1.2 集合间的基本关系 学案（Word版含答案）

1.2　集合间的基本关系
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点) 2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点) 3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。 1、逻辑推理 2、直观想象 3、数形结合
【自主学习】
一. 子集的相关概念
1．Venn图
表示：在数学中，经常用平面上 ___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
优点：形象直观。
2.子集、真子集、集合相等
定义 符号表示 图形表示
子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A B (或B A)
真子集 如果集合A B，但存在元素_________ ，就称集合A是集合B的真子集 A B(或B A)
集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A B
3.子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的 ，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么 .
二. 空集
定义 的集合叫做空集
符号 用符号表示为___
规定 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的________
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)
(2)任何一个集合都有子集．(　　)
(3)若A＝B，则A B.(　　)
(4)空集是任何集合的真子集．(　　)
2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　)
A．0 A B．{0}∈A C． ∈A D．{0} A
【经典例题】
题型一　集合间关系的判断
点拨：判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．
(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．
例1 下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ ＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4
【跟踪训练】1
(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是(　　)
A．M T B．M T C．M＝T D．M ∈T
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
题型二　子集、真子集的个数问题
点拨：公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集.
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.
(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.
例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
例2-变式 写出集合{a,b,c}的所有子集 写出集合{a,b,c,d}的所有子集
【跟踪训练】2 满足{a，b} A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(　　)
A．2　　　　　B．6 C．7 D．8
题型三　根据集合的包含关系求参数
点拨：
1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．
2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
3.此类问题要注意对空集的讨论．
例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a的取值集合．
【当堂达标】
1.下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；
④若 A，则A≠ .其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3.设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤3
4.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B A，求由实数a的值组成的集合C.
6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围．
【课堂小结】
1.知识点：
(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.
(2)求子集、真子集的个数问题.
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.
【参考答案】
【自主学习】
一．1.封闭曲线内部
2.任意一个 x∈B，且x A 任何一个 任何一个 ＝
3.子集 A C
二．不含任何元素 子集 真子集
【小试牛刀】
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2. D解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0} A，D正确．
【经典例题】
例1 B 解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
【跟踪训练】1 (1)A 解析：因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
例2 解：集合{a,b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a,b}. 真子集为 ，{a}，{b}.
例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为 ，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}.
集合{a,b,c,d}的所有子集为 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，
{b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.
【跟踪训练】2 C 解析：由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．
例3 解：(1)因为B A，当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有解得－1≤m<2，综上得m≥－1.
【跟踪训练】3　解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝时，
由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.
(2)当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；当B≠ ，a≠0时，集合B＝，
由B A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.
综上所述，实数a的取值集合为
【当堂达标】
1.B解析：①空集是它本身的子集；②空集只有一个子集；③空集不是它本身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错误，④正确．
2.B解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
3.B解析：因为A＝{x|24.AB 解析：A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝. 结合数轴知AB.
5.解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以A＝{1,2}．
因为B A，所以对B分类讨论如下：①若B＝ ，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；
②若B≠ ，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
6.解：(1)因为B A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B A，故m＝1.
(2)当B＝ 时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或，解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.