3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 第1课时 函数的概念（一）
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解函数的概念(重点、难点). 2.会求已知函数的定义域； 3. 能够正确使用“区间”的符号表示某些集合． 1、直观想象 2、数学运算 3、数学抽象
【自主学习】
函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
二．区间及有关概念
1.一般区间的表示.
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊区间的表示.
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )
(2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．( )
(4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．( )
(5)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )
【经典例题】
题型一 函数概念的理解
点拨：1.一个对应关系函数，要满足 A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
例1 下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
【跟踪训练】1 若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是( )
题型二 用区间表示数集
例2 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1【跟踪训练】2 已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．
题型三 已知函数的解析式求定义域
点拨：求函数定义域的几种类型
(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.
(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．
例3求下列函数的定义域．
(1)y＝2＋； (2)y＝； (3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
【跟踪训练】3求下列函数的定义域：
(1)y＝－. (2)y＝.
题型四 求抽象函数的定义域
点拨：两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域.
例4 (1) 已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求函数f(2x＋1)的定义域．
(2)函数f(2x＋1)的定义域为[1,3]，求函数f(x)的定义域．
【跟踪训练】4 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域；
(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2，3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域.
【当堂达标】
1.（多选）下列图形中， y是x的函数的是( )
2.已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
3.已知全集U＝R，A＝{x|14.若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________．
5.求下列函数的定义域．
(1)y＝； (2)y＝＋.
6.已知函数y＝的定义域是R，求实数m的取值范围．
【参考答案】
【自主学习】
一．实数集 任意一个数x 唯一确定 x
二．1. [a，b] (a，b) 2.(－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
【小试牛刀】
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
【经典例题】
例1 ④ 解析：①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，②中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于③，集合A中负整数没有意义．
【跟踪训练】1 D 解析：A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
例2 解：(1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)；
(2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)；
(3){x|－1【跟踪训练】2 (－1，＋∞) 解析：由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．
例2 解：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
【跟踪训练】3 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即即解得－3≤x≤2且x≠－1，即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，则解得－≤x≤，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}．
例4 (1)因为函数f(x)的定义域为[1,3]，即x∈[1,3]，函数f(2x＋1)中2x＋1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函数f(2x＋1)的定义域是[0,1]．
(2)因为x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函数f(x)的定义域是[3,7]．
【跟踪训练】4 解 (1)因为函数y＝f(x)的定义域为[－2，3]，即x∈[－2，3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，
所以函数y＝f(2x－3)的定义域为.
(2)因为x∈[－2，3]，所以2x－3∈[－7，3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7，3].
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9，1].
【当堂达标】
1.ABC 解析：由函数的定义知A，B，C是函数．
2. B 解析：由f(x)的定义域是[0,2]知，解得0≤x<1，所以g(x)＝的定义域为[0,1)．
3.(－∞，1]∪(3，＋∞)解析： UA＝{x|x≤1或x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞).
4. 解析：由得0≤x≤，所以函数f(2x)＋f的定义域为.
5.解： (1)由题意得化简得即
故函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．
(2)由题意可得解得故函数的定义域为{x|x≤7且x≠±}．
6.解：①当m＝0时，y＝，其定义域是R.
②当m≠0时，由定义域为R可知，mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，于是有解得0由①②可知，m∈[0,1]．3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 第2课时 函数的概念（二）
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解函数相等的概念. 2.会求函数值. 3.会根据函数类型选择恰当方法求值域. 1、直观想象 2、数学运算 3、数学抽象
【自主学习】
相同函数
值域是由 和 决定的，如果两个函数的定义域和 相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们 相同的函数．
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )
(2)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．( )
(3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．( )
【经典例题】
题型一 函数相同
点拨：判断两个函数为同一函数的方法
判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
例1 下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).
【跟踪训练】1 与函数y＝x－1为同一函数的是( )
A．y＝ B．m＝()2 C．y＝x－x0 D．y＝
题型二 求函数值
点拨：求函数值的方法
①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
②求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则．
例2 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值.
【跟踪训练】2已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f(f(1)).
题型三 求函数值域
点拨：求函数值域常用的4种方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
例3 求下列函数的值域：
y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
（3）y＝； (4)y＝x＋.
【跟踪训练】3 求下列函数的值域：
(1)y＝－1； (2)y＝； (3)y＝2x－.
【当堂达标】
1.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝(x－1)2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(m)＝
2.(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1
3.函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
4.设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________.
5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.
(1)求f(2)，f ； (2)若f(x)＝5，求x的值.
6.求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝； (4)y＝x－.
【参考答案】
【自主学习】
定义域 对应关系 对应关系 不是
【小试牛刀】
(1) √ (2)× (3)√
【经典例题】
例1 ⑤ 解析：①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数.
【跟踪训练】1 D 解析：A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.
例2 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.
【跟踪训练】2解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)f(1)＝＝，f(f(1))＝f＝＝.
例3解：（1）(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
（2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函数的值域为[2,6)．
（3）(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设u＝，则x＝(u≥0)，∴y＝＋u＝(u≥0)
由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥.∴函数y＝x＋的值域为.
【跟踪训练】3 解：(1)(观察法)∵≥0，∴－1≥－1.∴y＝－1的值域为[－1，＋∞)．
(2)(分离常数法) y＝＝＝＝－.
∵≠0， ∴y≠. ∴函数的值域为.
（3）(换元法)设＝t，则t≥0，且x＝t2＋1.
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝22＋.∵t≥0，∴y≥.
故函数的值域为.
【当堂达标】
1.D 解析：A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同.
2.BC 解析： y＝的值域为[0，＋∞)， y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
3.B 解析：由于x∈R，所以x2＋1≥1,0<≤1，即04.－1或3 解析：由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.
5.解:(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f ＝＋－1＝.
(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2或x＝－3.
6.解： (1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，
当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)．
(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函数的值域为{y|y≠－5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为{y|y≥－}．