2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
利用频率估计概率，得：，
则
,
某人在该商城同时购买了甲 乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：.
5．（2020·全国高一单元测试）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，.
（1）求使得事件“”发生的概率；
（2）求使得事件“”发生的概率.
【答案】（1） ；（2）.
【解析】（1）由题意知，、，故(m，n)所有可能的取法共36种.
当时，得m-3n=0，即m=3n，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，
所以事件的概率.
（2）当时，可得m2+n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，
其概率.
22．（2021·全国高一课时练习）一个口袋内装有形状 大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球.
（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；
（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲 乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
【答案】（1）；（2）不公平，理由见详解.
【解析】（1）从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；
摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件；
则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为；
（2）从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；
因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平.
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第十章 知识总结及测试
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）
1．（2021·全国高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
2．（2021·全国高一课时练习）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2020·全国高一课时练习）已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为，而实体店里家用小电器的合格率约为，工商局12315电话接到关于家用小电器不合格的投诉，统计得知，被投诉的是在网上购买的概率约为．那么估计在网上购买家用小电器的人约占（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高一课时练习）将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为和，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国高三专题练习）下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是（ ）
A．①②④ B．②④
C．③④ D．①②
6．（2021·全国高一课时练习）下列事件属于古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
7．（2021·全国高一课时练习）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
8．（2021·全国高一课时练习）从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题共20分）
9．（2020·全国高一课时练习）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国高一课时练习）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·全国高一课时练习）给出下列四个命题,其中正确的命题有( )
A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是
B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是
D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
12．（2020·全国高一课时练习）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
三、填空题（每题5分，共4题20分）
13．（2021·全国高一课时练习）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．
14．（2020·全国高一课时练习）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
15．（2021·全国高一课时练习）某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生2人的概率是________.
16．（2021·全国高三专题练习）抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____．
①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；
②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；
③这枚骰子质地一定不均匀．
四、解答题（17一10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·胶州市教育局高一期末）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
18．（2020·全国高一单元测试）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲 乙 丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲 丙两个家庭都回答错误的概率是，乙 丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙 丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲 乙 丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
19．（2020·全国高一单元测试）A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
20．（2021·全国高一课时练习）某网上电子商城销售甲 乙两种品牌的固态硬盘，甲 乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲 乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：
型号 甲 乙
首次出现故障的时间x(年)
硬盘数(个) 2 1 2 1 2 3
假设甲 乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.
（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）某人在该商城同时购买了甲 乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.
5．（2020·全国高一单元测试）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，.
（1）求使得事件“”发生的概率；
（2）求使得事件“”发生的概率.
22．（2021·全国高一课时练习）一个口袋内装有形状 大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球.
（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；
（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲 乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
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