3.2.1 单调性与最大（小）值
第2课时 函数的最大（小）值
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.（难点） 2.会借助单调性求最值.（重点） 3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．（重点） 1、逻辑推理 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
一．函数的最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) x∈I，都有 ；
(2) x0∈I，使得 .
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，记作f(x)max＝M.
二．函数的最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：
； ，就称N是函数y＝f(x)的最小值，记作f(x)min＝N.
思考1：函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？ f(x)的最大值是1吗？
思考2：函数的最值与函数的值域有什么关系？
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.( )
（2）任何函数都有最大(小)值.( )
（3）函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．( )
【经典例题】
题型一 图象法求函数的最值
点拨：图象法求最值的一般步骤
①画出函数图象；
②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.)
例1 如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【跟踪训练】1已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
题型二 利用单调性求函数的最大（小）值
点拨：1.运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.
2.①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.
例2 已知f(x)＝，
(1)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
(2)求f(x)在[2,6]上的最大值和最小值．
【跟踪训练】2 已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．
题型三 求二次函数的最值
点拨：二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．
例3-1（定轴定区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值。
例3-2 （定轴动区间类型）已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值。
例3-3（动轴定区间）求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值。
【跟踪训练】3 已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
【当堂达标】
1.函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是( )
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
2.已知函数f(x)＝，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值，无最小值 B．f(x)有最大值，最小值
C．f(x)有最大值，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值
3.函数f(x)＝的最大值为________．
4.函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.
5.求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
6.已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【参考答案】
【自主学习】
f(x)≤M f(x0)＝M x∈I，都有f(x)≥N x0∈I，使得f(x0)＝N
思考1：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.
思考2：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．
【小试牛刀】
× × √ ×
【经典例题】
例1解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，
所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.
当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.
函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，
单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
【跟踪训练】1 解析 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
例2 解：(1)函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x2>x1>1，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
(2)由(1)可知f(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以f(x)在[2,6]上是减函数，
所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(6)＝，即f(x)min＝，f(x)max＝1.
【跟踪训练】2 解：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在区间上是减少的，所以函数f(x)在[1,5]上是减少的，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
例3-1 解：∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
例3-2 解：∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
②当≤1③当t≤1<，即0④当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝φ(t)＝
例3-3 解：∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
【跟踪训练】3 解：设＝t(t≥0)，则x－2－3=t2－2t－3.由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
【当堂达标】
1.C 解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.
2.A 解析：f(x)＝＝2＋，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝，无最小值。
3.2 解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
4.4 解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.
5.解：f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
综上，g(t)＝
6.解：(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝－＝＝
，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)＝在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝.3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． 2.掌握定义法证明函数单调性的步骤（重点、难点）． 3.掌握求函数单调区间的方法(重点). 1、逻辑推理 2、数学抽象 3、直观想象
【自主学习】
一．增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时
都有 都有
结论 那么就称函数f(x)在区间D上是 函数 那么就称函数f(x)在区间D上是 函数
图示
思考1：在增函数与减函数的定义中，能否把“ x1，x2∈D”改为“ x1，x2∈D”？
思考2：设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意x1(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
(3)对任意x1、x2都有 >0.
思考3：由思考2推广，能否写出减函数的几个等价命题？
二．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____________.
三．基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数 条件 单调递增区间 单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无
k＜0 无 R
反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和(0，＋∞)
k＜0 (－∞，0)和(0，＋∞) 无
二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－]
a＜0 (－∞，－] [－，＋∞)
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为f(－1)(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
(4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． ( )
【经典例题】
题型一 函数单调性的判定与证明
点拨：利用定义证明函数单调性的4个步骤：
例1 用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．
【跟踪训练】1 用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
题型二 利用图象确定函数的单调区间
点拨：1.求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“或”连接，不能用“∪”连接
例2 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.
【跟踪训练】2 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
题型三 函数单调性的应用
已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：
(1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．
(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．
例3 已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．
【跟踪训练】3已知函数f(x)＝若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
【当堂达标】
1. (多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
2. (多选)下列函数在区间(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
3.已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，) B．(，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞)
4.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 。
5.已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为
________．
6.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数.
【课堂小结】
1.函数的单调性
定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．
2.证明函数的单调性
证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
3.等价转化、数形结合
已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f(x)在D上递增，则f(x1)【参考答案】
【自主学习】
一．f(x1)＜f(x2)；增；f(x1)＞f(x2)；减
思考1：不能，如图所示：虽然 f(－1)思考2：是增函数，它们是增函数的几种等价命题．
思考3：减函数(x1，x2∈M) 任意x1f(x2) <0 [f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.
二．增函数或减函数；单调区间
【小试牛刀】
1.(1) × (2) √ (3) × (4) ×
2.D
【经典例题】
例1 证明：设－1＜x1＜x2＜0，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝，
由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．
【跟踪训练】1解：设x1>x2>－1，
y1－y2＝－＝>0，
∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
例2 解：函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
【跟踪训练】2 解：y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
例3 解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
因为f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.
【跟踪训练】3 解：令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.显然，函数g(x)＝2－在(1，＋∞)上递增，且g(x)>2－＝－2；
函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，且h(1)＝4－a，故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，
则即∴a≥7，
∴a的取值范围为[7，＋∞)．
【当堂达标】
1.ABD 解析：由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.
2.ABD 解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
3.B 解析： f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B.
4.a≤2 解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，
所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞) (a，＋∞)，所以a≤2.
5.(－∞，－3) 解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，
∴2x－3>5x＋6，即x<－3.
6.证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有
f(x1)－f(x2)＝.
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
