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等腰三角形和直角三角形
教学内容
1、等腰三角形的性质；
2、等腰三角形的判定与性质；
3、动点组成等腰三角形；
4、含30°角的直角三角形；
5、反证法；
6、直角三角形全等的判定．
教学过程
考点一:等腰三角形的性质
边．
诊断1．（2021春 龙岗区期末）若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
【解答】解：根据题意，①当腰长为6时，符合三角形三边关系，周长＝6+6+4＝16；
②当腰长为4时，符合三角形三边关系，周长＝4+4+6＝14．
故选：D．
内化1-1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
内化1-2．（2021春 龙华区期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
【解答】解：∵实数x，y满足，∴x＝6，y＝3．
∵3、3、6不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，∴等腰三角形周长为3+6+6＝15．
故答案为15．
内化1-3．等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．4或6
【解答】解：4是底边时，腰长为（14﹣4）＝5，此时，三角形的三边分别为4、5、5，能组成三角形，
4是腰长时，底边为14﹣4×2＝6，此时，三角形的三边分别为4、4、6，能组成三角形，
综上所述，底边为4或6．故选：D．
内化1-4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，
∴设AB＝AC＝xcm，则BC＝（16﹣2x）cm，∴，
解得4cm＜x＜8cm．故选：C．
角．
诊断2．（2021春 龙岗区期中）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
【解答】解：本题分两种情况，
①当70°角为顶角时，顶角的度数为70°，
②当70°角为底角时，顶角的度数为180°﹣2×70°＝40°；
∴这个等腰三角形的顶角为40°或70°．
故答案为：70°或40°．
内化2-1．（2017春 龙岗区期末）如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【解答】解：∵△ABC中，AC＝AD，∠DAC＝40°，
∴∠ADC＝＝70°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∴∠B＝∠BAD＝（）°＝35°．
故选：A．
内化2-2．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD＝110°，则∠BAC的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵AD∥BC，∠1＝70°，
∴∠C＝∠1＝70°，
∴∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
内化2-3．如图，△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．36° D．45°
【解答】解：设∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，
∵DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝x，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2x，
∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD＝2x，
在△ABD中，∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得x＝36°．∴∠B＝36°，
故选：C．
内化2-4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
【解答】解：∵BD＝AD
∴∠A＝∠ABD
∵BD＝BC
∴∠BDC＝∠C
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A
∴∠C＝∠BDC＝2∠A
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠C
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°
∴∠A+2∠C＝180°
把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2 2∠A＝180°
解得∠A＝36°
故选：D．
三线合一．
诊断3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC＝7，则DE的长为 ．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中点，
∵E是AB的中点，
∴DE是三角形中位线，
∵AC＝7，
∴DE＝3.5．
故答案为：3.5．
内化3-1．（2021春 光明区期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E．
（1）证明：AE＝ED；
（2）求线段DE的长．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD，∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE．
（2）∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDB＝∠B．
∴BE＝DE，
∴DE＝BE＝AE＝＝×8＝4．
考点二:等腰三角形的判定与性质
诊断．（2019春 龙岗区期中）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
故△ABC是等腰三角形．
（2）解：当∠CAE＝120°时△ABC是等边三角形．
∵∠CAE＝120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD＝∠CAD＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝60°，∠CAD＝∠C＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
内化1-1．（2021春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
内化1-2．（2021春 宝安区月考）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC DH＝8×4＝16．
考点三:动点组成等腰三角形
诊断．（2020春 福田区期中）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故选：D．
内化1-1．（2018春 坪山区期末）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0），若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB＝2，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（4，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：D．
内化1-2．（2021春 龙岗区期末）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；
（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
【解答】解：（1）∵出发2秒，AP＝2cm＜8cm，BQ＝4cm＜6cm，即此时P在AB上，Q在BC上，
∴BP＝8﹣2＝6（cm），BQ＝2×2＝4（cm），
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ＝（cm）
即出发2秒后，求PQ的长为2cm．
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形，AP＝t，BP＝AB﹣AP＝8﹣t；BQ＝2t
由PB＝BQ得：8﹣t＝2t
解得t＝（秒），
即出发秒后第一次形成等腰三角形．
（3）Rt△ABC中由勾股定理得：AC＝＝10（cm）；
当0＜t≤3时，P在AB上，Q在BC上，∵AP＝t，BP＝AB﹣AP＝8﹣t，BQ＝2t，QC＝6﹣2t，
又∵线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分，
∴由周长相等得：AC+AP+QC＝PB+BQ
10+t+（6﹣2t）＝8﹣t+2t
解得：t＝4（s），此时不符合；
当3＜t≤8时，P在AB上，Q在AC上，t+10+6﹣2t＝2t+8﹣t，
解得：t＝4，
即从出发4秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分．
考点四:含30°角的直角三角形
诊断．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1，可得BC＝2BD＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，
则AB＝2BC＝4．
故选：D．
内化1-1．（2021春 南山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，
故选：D．
内化1-2．（2021春 罗湖区期中）如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，DE⊥AB，则△EBD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中点，BC＝2，
∴Rt△BED中，BD＝BC＝，
∴DE＝，BE＝，
∴△EBD的面积为×＝．
故选：B．
内化1-3．（2021春 龙华区期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【解答】解：（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，∴CE＝CB．
（2）解法一：∵AC是∠EAB的角平分线，∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴BE＝2．
解法二：在Rt△ACE与Rt△ACB中，
∵AC＝AC，CE＝CB，
∴Rt△ACE≌Rt△ACB（HL），
∴AE＝AB．
∵AC是∠EAB的平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∴BE＝2．
考点五:反证法
诊断．（2019春 福田区期中）用反证法证明“a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b
【解答】解：用反证法证明“a＞b”时第一步应假设：a≤b．
故选：D．
内化1-1．（2017春 南山区期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠B＝∠C B．∠A＝∠C C．∠A＝∠B D．AB＝BC
【解答】解：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．
用反证法来证明这个结论，可以假设∠B＝∠C，
故选：A．
内化1-2．（2021春 罗湖区期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：C．
考点六:直角三角形全等的判定
诊断．（2021春 宝安区期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
内化1-1．（2020春 罗湖区期中）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（ ）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF
【解答】解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：A．
内化1-2．（2019春 罗湖区期中）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 个．
【解答】解：①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；
②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；
④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．
所以正确的结论是②④．
故答案为2．
挑战过关
一．选择题（共7小题）
1．（2019春 福田区期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．12或13
【解答】解：①3是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+5＝11，
②5是腰长时，能组成三角形，周长＝5+5+3＝13，
所以，它的周长是11或13．
故选：C．
2．（2019春 罗湖区期中）已知实数x，y满足|x﹣6|+＝0，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为（ ）
A．27或36 B．27 C．36 D．以上答案都不对
【解答】解：∵实数x，y满足|x﹣6|+＝0，∴x＝6，y＝15．
∵6、6、15不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长分别为6、15、15，
∴等腰三角形周长为6+15+15＝36．
故选：C．
3．（2020春 龙岗区期中）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A．30° B．26° C．23° D．20°
【解答】解：∵∠A＝46°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝67°．
∵∠BDC＝90°，∴∠DCB＝23°，
故选：C．
4．（2019春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，
∵△AED的周长为16，∴AB+AD＝16，∵AD＝6，∴AB＝10，
故选：C．
5．（2021春 宝安区期末）在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，BP交边AC于点D，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2AD B．BP平分∠ABC C．BD垂直平分AC D．AD＝DC
【解答】解：如图．
由题意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE＝PF，
∴BP平分∠ABC，
∵AB＝BC，
∴AD＝DC，BD垂直平分AC，
故选项B、C、D正确，不符合题意；
只有当△ABC是等边三角形时，才能得出AB＝2AD，
故选项A错误，符合题意．
故选：A．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是∠ABD和∠ADB的平分线的交点，则∠BPD的度数是（ ）
A．105° B．110° C．130° D．145°
【解答】解∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵CD＝BC，∴∠CBD＝CDB＝∠ACB＝35°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝105°
∵PD平分∠CDB，PB平分∠ABD，∴∠PDB＝CDB＝17.5°，∠PBD＝∠ABD＝52.5°，
∴∠BPD＝180°﹣17.5°﹣52.5°＝110°，故选：B．
7．（2019春 龙岗区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，∠BFC＝105°；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠FBC，∴∠DBF＝∠DFB，
∴△BDF是等腰三角形，故①正确；∴BD＝DF，
同理可得：EC＝FE，∴DE＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，∴∠BFC＝90°+∠A＝90°+25°＝115°，故③错误；
无法得出BF＝FC，故④错误；
故选：B．
二．填空题（共3小题）
8．（2019春 罗湖区期中）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是 ．
【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数即为50°；
（2）当50°为底角时，顶角＝180°﹣2×50°＝80°．
故填50°或80°．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝ cm．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1.5cm，
可得BC＝2BD＝3cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3cm，
则AB＝2BC＝6cm．
故答案为：6．
10．（2018春 罗湖区期中）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设 ．
【解答】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
三．解答题（共2小题）
11．（2020春 龙岗区期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
【解答】（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：连接BD，
∵等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°
由（1）知∠E＝30°∴∠DBC＝∠E＝30°∴DB＝DE又∵DM⊥BC∴M是BE的中点．
12．（2019春 南山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．
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等腰三角形和直角三角形
教学内容
1、等腰三角形的性质；
2、等腰三角形的判定与性质；
3、动点组成等腰三角形；
4、含30°角的直角三角形；
5、反证法；
6、直角三角形全等的判定．
教学过程
考点一:等腰三角形的性质
边．
诊断1．（2021春 龙岗区期末）若等腰三角形的两边长分别为4和6，则它的周长是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．14或16
内化1-1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
内化1-2．（2021春 龙华区期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
内化1-3．等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．4或6
内化1-4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
角．
诊断2．（2021春 龙岗区期中）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角为 ．
内化2-1．（2017春 龙岗区期末）如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
内化2-2．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD＝110°，则∠BAC的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
内化2-3．如图，△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．36° D．45°
内化2-4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
三线合一．
诊断3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC＝7，则DE的长为 ．
内化3-1．（2021春 光明区期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E．
（1）证明：AE＝ED；
（2）求线段DE的长．
考点二:等腰三角形的判定与性质
诊断．（2019春 龙岗区期中）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时，△ABC是等边三角形？证明你的结论．
内化1-1．（2021春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
内化1-2．（2021春 宝安区月考）如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
考点三:动点组成等腰三角形
诊断．（2020春 福田区期中）如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
内化1-1．（2018春 坪山区期末）如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0），若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
内化1-2．（2021春 龙岗区期末）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P开始从点A开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿△ABC的边做逆时针运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）在运动过程中，△PQB能形成等腰三角形吗？若能，则求出几秒后第一次形成等腰三角形；若不能，则说明理由；
（3）从出发几秒后，线段PQ第一次把直角三角形周长分成相等的两部分？
考点四:含30°角的直角三角形
诊断．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，则AB的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
内化1-1．（2021春 南山区期中）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
内化1-2．（2021春 罗湖区期中）如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，DE⊥AB，则△EBD的面积为（ ）
A． B． C． D．
内化1-3．（2021春 龙华区期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
考点五:反证法
诊断．（2019春 福田区期中）用反证法证明“a＞b”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b
内化1-1．（2017春 南山区期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A．∠B＝∠C B．∠A＝∠C C．∠A＝∠B D．AB＝BC
内化1-2．（2021春 罗湖区期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
考点六:直角三角形全等的判定
诊断．（2021春 宝安区期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
内化1-1．（2020春 罗湖区期中）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（ ）
A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF
内化1-2．（2019春 罗湖区期中）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 个．
挑战过关
一．选择题（共7小题）
1．（2019春 福田区期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．11或13 D．12或13
2．（2019春 罗湖区期中）已知实数x，y满足|x﹣6|+＝0，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为（ ）
A．27或36 B．27 C．36 D．以上答案都不对
3．（2020春 龙岗区期中）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（ ）
A．30° B．26° C．23° D．20°
4．（2019春 宝安区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2021春 宝安区期末）在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在AB，BC上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P，BP交边AC于点D，则下列结论错误的是（ ）
A．AB＝2AD B．BP平分∠ABC C．BD垂直平分AC D．AD＝DC
6．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是∠ABD和∠ADB的平分线的交点，则∠BPD的度数是（ ）
A．105° B．110° C．130° D．145°
7．（2019春 龙岗区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，∠BFC＝105°；④BF＝CF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共3小题）
8．（2019春 罗湖区期中）一个等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角的度数是 ．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝ cm．
10．（2018春 罗湖区期中）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设 ．
三．解答题（共2小题）
11．（2020春 龙岗区期中）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．
12．（2019春 南山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
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线段的垂直平分线与角平分线
教学内容
1、线段垂直平分线的性质；
2、角平分线的性质．
教学过程
考点一:线段垂直平分线的性质
诊断1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
内化1-1．（2021春 深圳期中）若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 B．点P是△ABC三条角平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点 D．点P是△ABC三边中线的交点
【解答】解：∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB＝PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
内化1-2．（2019春 龙岗区期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
角．
诊断2．（2019春 光明区期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，
故选：C．
内化2-1．（2018秋 坪山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE∴∠EAC＝∠C，
又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，∴∠AEB＝80°，
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝40°．
故选：B．
内化2-2．（2021春 罗湖区期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
内化2-3．（2019春 福田区期中）如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D、E，若∠DAE＝50°，则∠BAC＝ ．
【解答】解：∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC（等边对等角），
∵∠BAC＝∠DAE+∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠DAE＝50°，
∴∠BAC＝115°，
故答案为：115°
边．
诊断3-1．（2021春 罗湖区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC，
∵BC＝6，AC＝5，
∴△ACE的周长＝AC+BC＝11，
故选：A．
诊断3-2．（2021春 光明区期末）如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝，AC＝3，BC＝1，∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
设CD为x，AD＝DB＝3﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝，
故选：B．
内化3-1．（2021春 罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（ ）
A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．故选：D．
内化3-2．（2021春 龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），故选：A．
内化3-3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设CE＝x．
∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，
解得x＝．故选：A．
考点二:角平分线的性质
诊断1．（2020春 龙岗区期中）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【解答】解：
，
∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别是D，E，F，
又∵OD＝OE＝OF，∴O在∠BAC的平分线上，O在∠ABC的角平分线上，O在∠ACB的角平分线上，
即O是△ABC的三角的平分线的交点，
故选：C．
内化1-1．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵有三条公路相交如图，现计划修建一个油库，要求到三条公路的距离相等，
∴在角平分线的交点处．
如图．
故选：D．
诊断2．（2019春 罗湖区期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1cm
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵BD＝2CD，BC＝6，∴CD＝2，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2cm，故选：C．
内化2-1．（2019春 南山区期末）如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 ．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥DC于E，
∵AD∥BC，PA⊥AD，∴PB⊥CB，
∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，∴PA＝PE，PB＝PE，∴PE＝PA＝PB，
∵PA+PB＝AB＝10，∴PA＝PB＝5，∴PE＝5．故答案为：5．
内化2-2．（2021春 南山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×18 DE＝27，
解得：DE＝3，∴CD＝3．
故选：C．
内化2-3．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：∵DE＝3，AB＝6，∴△ABD的面积为，
∵S△ABC＝15，∴△ADC的面积＝15﹣9＝6，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴AC边上的高＝DE＝3，∴AC＝6×2÷3＝4，
故选：D．
内化2-4．（2021春 罗湖区期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且AP＝2，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是 ．
【解答】解：作PH⊥AB于H，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，PH⊥AB，
∴PH＝PE，
∵P是∠BAC的平分线AD上一点，
∴∠EAP＝30°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP＝90°，
∴AE＝AP×cos∠EAP＝3，
∵△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，PH＝PE，
∴AF＝2AE＝6，
故答案为：6．
内化2-5．（2019春 坪山区期末）已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求证：BD＝2CD；
（2）若CD＝2，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE＝CD，
又∵∠B＝30°，
∴Rt△BDE中，DE＝BD，
∴BD＝2DE＝2CD；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝BD＝2CD＝4，
∴Rt△ACD中，AC＝＝2，
∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．
挑战过关
一．选择题（共6小题）
1．（2018春 龙岗区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
2．（2020 宝安区校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°，∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
3．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，其中AB、AC的垂直平分线交BC于点D、E，△ADE的周长为16，则BC的长（ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线交BC于点D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，
∵△ADE的周长为16，∴AD+DE+EA＝16，∴BD+DE+EC＝16，即BC＝16，
故选：A．
4．（2019春 龙岗区期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【解答】解：如图，
∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，
∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，
过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，
∴点D到AB边的距离是9，故选：B．
5．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
【解答】解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
6．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠PAH＝∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，
∴PN＝PH，同理PM＝PH，
∴PN＝PM，
∴PB平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，
∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，
，
∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH，
∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，
∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，
在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，
∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，
∵∠BPN＝∠CPA＝60°，
∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确，
故答案为：①②③④．
二．填空题（共2小题）
7．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 ．
【解答】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝3，
∴PQ≥PA＝3．
故选：C．
8．（2021春 罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为 ．
【解答】解：∵CD垂直平分BE，
∴CE＝CB，∠BDC＝90°，
∴CD平分∠BCE，即∠BCD＝∠ECD，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
而∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2．
故答案为2．
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线段的垂直平分线与角平分线
教学内容
1、线段垂直平分线的性质；
2、角平分线的性质．
教学过程
考点一:线段垂直平分线的性质
诊断1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
内化1-1．（2021春 深圳期中）若P是△ABC所在平面内的点，且PA＝PB＝PC，则下列说法正确的是（ ）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 B．点P是△ABC三条角平分线的交点
C．点P是△ABC三边上高的交点 D．点P是△ABC三边中线的交点
内化1-2．（2019春 龙岗区期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处 B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
角．
诊断2．（2019春 光明区期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
内化2-1．（2018秋 坪山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
内化2-2．（2021春 罗湖区期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
内化2-3．（2019春 福田区期中）如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D、E，若∠DAE＝50°，则∠BAC＝ ．
边．
诊断3-1．（2021春 罗湖区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（ ）
A．11 B．12 C．16 D．17
诊断3-2．（2021春 光明区期末）如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为（ ）
A． B． C．1 D．
内化3-1．（2021春 罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（ ）
A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
内化3-2．（2021春 龙岗区期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
内化3-3．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
考点二:角平分线的性质
诊断1．（2020春 龙岗区期中）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
内化1-1．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离相等，那么选择油库的位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
诊断2．（2019春 罗湖区期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝6cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1cm
内化2-1．（2019春 南山区期末）如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 ．
内化2-2．（2021春 南山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝18，S△ABD＝27，则CD的长为（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
内化2-3．（2019春 龙岗区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
内化2-4．（2021春 罗湖区期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且AP＝2，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是 ．
内化2-5．（2019春 坪山区期末）已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求证：BD＝2CD；
（2）若CD＝2，求△ABD的面积．
挑战过关
一．选择题（共6小题）
1．（2018春 龙岗区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
2．（2020 宝安区校级开学）如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
3．如图，△ABC中，∠BAC＞90°，其中AB、AC的垂直平分线交BC于点D、E，△ADE的周长为16，则BC的长（ ）
A．16 B．18 C．24 D．32
4．（2019春 龙岗区期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
5．（2021春 宝安区期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
6．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共2小题）
7．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为 ．
8．（2021春 罗湖区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为 ．
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