习题课——函数最值的应用
课后训练巩固提升
1.函数f(x)=(a<0)在区间[2,4]上的最小值为( )
A.0 B.
C. D.不确定
解析:f'(x)=a=a.
∵a<0,x∈[2,4],
∴f'(x)>0.
∴函数f(x)在区间[2,4]上单调递增.故当x=2时,函数f(x)在区间[2,4]上有最小值.
故选B.
答案:B
2.函数f(x)=x3-3ax+a(a>0)在区间(0,+∞)上的最小值为( )
A.1 B.1-2a
C.a(1+2) D.a(1-2)
解析:f'(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-)(x+).
当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,)内单调递减;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(,+∞)上单调递增.
所以f(x)min=f()=a(1-2).故选D.
答案:D
3.函数f(x)=-x3+ax2-a2x+3在区间[-1,3]上的最大值为( )
A.a2+a+
B.-3a2+9a-6
C.3-a3
D.3
解析:因为f'(x)=-x2+2ax-a2=-(x-a)2≤0在R上恒成立,所以函数f(x)在区间[-1,3]上单调递减.
所以函数f(x)max=f(-1)=a2+a+.故选A.
答案:A
4.若不等式2xln x+x2+ax+3≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a可取的值组成的集合是( )
A.{a|-4≤a≤0}
B.{a|a≥-4}
C.{a|0≤a≤4}
D.{a|a≥4}
解析:由题意得ax≥-2xln x-x2-3.
因为x>0,所以a≥-2ln x-x-.
设g(x)=-2ln x-x-,则g'(x)=--1+.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)在区间(0,1)内单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
故函数g(x)max=g(1)=-4,
所以a≥g(x)max=-4,即{a|a≥-4}.故选B.
答案:B
5.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t的取值范围为( )
A.t≥20 B.t<20
C.t≥-20 D.t<-20
解析:f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f'(x)=0,得x=±1.
根据函数的单调性,可得-1,1为函数f(x)的极值点.
因为f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,f(x)min=-19.
由题意知,在区间[-3,2]上,f(x)max-f(x)min≤t,
从而t≥20.故选A.
答案:A
6.(多选题)对于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.f(x)在x=e处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)
D.若f(x)1
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),导数f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x=e.
易知函数f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减.
所以,当x=e时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确;
由f(x)=0,即ln x=0,得x=1,所以函数f(x)只有一个零点,故B错误;
因为函数f(x)在区间(e,+∞)内单调递减,所以f(3)>f(π)>f(4),又因为f(2)=f(4),所以f(2)若f(x)则k>.
设h(x)=(x>0),则h'(x)=-.
令h'(x)=0,解得x=1.
由h(x)的单调性可得,当x=1时,函数h(x)取得极大值也是最大值h(1)=1,所以k>1,故D正确.
答案:ACD
7.已知直线x=t与函数f(x)=ex+1的图象及g(x)=2x-1的图象分别相交于点A和点B,则|AB|的最小值为 .
解析:由题意得,|AB|=|et+1-(2t-1)|=|et-2t+2|.
设h(t)=et-2t+2,则h'(t)=et-2.
令h'(t)=0,解得t=ln 2.
可得函数h(t)在区间(-∞,ln 2)上单调递减,在区间(ln 2,+∞)上单调递增,
所以h(t)min=h(ln 2)=4-2ln 2>0,
即|AB|的最小值为4-2ln 2.
答案:4-2ln 2
8.函数f(x)=kln x-(k>0)在区间(0,1]上的最大值为 .
解析:f'(x)=.
∵k>0,x∈(0,1],
∴kx+1>0,即f'(x)>0.
∴函数f(x)在区间(0,1]上是增函数.
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值f(1)=-1.
答案:-1
9.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解:当x∈(0,1]时,不等式ax3-3x+1≥0恒成立,
即a≥.
设g(x)=,x∈(0,1],
则g'(x)==-.
令g'(x)=0,解得x=.
当x∈时,g'(x)>0,函数g(x)在区间内单调递增;
当x∈时,g'(x)<0,函数g(x)在区间内单调递减.
所以,当x=时,函数g(x)取得最大值g(x)max=g=4.
所以实数a的取值范围是[4,+∞).
10.设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f'(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0成立.
解:(1)函数f(x)=ln x的定义域为(0,+∞).
由f(x)=ln x,得f'(x)=,则g(x)=ln x+.
g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=.
令g'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,故函数g(x)在区间(0,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,故函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
因此,x=1是g(x)在区间(0,+∞)上的唯一极值点,且为极小值点,故g(x)min=g(1)=1.
综上,函数g(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).
g(x)的最小值是1.
(2)由(1)知函数g(x)的最小值为1,g(a)=ln a+.
g(a)-g(x)<,对任意x>0成立等价于g(a)-1<,即ln a<1,解得0故a的取值范围是(0,e).
11.某工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(单位:万件)间的关系为p=(c为常数,且0(1)将日盈利额y(单位:万元)表示为日产量x(单位:万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件
解:(1)当x>c时,p=,y=·x·3-·x·=0;
当0∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为y=f(x)=(c为常数,且0(2)由(1)知,当x>c时,日盈利额为0.
当0∴y'=.
令y'=0,得x=3或x=9(舍去).
若00,∴函数y在区间(0,c]上单调递增,
∴当x=c时,y最大值=.
若3≤c<6,∵当x∈(0,3)时,y'>0,当x∈(3,c)时,y'<0,
∴函数y在区间(0,3)内单调递增,在区间(3,c)上单调递减.
∴当x=3时,y最大值=.
综上,若012.已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a∈R).设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对 x1∈(0,2), x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a+,当a=时,令f'(x)=0,得x=1或x=3(舍去).
易知函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,2)内单调递增,所以,当x=1时,函数f(x)在区间(0,2)内取得极小值也是最小值f(1)=-.
“对 x1∈(0,2), x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在区间[1,2]上的最小值不大于f(x)在区间(0,2)上的最小值f(1)=-”.
g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2].
①当b<1时,g(x)min=g(1)=5-2b>0,不符合题意;
②当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0,不符合题意;
③当b∈(2,+∞)时,g(x)min=g(2)=8-4b,
解不等式8-4b≤-,得b≥.
综上,b的取值范围是.习题课——函数最值的应用
1.函数f(x)=(a<0)在区间[2,4]上的最小值为( )
A.0 B.
C. D.不确定
2.函数f(x)=x3-3ax+a(a>0)在区间(0,+∞)上的最小值为( )
A.1 B.1-2a
C.a(1+2) D.a(1-2)
3.函数f(x)=-x3+ax2-a2x+3在区间[-1,3]上的最大值为( )
A.a2+a+
B.-3a2+9a-6
C.3-a3
D.3
4.若不等式2xln x+x2+ax+3≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a可取的值组成的集合是( )
A.{a|-4≤a≤0}
B.{a|a≥-4}
C.{a|0≤a≤4}
D.{a|a≥4}
5.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数 t的取值范围为( )
A.t≥20 B.t<20
C.t≥-20 D.t<-20
6.(多选题)对于函数f(x)=,下列说法正确的是( )
A.f(x)在x=e处取得极大值
B.f(x)有两个不同的零点
C.f(2)D.若f(x)1
7.已知直线x=t与函数f(x)=ex+1的图象及g(x)=2x-1的图象分别相交于点A和点B,则|AB|的最小值为 .
8.函数f(x)=kln x-(k>0)在区间(0,1]上的最大值为 .
9.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
10.设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f'(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值;
(2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0成立.
11.某工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(单位:万件)间的关系为p=(c为常数,且0(1)将日盈利额y(单位:万元)表示为日产量x(单位:万件)的函数;
(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件
12.已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a∈R).设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对 x1∈(0,2), x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围.