1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1．初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点) 2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点) 1、数学抽象 2、逻辑推理
【自主学习】
列举法
把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法．
描述法
（1）定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 .
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)集合0∈{x|x>1}．( )
(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．( )
(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．( )
2.大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为____ ____．
【经典例题】
题型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由120以内的所有质数组成的集合．
【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的偶数；
(2)24与36的公约数；
(3)方程组的解集．
题型二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
【跟踪训练】2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．
题型三 列举法与描述法的综合运用
例3 下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
【跟踪训练】3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
【当堂达标】
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( )
A．{x|x是小于18的正奇数}
B．{x|x＝4s ＋1，s∈N，且s <5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t<5}
D．{x|x＝4s－3，s∈N ，且s<6}
3．给出下列说法：
①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；
②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；
③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}；
④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．
其中正确说法的序号是( )
A．①② B．②③ C．② D．①③④
4．方程的解集用列举法表示为_______________________；
用描述法表示为________________．
5．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为______．
6.已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【参考答案】
【自主学习】
1．一一列举 花括号“{}”
2．（1）共同特征 （2）一般符号 取值(或变化)范围 共同特征
【小试牛刀】
1.(1)× (2)√ (3)× 解析：(1){x|x>1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．
(2){x|x<5，x∈N}表示小于5的自然数组成的集合，其含有0,1,2,3,4，共5个元素，所以(2)正确．
(3)集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x|x2－3x＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．
2.{5,7,9}
【经典例题】
例1 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．
(3)设由1 20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
【跟踪训练】1解：(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．
(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．
(3)由得
∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}
＝{(1,1)}，是有限集．
例2 解：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N ，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N }．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈ ，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
【跟踪训练】2解：本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．
例3 (1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
【跟踪训练】3 解：(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
【当堂达标】
1．B 2.D 3.C
4．{(，－)} {(x，y)|}
5．－3
6. 解：当a＝0时，A＝，满足题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.1.1 集合的概念
第1课时 集合的概念
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1、通过实例了解集合的含义．(难点) 2、掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示. 4、记住常用数集及其记法．(重点、易混点) 1.数学抽象 2.逻辑推理 3.直观想象
【自主学习】
一．元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，常用小写的拉丁字母 表示．
2.集合：一些 组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母 表示．
3.集合相等：指构成两个集合的元素是 的．
4.集合中元素的特性： 、 和 ．
二．元素与集合的关系
1.属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
三．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．( )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．( )
2、用“∈”或“ ”填空：
____N；－3____Z；____Q；0____N*；____R.
【经典例题】
题型一 集合的概念
例1 下列所给的对象能构成集合的是________．
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级所有16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；
⑥的近似值的全体．
【跟踪训练】1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？
(1)接近于2019的数；
(2)大于2019的数；
(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；
(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；
(5)函数y＝x2图象上的点．
题型二 元素与集合的关系
例2 -1给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0 N，④∈N，⑤π∈Q，⑥|－2| Z.
其中正确命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
例2-2集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【跟踪训练】2用符号“∈”或“ ”填空．
若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，
(－1,1)______A.
题型三 集合中元素的特性
例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【跟踪训练】3已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可
【当堂达标】
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合
C．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
4．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．给出下列关系：①∈Z；②∈R；③|－5| N＋； ④|－|∈Q；⑤π∈R.
其中，正确的个数为________．
6．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
【参考答案】
【自主学习】
研究对象 a，b，c… 元素 A，B，C… 一样 确定性 互异性 无序性
a属于集合A a∈A a不属于集合A a A
N N*或N＋ Z Q R
【小试牛刀】
1.(1)× (2)√ (3)×
解析：(1)因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．
(2)根据集合相等的定义知，两个集合相等．
(3)因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1.
2. ∈ ∈ 解析：因为不是自然数，所以 N；－3是整数，所以－3∈Z；因为不是有理数，所以 Q；0不是非零自然数，所以0 N*；因为是实数，所以∈R.
【经典例题】
例1 ①③④ 解析：①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；
②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；
④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；
⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；
⑥不能构成集合，因为“的近似值”未明确精确到什么程度，因此不能断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．
【跟踪训练】1 (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．
例2-1 C解析：R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．
例2-2 0,1,2 解析： 当x＝0时，＝2；当x＝1时，＝3；当x＝2时，＝6；
当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.
【跟踪训练】2 ∈ ∈ 解析：第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) A.
例3 －1 解析： 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；
若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.
综上所述a＝－1.
【跟踪训练】3 B解析：由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
【当堂达标】
C 解析： A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2.C解析：由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．
3.B解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0 A．故选B．
4.B解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．
5.2 解析：由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.
6.解 (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3. 且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.
(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，
当x＝－2时，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．
当x2－2x＝－2，即x2－2x＋2＝0时，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，故方程无解，显然x2－2x≠－2.
综上，x＝－2.
