1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是( )
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
2.方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4) C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
5．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是 ( )
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第四象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
6．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
7.有下面四个结论：
①0与{0}表示同一个集合；
②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．
其中正确的结论是________(填写序号)．
8.用列举法表示下列集合：
(1)；
(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3} B．{1,3} C．{－1,3} D．{1，－3}
10．已知集合A＝，B＝，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
11.(多选题)若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
12.(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( )
A．{x|x＝2k－1，k∈N} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N} D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
13.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
14.定义集合A－B＝{x|x∈A，且x B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝，则集合A－B________.
设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2014＋b2014.
16.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
【参考答案】
1.ABD解析: 选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．
2.D 解析:解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.
3. D 解析: 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4.D解析:对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
5.D 解析:因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．
6. {1} 解析: 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1. 又x∈N，∴x＝1.
7.④ 解析:{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
8.解：(1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，
则|2－x|＝1,2,3,6，即x＝1,3,4,0，－1,5，－4,8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1,0,1,3,4,5,8}．
(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1,2,3,4，其对应的y的值分别为3,6,9,12.
所以原集合可用列举法表示为{(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4,12)}．
9.C 解析:当x>0，y>0时，m＝3，当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
当x，y异号，不妨设x>0，y<0时，m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
10.D 解析:∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3为偶数．
11.AB解析:集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1.
12.BD 解析:选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.
13.3 解析:根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
14.{x|x≥2} 解析: A＝，B＝{x|x<2}， A－B＝＝{x|x≥2}．
15.解: ∵A＝B，∴或解方程组得，或或a＝1，b为任意实数．
由集合元素的互异性得a≠1，∴a＝－1，b＝0，故a2014＋b2014＝1.
16.解:(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.1.1 集合的概念
第1课时 集合的概念
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知集合A由x＜1的数构成，则有( )
A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1 A
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5 C. D．
4．(多选)若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能是( )
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
5．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．
6．若x∈N，则满足2x－5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．
7．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3 Z.正确的个数为________．
8．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a，2，b2，且M＝N.求a，b的值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成集合A，则( )
A．2∈A B．3 A C．－1∈A D．1∈A
10．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A C．3k2－1∈A D．－34 A
11．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1 C．－1或－2 D．－2或－3
12．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x的值为__ __.
14．由实数x，－x，|x|，及－所组成的集合，最多含有________个元素．
15．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
16．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【参考答案】
1．A 解析: ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．
2．C 解析:很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
3.D 解析:由题意知a应为无理数，故a可以为.
4．ABC 解析 由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．
5.{k|k≠±1}解析：∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的互异性可知k2≠1，解得k≠±1.
6．3 解析：由2x－5＜0，得x＜，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.
7．3 解析：①②③是正确的；④⑤是错误的．
8.解 法一 根据集合中元素的互异性，
有或，解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴，即
∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0，或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．∴或
9．C 解析 ①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A＝{－1,3}．∴－1∈A.
10.BC 解析：令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，
∴－2 A；
令3k－1＝－11，
解得k＝－，－ Z，∴－11 A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A．
11．C解析 由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C．
12.C 解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
13. -1解析：因为x2∈A，所以x2＝1或x2＝0或x2＝x，解得x＝－1,0,1.经检验，只有x＝－1时，满足集合元素的互异性．
14．2 解析：因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故合中最多含有2个元素．
证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
16．解 (1)因为A中有两个元素，所以方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根，所以
即a>－且a≠0.所以实数a的取值范围为a>－，且a≠0.
(2)当a＝0时，由－3x－4＝0得x＝－；
当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；
若关于x的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－，
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.
