2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
课程标准 学科素养
1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系． 2．掌握图象法解一元二次不等式．(重点) 3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．（难点） 1、数学抽象 2、数学运算
【自主学习】
一．一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.
二．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．
(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1
(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
【经典例题】
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
点拨：解一元二次不等式的步骤
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集.
例1 解下列不等式：
(1)－x2＋7x>6；
(2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)。
【跟踪训练】1 解不等式(2－x)(x＋3)<0．
题型二 一元二次不等式解法的逆向问题（已知解集求参数）
例2 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
点拨：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1【跟踪训练】2 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
题型三 含参数的一元二次不等式的解法
例3 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
点拨：先求出方程x2－ax－2a2＝0的两根x1＝2a，x2＝－a，再通过比较2a与－a的大小写出不等式的解集．
【跟踪训练】3 解关于x的不等式(a∈R)：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
【当堂达标】
1.下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为( )
A.a＝6，c＝1 B.a＝－6，c＝－1
C.a＝1，c＝6 D.a＝－1，c＝－6
3.已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－24. (多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )
A．b＜0且c＞0
B．a－b＋c＞0
C．a＋b＋c＞0
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}
5.当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．
6.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【参考答案】
【自主学习】
一个 2 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
{x|x＜x1或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R
【小试牛刀】
(1)× (2)× (3)× (4)√
【经典例题】
例1 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1(2)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
【跟踪训练】1 原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
例2解：∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有得
代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0 (2x－1)(x－1)>0 x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为.
【跟踪训练】2 解 由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a＜0，0＜α＜β，∴由②得c＜0，
则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0.
①÷②，得＝＝－＜0.
由②得＝＝·＞0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根.
又∵0＜α＜β，∴0＜＜，
∴不等式x2＋x＋＞0的解集为，
即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
例3 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a【跟踪训练】3 解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.
【当堂达标】
1.B 解析：②④一定是一元二次不等式.
2.B 解析：易知a＜0，且
3.C 解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－24.ABD 解析：对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确；
令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，a－b＋c＞0，所以B正确；
对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误；
对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．
5. {x|x<－a或x>1} 解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，
方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，
∵a>－1，
∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．
6.解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，解得若01时，解得1综上，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式的综合应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式； 2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点)； 3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决(难点)。 1、数学抽象 2、数学运算 2、数学建模
【自主学习】
一．分式不等式的解法
若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．
1.>0 ；
2.<0 ；
3.≥0 ；
4.≤0 .
二．一元二次不等式恒成立问题
1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立 k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立 k≤f(x)min.
【经典例题】
题型一 简单的分式不等式求解
例1 解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
【跟踪训练】1 解下列不等式：
(1)≥0； (2)＞1.
题型二 一元二次不等式恒成立的问题
例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.
【跟踪训练】2 二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.
题型三 一元二次不等式的实际应用
点拨：一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
例3在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.
【跟踪训练】3某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.
【当堂达标】
1.不等式≥0的解集为( )
A.{x|－1＜x≤1} B.{x|－1≤x＜1} C.{x|－1≤x≤1} D.{x|－1＜x＜1}
2. (多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－14}
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
4.若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．
5.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，实数a的取值范围为________..
6.已知当2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立．求a的取值范围．
【课堂小结】
1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．
2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>y恒成立 a>ymax；(2)a3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
【参考答案】
【自主学习】
f(x)g(x)>0 f(x)g(x)<0
【经典例题】
例1 解(1)原不等式可化为解得
∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为>0，
化简得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3【跟踪训练】1解
(1)原不等式可化为≤0，∴∴
即－＜x≤1.故原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为－1＞0，∴＞0，∴＞0，则x＜－2.
故原不等式的解集为{x|x＜－2}.
例2 解 (1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；
若m≠0，则 －4＜m＜0. ∴m的取值范围为(－4，0].
(2)要使f(x)＜－m＋5恒成立，就要使m＋m－6＜0，x∈[1，3].
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.∴7m－6＜0，解得m＜.∴0＜m＜.
当m＝0时，－6＜0恒成立.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数.
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，解得m＜6，∴m＜0.
综上所述，m的取值范围为.
【跟踪训练】2 (－∞，－1) 解析 a＜－1.
例3 解 由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12，
S乙＝0.05x＋0.005x2>10.
分别求解，得x<－40或x>30.x<－50或x>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
【跟踪训练】3 解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).
(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).
依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.
又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.即x的取值范围为(0，2].
【当堂达标】
1. B 解析：原不等式 ∴－1≤x＜1.
2.CD 解析：若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．
3. C 解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).
4.m≥ 解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
5.解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.
综上，所求实数a的取值范围为.
6.解：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，
∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．
令g(x)＝－2x2＋9x，
∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝，
∴g(x)min＝g(3)＝9，∴a<9.
∴a的取值范围为a<9.