习题课——函数的单调性的应用
A组
1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
4.已知函数f(x)在定义域R上可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则( )
A.a
5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(-∞,-1)和(2,+∞),则b= ,c= .
6.若函数f(x)=x++ln x在区间[1,2]上单调递增,则实数k的取值范围是 .
7.若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内不单调,则实数k的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=ax3+x在R上有三个单调区间,则a的取值范围是 .
9.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
10.已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(-1,1)内单调递减 若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
B组
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.02.设函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,f(0)=0,则下列判断正确的是( )
A.f>2f B.f
C.f(ln 2)>0 D.f
3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,则不等式f(x)<的解集为( )
A.{x|-1C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1}
4.(多选题)若函数exf(x)(e=2.718…,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.给出下列函数,不具有M性质的为( )
A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1
C.f(x)=sin x D.f(x)=x3
5.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),则a的取值集合为 ;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则a的取值集合为 .
6.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
7.若函数f(x)=x2-aln x在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1],a>0,若f(x)在区间(0,1]上是增函数,则a的取值范围是 .
9.已知函数f(x)=-2x2+ln x(a≠0)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.习题课——函数的单调性的应用
课后训练巩固提升
A组
1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:由单调性可知函数的导数在R上恒非负或恒非正,且不恒等于0.当y'=3x2+2x+m≥0时,对所有x∈R成立,此时应满足Δ=4-4×3m≤0,解得m≥.
因为3>0,所以抛物线y'=3x2+2x+m开口向上,所以y'≤0不可能恒成立.
因此满足条件的m的取值范围是.
答案:C
2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:f'(x)=x2+a,当a>0时,f'(x)>0在R上恒成立,
所以当a>0时,函数f(x)在R上单调递增.
若函数f(x)在R上单调递增,则f'(x)=x2+a≥0在R上恒成立,
即a≥-x2恒成立,从而a≥0.
故“a>0”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
答案:A
3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
解析:因为f(x)=kx-ln x,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-.
因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f'(x)=k-≥0恒成立,
即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.
因为x>1,所以0<<1,所以k≥1.故选D.
答案:D
4.已知函数f(x)在定义域R上可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则( )
A.a解析:由题意得,当x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增.
由题意得f(3)=f(-1),且-1<0<<1,因此f(-1)答案:C
5.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(-∞,-1)和(2,+∞),则b= ,c= .
解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知x<-1或x>2是不等式3x2+2bx+c>0的解集,即-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,则-1+2=-,-1×2=,解得b=-,c=-6.
答案:- -6
6.若函数f(x)=x++ln x在区间[1,2]上单调递增,则实数k的取值范围是 .
解析:∵函数f(x)=x++ln x在区间[1,2]上单调递增,
∴f'(x)=≥0在区间[1,2]上恒成立,
∴k≥-x2-x+3对x∈[1,2]恒成立.
∵g(x)=-x2-x+3的对称轴为直线x=-2,
∴g(x)=-x2-x+3在区间[1,2]上单调递减.
∴g(x)max=--1+3=.∴k≥.
答案:
7.若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内不单调,则实数k的取值范围是 .
解析:f'(x)=3x2-k,当k≤0时,对x∈R,不等式f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意,所以k>0.
令f'(x)=0,得x=±.
因为函数在(-3,-1)上不单调,所以-3<-<-1,即3答案:(3,27)
8.已知函数f(x)=ax3+x在R上有三个单调区间,则a的取值范围是 .
解析:f(x)的导数f'(x)=3ax2+1.
若a>0,则f'(x)>0对x∈R恒成立,此时,f(x)只有一个单调区间,与已知矛盾;
若a=0,则f(x)=x,此时,f(x)也只有一个单调区间,亦与已知矛盾;
若a<0,则f'(x)=3a··,f(x)有三个单调区间.故a<0.
答案:(-∞,0)
9.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
解:f'(x)=2x-.
若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,即2x3-a≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,
∴a≤2x3当x∈[2,+∞)时恒成立,即a≤(2x3)min,其中x∈[2,+∞).
∵y=2x3在区间[2,+∞)上单调递增,
∴(2x3)min=16.∴a≤16.
当a=16时,只有f'(2)=0.
∴a的取值范围是(-∞,16].
10.已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(-1,1)内单调递减 若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)由已知得f'(x)=3x2-a.
∵函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
∴f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴a≤0.
∴实数a的取值范围是(-∞,0].
(2)存在.证明如下:若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
则对x∈(-1,1),不等式f'(x)=3x2-a≤0恒成立,即a≥3x2对x∈(-1,1)恒成立.
当x∈(-1,1)时,3x2<3,∴a≥3.
∴存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,实数a的取值范围是[3,+∞).
B组
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.0解析:f'(x)=3x2-2ax-1,∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,
∴不等式f'(x)=3x2-2ax-1<0对x∈(0,1)恒成立.
∴f'(0)≤0,且f'(1)≤0,解得a≥1.故选A.
答案:A
2.设函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,f(0)=0,则下列判断正确的是( )
A.f>2f B.f
C.f(ln 2)>0 D.f
解析:设g(x)=,
则g'(x)=<0,
∴g(x)在区间上单调递减.
∴g(ln 2)∵0<,
∴0>,
即0>>2f.
∴f.
∵f<0,∴f>2f.
∵f<0,∴f,即f.故选A.
答案:A
3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,则不等式f(x)<的解集为( )
A.{x|-1C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1}
解析:设g(x)=f(x)-,则g'(x)=f'(x)-<0,故g(x)在R上为减函数,
∵g(1)=f(1)-=0,
∴g(x)=f(x)-<0的解集为{x|x>1}.故选D.
答案:D
4.(多选题)若函数exf(x)(e=2.718…,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.给出下列函数,不具有M性质的为( )
A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1
C.f(x)=sin x D.f(x)=x3
解析:对于A,f(x)=ln x,令g(x)=exln x,则g'(x)=ex,令h(x)=ln x+,则h'(x)=,则h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,故h(x)≥h(1)=1,所以g'(x)>0,从而g(x)在f(x)的定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=ln x具有M性质;
对于B,f(x)=x2+1,令g(x)=exf(x)=ex(x2+1),则g'(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)2≥0在R上恒成立,因此g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上单调递增,则f(x)=x2+1具有M性质;
对于C,f(x)=sin x,令g(x)=exsin x,则g'(x)=ex(sin x+cos x)=exsin,显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调,故f(x)=sin x不具有M性质;
对于D,f(x)=x3,令g(x)=exf(x)=exx3,则g'(x)=exx3+3exx2=exx2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,因此g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上先单调递减后单调递增,故f(x)=x3不具有M性质.故选CD.
答案:CD
5.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.
(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),则a的取值集合为 ;
(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则a的取值集合为 .
解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).
(1)∵函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),
∴-1和1是方程f'(x)=0的两根,将x=1代入3x+2a-3=0,解得a=0,
∴a的取值集合为{0}.
(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,
∴f'(x)<0对x∈(-1,1)恒成立.
又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,一根为-1,
∴≥1,解得a≤0.∴a的取值集合为{a|a≤0}.
答案:(1){0} (2){a|a≤0}
6.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
解析:∵f(x)(x∈R)为奇函数,且f(-1)=0,
∴f(1)=-f(-1)=0.
当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.
∵当x>0时,g'(x)='=<0,
∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,在区间(-∞,0)上单调递增.
∴在区间(0,+∞)上,当0g(1)=0,即>0,即f(x)>0;在区间(-∞,0)上,当x<-1时,g(x)0.
综上,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
答案:(-∞,-1)∪(0,1)
7.若函数f(x)=x2-aln x在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是 .
解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),故a-2≥0,解得a≥2,而f'(x)=x-,令x-=0,解得x=.
由题意得a-2<因此,a∈[2,4).
答案:[2,4)
8.已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1],a>0,若f(x)在区间(0,1]上是增函数,则a的取值范围是 .
解析:由题意知f'(x)=2a-3x2≥0对x∈(0,1]恒成立,所以a≥x2对x∈(0,1]恒成立.因为x∈(0,1],所以x2∈.所以a≥.故a的取值范围是.
答案:
9.已知函数f(x)=-2x2+ln x(a≠0)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
解:函数f(x)的导数f'(x)=-4x+.
若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,则当x∈[1,2]时,f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0,即≥4x-≤4x-对x∈[1,2]恒成立.设h(x)=4x-,则h'(x)=4+.
因为h'(x)=4+>0对x∈[1,2]恒成立,所以函数h(x)在区间[1,2]上单调递增.
所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,
解得a<0或0故a的取值范围是(-∞,0)∪∪[1,+∞).
10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x(a≠0).
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)h(x)=ln x-ax2-2x,则定义域为(0,+∞),h'(x)=-ax-2.因为h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调递减区间,所以h'(x)<0在区间(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在区间(0,+∞)上有解.
当a>0时,显然不等式有解;当a<0时,因为抛物线的对称轴x=->0,所以只需满足Δ=4+4a>0,得a>-1.因此a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(2)因为h(x)在区间[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥恒成立.设φ(x)=-1.
因为x∈[1,4],所以.
所以当时,φ(x)max=φ(4)=-.所以a≥-.
又因为a≠0,所以a的取值范围是∪(0,+∞).