1.3 弧度制 教案

弧度制
【教学目标】 【核心素养】
1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点、难点) 1．通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养． 2．通过角度制和弧度制的换算，培养数学运算素养.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．弧度制
（1）弧度制的定义
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．
（2）角度制与弧度制的互化
①弧度数
(ⅰ)正角的弧度数是一个正数；
(ⅱ)负角的弧度数是一个负数；
(ⅲ)零角的弧度数是0；
(ⅳ)弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．
②弧度数的计算
|α|＝.如图：
③角度制与弧度制的换算
思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
[提示] 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．
2．弧长公式与扇形面积公式
已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．
角度制 弧度制
弧长公式 l＝ l＝|α|r
扇形面积公式 S＝ S＝l·r＝|α|r2
思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
[提示] 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝lr，l＝αr.
二、新知探究
1．角度与弧度的互化
【例1】 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－.
（1）将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
（2）将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．
[解] （1）∵1°＝ rad，
∴α1＝510°＝510×＝π，
α2＝－750°＝－750×＝－π.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．
（2）β1＝＝×＝144°.
设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵－360°≤θ1＜360°，
∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.
∴k＝－1或k＝0.
∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.
β2＝－＝－×＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵－360°≤θ2＜360°，
∴－360°≤k·360°－330°＜360°.
∴k＝0或k＝1．
∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.
【规律方法】
角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
（1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算．
（2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·；n°＝n· rad．
（3）注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
2．用弧度制表示终边相同的角
【例2】 （1）把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
（2）若β∈[－4π，0)，且β与（1）中α终边相同，求β.
[解] （1）∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤<2π，
∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.
（2）∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.
又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.
【规律方法】
1．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
（1）仔细观察图形；
（2）写出区间边界对应的角；
（3）用不等式表示区域范围内的角．
2．注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．
三、课堂总结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
四、课堂练习
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )
（2）1度的角是周角的，1弧度的角是周角的.( )
（3）180°等于π弧度．( )
[答案] （1）√ （2）√ （3）√
2．－72°化为弧度是( )
A．－ B．－π
C．－ D．－
B [－72°＝－72×＝－π.]
3．－π化为角度为________．
－345° [－π＝－π×＝－345°.]
4．设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
[由－π＜－＜π，得－＜k＜.因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝.]
5．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
48 [|α|＝＝＝ rad，S＝l·r＝×12×8＝48．]
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