2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式的证明
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解基本不等式的内容及证明(重点)； 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小； 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点). 1、逻辑推理 2、数学运算
【自主学习】
重要不等式与基本不等式
注意：基本不等式≥(a>0，b>0)
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b ＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝ a＝b.
思考1：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？
思考2： a＋≥2(a≠0)是否恒成立？
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立．( )
(2)若a≠0，则a＋≥2 ＝4.( )
(3)若a，b∈R，则ab≤2.( )
(4)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
【经典例题】
题型一 对基本不等式的理解
例1 给出下面三个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；
③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③ C．② D．①③
【跟踪训练】1下列命题中正确的是( )
A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2
B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4
C．当a>4时，a＋≥2 ＝6
D．当a>0，b>0时，≥
题型二 利用基本不等式比较大小
例2 设0
A.aC.a<【跟踪训练】2 已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.m≥n
题型三 用基本不等式证明不等式
点拨：在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.
【跟踪训练】3 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
【当堂达标】
1．若0A. B．a2＋b2 C．2ab D．a
2．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3.(多选题)下列不等式不一定成立的是( )
A．x＋≥2 B．≥
C. D．2－3x－≥2
4.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
①a2＋1＞a； ②≥4； ③(a＋b)≥4； ④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________(填序号).
已知a>b>c，则与的大小关系是
6.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.
【参考答案】
【自主学习】
思考1：不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数。
思考2：只有a>0时，a＋≥2，当a<0时，a＋≤－2
【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)√ (4)√
【经典例题】
例1 D 解析 ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以＋a≥2 ＝4是错误的；
③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．
【跟踪训练】1 B解析：A项中，可能<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确．
例2 B 解析：法一 ∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.
【跟踪训练】2 A解析：因为a＞2，所以a－2＞0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2＜2，n＝22－b2＜4，
综上可知m＞n.
例3 证明 ＋＋＝＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立.
【跟踪训练】3证明 由基本不等式可得：
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理：b4＋c2≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
【当堂达标】
B解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，
∵02. A 解析：当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．
当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．
3. AD 解析：A项，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误；
B项，＝≥，∴B正确；
C项，，其中x2>0，满足基本不等式的要求，∴C正确；
D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误．
①②③ 解析：由于a2＋1－a＝＋＞0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，那么a＝b＝1时“＝”成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.
综上，恒成立的是①②③.
5. ≤ 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
6.证明 (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)
≥2·2·2＝8abc.
当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立.2.2 基本不等式
第2课时 基本不等式的综合应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.能够运用基本不等式解决生活中的最值问题(难点)； 2.能够对式子进行变形，构造定值； 3.会用基本不等式解决恒成立问题(重点)。 1、逻辑推理 2、数学运算 3、数学建模
【自主学习】
一．基本不等式与最值
已知x、y都是正数，
1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____．
2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____．
二．运用基本不等式求最值的三个条件：
1.“一正”：x，y必须是 ；
2.“二定”：求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为 ；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为 .
3.“三相等”：当且仅当x=y时，等号成立。
三．通过变形构造定值的方法
如果题目中基本不等式不能满足“和为定值”或“积为定值”，就不能直接用基本不等式求最值。需要通过变形，构造定值，常见方法有：配项法；配系数法；分式型基本不等式；常值代换法“1”的代换。
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.( )
(4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.( )
【经典例题】
题型一 利用基本不等式求最值
例1 当x>0时，y＝＋4x的最小值为( )
A．4 B．8 C．8 D．16
【跟踪训练】1 已知x<0，求最大值。
思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”、“二定”、“三相等”，现在x<0，
通过变形再利用基本不等式求最值。
题型二 变形构造定值—配项法
点拨：求和的最小值时，可以通过配项，使两个因式的积为定值。一般情况下，两个因式会为整式和分式，将整式部分配成分式分母的形式。变形的过程中要保证恒等变形。
例2 当x>1时，求函数y＝x＋最小值。
【跟踪训练】2 若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．
题型三 变形构造定值—配系数法
点拨：求积的最大值时，通过因式中的系数变形，使两个因式的和为定值。变形的过程中要保证恒等变形。
例3 已知0＜x＜，求f(x)＝x(1－2x)的最大值。
【跟踪训练】3 若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为( )
A．1 B. C. D.
题型四 变形构造定值—分式型基本不等式
点拨：分式型基本不等式有两种形式
当分子次数高于分母次数时，将分母当成整体，将分子改写成含有分母整体的形式，便可构造出积为定值的形式，利用基本不等式求解。
当分子次数低于分母次数时，分子分母同时除以分子，将分子化为常数，分母利用基本不等式求解。
例4 已知x>0，则函数的最小值为_______.
【跟踪训练】4 已知x＞0，求y＝的最大值．
题型五 变形构造定值—常值代换法“1”的代换
点拨：对于已知题型，通常采用这种方法。（其中a，b均为正数）
例5 。
【跟踪训练】5 已知x＞0，y＞0且＋＝1，则x＋y的最小值为________.
题型六 利用基本不等式解决实际问题
例6 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【跟踪训练】6 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
【当堂达标】
1.设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为( )
A．6 B．9 C．12 D．15
2.若－4A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1
3.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( )
A.10 B.9 C.8 D.7
4.已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
5.已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________.
6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
7.(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
【参考答案】
【自主学习】
正数 定值 定值
【小试牛刀】
(1)√ (2)× (3)× (4)×
【经典例题】
例1 C 解析：∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.
【跟踪训练】1 解：∵x<0，
∴
通过变形，
∵
∴
当且仅当，即时，等号成立，取得最大值。
例2 解：通过配项得；
当且仅当＝，即x＝2时，等号成立，取得最小值3.
【跟踪训练】2 －1 解析：∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1.
例3 解：因为0＜x＜，所以1－2x＞0，f(x)＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以f(x)的最大值为.
【跟踪训练】3 C 解析： ∵0＜x＜，
∴1－4x2＞0，
∴x＝×2x≤×＝，
当且仅当2x＝，即x＝时等号成立.
例4 -2 解析：∵x>0，
∴
当且仅当x=1时，等号成立。
【跟踪训练】4 解： y＝＝.
∵x＞0，
∴x＋≥2＝2，
∴0＜y≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.
例5 解：
当且仅当
【跟踪训练】5 16 解析：法一 (1的代换)：因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x＞0，y＞0，所以＋≥2＝6，
当且仅当＝，即y＝3x ①时，取“＝”.
又＋＝1，②
解①②可得x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
法二 (消元法)：由＋＝1，得x＝.
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
所以x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝
(y－9)＋＋10.
因为y＞9，所以y－9＞0，
所以(y－9)＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4，
所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16.
例6解：(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
【跟踪训练】6 解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意可知，面粉的保管等其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1).
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋＋10 809≥2＋10 809＝10 989(元)，
当且仅当9x＝，即x＝10时，等号成立.
所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
【当堂达标】
1.B 解析：(x＋y)＝x·＋＋＋y·＝1＋4＋＋≥5＋2 ＝9.
2.D 解析：
∵－4∴x-1>0,
∴
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
3. B 解析：因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.
4. 3 解析：∵x，y>0，
∴＋＝1≥2 ，得xy≤3，当且仅当＝即x＝，y＝2时，取“＝”号，
∴xy的最大值为3.
5. 解析：正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝×(5＋4)＝，
当且仅当x＝2y＝时，取得最小值.
6.20 解析：每年购买次数为次．
∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．
7. 解：(1)∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝＋x＝＋x－3＋3
＝－＋3
≤－2 ＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10
≥2 ＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.