1.4.2 充要条件
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.在下列三个结论中，正确的有( )
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
3.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A.m＝－2 B.m＝2
C.m＝－1 D.m＝1
6.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________________条件.
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
7.在平面直角坐标系中,点(x+5,1-x)在第一象限的充要条件是 .
8.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5能 力 练
综合应用 核心素养
9.设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.有下述说法:①a>b>0是a2>b2的充要条件;②a>b>0是的充要条件;③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.m> B.0C.m>0 D.m>1
12.设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13.设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________.
14.下列不等式：①x<1；②015.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
16.设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
【参考答案】
1. A 解析：a＝1时，N M，但当a取-1时，也满足N M。
2. C 解析： ② AB2＋BC2＝AC2，也能推出，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件。
A 解析：当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．
4. D 解析：可以从 a、b同正、同负、一正一负分析。
5. A 解析：二次函数对称轴计算考查
6. 充分不必要
7.-58.解 由M∩P＝{x|5(1)M∩P＝{x|5(2)M∩P＝{x|5(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5故a<－3时为必要不充分条件.
9.A 解析: 解不等式后直接判断．
不等式2x2＋x－1>0的解集为，故由x> 2x2＋x－1>0， 但2x2＋x－1>0D /x>.
10.A 解析：a>b>0 a2>b2,a2>b2 |a|>|b|a>b>0,故①错.
a>b>0 ,但a>b>0,故②错.
a>b>0 a3>b3,但a3>b3a>b>0,故③错.
11.C 解析：从Δ入手 ，Δ<0即可
12.C 解析：A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}， C＝{x∈R|x<0或x>2}，
∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．
13.(1)(4) 解析：观察线路串并联情况
14.②③④ 解析：由于x2<1即－115.证明 充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
16.证明 充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．1.4.1 充分条件与必要条件
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选)下列语句是命题的是( )
A.3是15的约数 B.x2+2x+1≥0
C.4不小于2 D.你准备考北京大学吗
2.“x>0”是“x≠0”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
3.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.使不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x<0 B．x≥0
C．{3,5} D．x≤
5.设p:-1≤x<2,q:xA.a≤-1 B.a≤-1或a≥2
C.a≥2 D.-1≤a<2
6.“|x|<3”是“x<3”的 条件.
7.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是 .
8.试判断下列各题中,p是q的什么条件.
(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根;
(3)p:a>b,q:a>b+1.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1
10.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件
11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
12.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要不充分条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
13.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－214.已知p:A={x|-1≤x≤5},q:B={x|-m15.已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16.已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
【参考答案】
1.ABC
2.A 解析： “x>0” “x≠0”,反之不一定成立.
3.A 解析：对顶角必相等．
4.A 解析：由－5x＋3≥0，得{x|x≤}，选项A中x的范围为其真子集，选A.
5.C 解析：因为q是p的必要条件,所以p q,在数轴上画出-1≤x<2,借助数轴可知a≥2.
6.充分 解析：由|x|<3,解得-3故“|x|<3”是“x<3”的充分条件.
7.a≤1
8.解：(1)因为x-2=0 (x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0x-2=0,所以p是q的充分条件,不是必要条件.
(2)因为x2-x-m=0无实根时,
Δ=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0,
即m<-,所以q:m<-.
所以p q,qp,
即p是q的充分条件,不是必要条件.
(3)因为a>b+1 a>b,而a>ba>b+1,所以p是q的必要条件,不是充分条件.
9.C 解析∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
∴即 a<0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故答案为C.
10.A 解析：x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，但x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正确．
11.B 解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．
12.A 解析：本题主要考查连锁关系的充分性、必要性的判断，由题意知，p r s q，故p q，但q p，故选A.
13.a>2 解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
14.m>3 解析：因为p是q的充分条件,所以A B,如图,
则解得m>3.
综上,m的取值范围为m>3.
15.解 p：－2≤x≤10. q：x2－2x＋1－m2≤0 [x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0 (m>0) 1－m≤x≤1＋m (m>0)．
因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有或，解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|016.解 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a 得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<，或x>1. 要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或解得a≥.
令a＝1，则p：x<0，或x>2，此时必有x<，或x>1.即p q，反之不成立．
∴a＝1.