1.4 充分条件与必要条件
1.4.1 充分条件与必要条件
【学习目标】
素养目标 学科素养
1、理解充分条件、必要条件的概念，并会判断．(重点) 2、可以通过已知关系探讨参数取值范围．(难点) 1、数学抽象 2、逻辑推理
【自主学习】
充分条件与必要条件的概念
命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 条件．
注意：充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
二．充分条件、必要条件与集合的关系
设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}
A B p是q的充分条件 q是p的必要条件 AB p是q的不充分条件 q是p的不必要条件
B A q是p的充分条件 p是q的必要条件 BA q是p的不充分条件 p是q的不必要条件
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( )
（3）若q不是p的必要条件，则“p q”成立．( )
（4）q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．( )
【经典例题】
题型一 充分条件、必要条件的判定
点拨：定义法判断充分条件、必要条件
1.确定谁是条件，谁是结论；
2.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
3.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
例1：下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
若a=b，则ac=bc。
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数。
【跟踪训练】1 下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
（5）若ac=bc，则a=b
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数
题型二 充分条件、必要条件求参数的范围
点拨：利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1.化简p，q两命题；
2.根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3.利用集合间的关系建立不等式；
4.求解参数范围.
已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
【跟踪训练】2 是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．
【当堂达标】
1.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )
A.a>0，b>0 B.a＋b>0
C.a<0，b<0 D.a>1，b>1
2.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件
3.设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
4.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断
5.若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的 条件．(填必要、不必要)
6.已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
【课堂小结】
充分条件、必要条件的判断方法
1.定义法：直接利用定义进行判断．
2.等价法：“p q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
3.利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
【参考答案】
【自主学习】
充分 必要 充分 必要
【小试牛刀】
× √ √ √
【经典例题】
例1 （1）这是平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件。
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件。
（3）这是一条菱形的性质定理， p q，所以p是q的充分条件。
（4）由于(-1)2 =1，但是-1≠1，p q，所以p不是q的充分条件。
（5）由等式的性质知， p q，所以p是q的充分条件。
（6）p q，所以p不是q的充分条件。
【跟踪训练】1
（1）这是平行四边形的性质定理，p q，所以 q是p的必要条件。
（2）这是三角形相似的性质定理，p q，所以 q是p的必要条件。
（3）如图，对角线垂直，但不是菱形，p q，所以 q不是p的必要条件。
（4）显然p q，所以 q是p的必要条件。
（5）p q，所以 q不是p的必要条件。
（6）p q，所以 q不是p的必要条件。
例2 解 由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a
由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p q，所以A B，
所以解得－≤a<0，
所以实数a的取值范围是.
【跟踪训练】2 解 由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝.
由题意得B A，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1 x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．
【当堂达标】
1.ACD 解析：因为a>0，b>0 ab>0；a<0，b<0 ab>0；a>1，b>1 ab>0，
所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件.
2.B 解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
3.A 解析：因为x>2 x>1，所以选A.
4. A解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．
5.不必要
6.由已知可得
A＝＝， B＝{x|x≥－2m}．
因为q是p的必要条件，所以p q，所以A B，
所以－2m≤－，所以m≥，即m的取值范围是7.(1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x由题意可得B A，即{x|x2或x<1}．
所以m≤1.故m的取值范围为{m|m≤1}．1.4.2 充要条件
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解充要条件的意义.（重点） 2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点） 3.能对充要条件进行证明.（难点） 1、数学抽象 2、逻辑推理
【自主学习】
一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件.
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件.
思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
三．“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“ ”具有传递性．( )
(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．( )
【经典例题】
题型一 充要条件的判断
点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
【跟踪训练】1 “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
题型二 充要条件的证明
点拨：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
例2 已知：圆 O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。
【跟踪训练】2 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
题型三 充要条件的应用
点拨：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【跟踪训练】3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
【当堂达标】
1 .已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
3.“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
6. 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
【课堂小结】
1.概念充要条件概念的理解.
2.充要条件的证明.
3.充要条件的应用.
【参考答案】
【自主学习】
p q q p p q 充要 充要
思考：(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
【小试牛刀】
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【经典例题】
例1 解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以pq，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。
（3）因为x>0时，x>0,y>0不一定成立（为什么），所以pq,所以p不是q的充要条件。
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p q，所以p是q的充要条件。
【跟踪训练】1 A 解析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
例2 证明：设p:d=r，q:直线l与圆O相切.
（1）充分性(p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在圆O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在圆 O 的外部，即直线l与圆O 仅有一个公共点P.所以直线l与圆 O 相切.
（2）必要性(q p):若直线l与圆 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与圆 O 相切的充要条件.
【跟踪训练】2 证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
例3 解：∵p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
记
由p是q的必要不充分条件可得BA
解得：m≤3，又m＞0
所以实数m的取值范围为
【跟踪训练】3 解 方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
【当堂达标】
1. A 解析：a＝3时，A＝{1，3}，A B，当A B时，a＝2或3.
2.D 解析：由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
3.B 解析：x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
4. A 解析：因为x<－1 |x|>1，而|x|>1 x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
5．a<0 解析：由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.
6.证明 ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.