(共28张PPT)
4.1 因式分解
北师版 八年级下册
新知导入
单项式和多项式统称整式，例如5，2x，ab，a2b+2a等都是整式；
【想一想】整式、单项式、多项式的定义分别是什么？
数与字母的积的形式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，例如2x2，2a2b3，3，a等都是单项式；
几个单项式的和叫多项式，例如x3+3y，2x2y+3等都是多项式.
新知导入
简便运算.
(1)736×95+736×5; (2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.
=736×（95+5）
=736×100
=73600
=2.67×（-132+25+7）
=2.67×（-100）
=-267
新知讲解
【思考】
(1)993-99能被99整除吗
因为993-99
=99×992-99×1
=99(992-1)
所以993-99能被99整除.
新知讲解
【思考】
(2)993-99能被100整除吗
993-99
=99×992-99×1
=99(992-1)
=99×9800
=99×98×100
所以993-99能被100整除.
新知讲解
解： 993-99=98 ×99 ×100
=980 ×990
=9 702 ×100=……
所以， 993-99还能被99、98、980、990、9 702等整除.
这里解决问题的关键是什么？
关键是把一个数式（左边）化成几个数的积的形式.
新知讲解
如果我们将数字换成字母，上述结论仍然成立吗
议一议：
你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
解： a3-a
=a(a2-1)
=a(a+1) (a-1).
新知讲解
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
ma+mb+mc
ma+mb+mc=m(a+b+c)
m(a+b+c)
新知讲解
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
x2+2x+1=(x+1)2
x2+2x+1
(x+1)2
新知讲解
刚刚进行的这种变形就叫做因式分解，你能总结它的定义吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
a3-a =a(a+1) (a-1).
ma+mb+mc=m(a+b+c)
x2+2x+1=(x+1)2
因式分解也可称为分解因式.
新知讲解
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a(a+2b)=4a2+8ab ；
（2）6ax-3ax2=3ax(2-x)；
（3）a2-4=(a+2)(a-2)；
（4）x2-3x+2=x(x-3)+2.
不是因式分解
是因式分解
是因式分解
不是因式分解
新知讲解
计算下列各式：
（1）3x(x-1)= ;
（2）m(a+b+c)= ;
（3）(m+4)(m-4)= ;
（4）(y-3)2= ;
3x2-3x
ma+mb+mc
m2-16
y2-6y+9
新知讲解
根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x= ;
（2）ma+mb+mc= ;
（3）m2-16= ;
（4）y2-6y+9= ;
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
新知讲解
m(a+b+c)=ma+mb+mc （1）
ma+mb+mc= m(a+b+c) （2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算；等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
即：
ma+mb+mc m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明.
新知讲解
对于因式分解应注意以下几点:
(1)分解的对象必须是多项式;
(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;
(3)要分解到不能分解为止.
【拓展提高】
课堂练习
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x
B.(x+5)(x-2)=x2+3x-10
C.x2-8x+16=(x-4)2
D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)
C
课堂练习
2.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25
B
课堂练习
3.计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝________________；
(3)8y(y＋1)＝__________；
(4)a(x＋y＋1)＝____________．
a2－b2
a2＋2ab＋b2
8y2＋8y
ax＋ay＋a
课堂练习
4.根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(1)ax＋ay＋a； (2)a2－b2；
＝a(x＋y＋1)．
＝(a＋b)(a－b)．
(3)a2＋2ab＋b2; (4)8y2＋8y.
＝(a＋b)2.
＝8y(y＋1)．
拓展提高
5.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x＋n，则
x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，
即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
拓展提高
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求另一个因式以及k的值．
中考链接
6.【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是
( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
中考链接
7.【中考·河北】对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
C
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式.
2.因式分解与整式乘法是互逆过程.
3.因式分解要注意以下几点:
(1)分解的对象必须是多项式;
(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;
(3)要分解到不能分解为止.
板书设计
课题：4.1 因式分解
教师板演区
学生展示区
一、定义
二、因式分解与整式乘法的关系
作业布置
课本 P93 练习题
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北师版八年级下册数学4.1 因式分解教学设计
课题 4.1 因式分解 单元 第四单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.3.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.4.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.
重点 因式分解的概念.
难点 理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：【想一想】整式单项式多项式的定义分别是什么？单项式和多项式统称整式，例如5，2x，ab，a2b+2a等都是整式；数与字母的积的形式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，例如2x2，2a2b3，3，a等都是单项式；几个单项式的和叫多项式，例如x3+3y，2x2y+3等都是多项式.简便运算.(1)736×95+736×5; =736×（95+5）=736×100=73600 (2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.=2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267 学生思考回答问题。 这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.
讲授新课 【思考】 (1)993-99能被99整除吗 因为993-99=99×992-99×1=99(992-1)所以993-99能被99整除.(2)993-99能被100整除吗 993-99=99×992-99×1=99(992-1)=99×9800=99×98×100所以993-99能被100整除.思考：993-99还能被哪些正整数整除？解： 993-99=98 ×99 ×100=980 ×990=9 702 ×100=……所以， 993-99还能被99、98、980、990、9 702等整除.这里解决问题的关键是什么？关键是把一个数式（左边）化成几个数的积的形式.如果我们将数字换成字母，上述结论仍然成立吗 议一议：你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？解： a3-a =a(a2-1)=a(a+1) (a-1).做一做观察下面拼图过程，写出相应的关系式．ma+mb+mc=m(a+b+c)x2+2x+1=(x+1)2刚刚进行的这种变形就叫做因式分解，你能总结它的定义吗？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 a3-a =a(a+1) (a-1).ma+mb+mc=m(a+b+c)x2+2x+1=(x+1)2因式分解也可称为分解因式.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a(a+2b)=4a2+8ab ；不是因式分解（2）6ax-3ax2=3ax(2-x)；是因式分解（3）a2-4=(a+2)(a-2)；是因式分解（4）x2-3x+2=x(x-3)+2.不是因式分解计算下列各式：（1）3x(x-1)= 3x2-3x ;（2）m(a+b+c)=ma+mb+mc;（3）(m+4)(m-4)= m2-16;（4）(y-3)2= y2-6y+9;根据上面的算式进行因式分解：（1）3x2-3x=3x(x-1);（2）ma+mb+mc= m(a+b+c) ;（3）m2-16=(m+4)(m-4);（4）y2-6y+9= (y-3)2;因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明.m(a+b+c)=ma+mb+mc （1）ma+mb+mc= m(a+b+c) （2）联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算；等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即：【拓展提高】对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止. 学生根据课本内容得出结论。思考问题。学生与同伴交流每一步是怎么变形的 学生观察拼图过程,写出相应的关系式.学生根据所学知识做练习。 以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.
课堂练习 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( C )A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB.(x+5)(x-2)=x2+3x-10C.x2-8x+16=(x-4)2D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)2.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( B )A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－253.计算下列各式：(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(3)8y(y＋1)＝8y2＋8y；(4)a(x＋y＋1)＝ax＋ay＋a4.根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：(1)ax＋ay＋a； (2)a2－b2；＝a(x＋y＋1)． ＝(a＋b)(a－b)．(3)a2＋2ab＋b2; (4)8y2＋8y.＝(a＋b)2. ＝8y(y＋1)．5.仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴解得故另一个因式为x－7，m的值为－21.仿照上面的方法解答下面问题：已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是2x－5，求另一个因式以及k的值．解：设另一个因式为x＋a，则2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，即2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，∴解得故另一个因式为x＋4，k的值为20.6.【中考·常德】下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( C )A．a(m＋n)＝am＋anB．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2C．10x2－5x＝5x(2x－1)D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x7.【中考·河北】对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( C )A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆过程.3.因式分解要注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.
板书 课题：4.1 因式分解一、定义二、因式分解与整式乘法的关系
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