3.2.2 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法； 2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小； 3.能运用函数的单调性和奇偶性解不等式。 1、数学抽象 2、数学运算 3、逻辑推理
【自主学习】
奇偶性与单调性
一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有 的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有 的单调性．
【经典例题】
题型一 利用奇偶性求解析式
1.已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数,未必有f(0)＝0.
例1 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式．
【跟踪训练】1 已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式．
2.已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式
已知一奇一偶两函数之和，对x赋值，令x＝－x.f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
【跟踪训练】2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
题型二 利用奇偶性和单调性比较大小
例3 设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是 ．
【跟踪训练】3 若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f 的大小关系是( )
A．f > f B．f < f
C．f ≥ f D．f ≤ f
题型三 函数的奇偶性和单调性解不等式
点拨：1.充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)2.在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
例4 已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围。
【跟踪训练】4 定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)【当堂达标】
1.（多选）若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数 B．是增函数 C．有最大值0 D．有最小值0
2.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
3.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
4.已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，求f(x)，g(x)的解析式．
5.已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．
6.函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【课堂小结】
一．题型：
1.利用奇偶性，求函数的解析式；
2.利用奇偶性和单调性比较大小；
3.利用奇偶性和单调性比较大小解不等式．
二．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
1.奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
2.偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
三．数学思想：数形结合
利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养．
【参考答案】
【自主学习】
相同 相反
【经典例题】
例1 解： 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.
【跟踪训练】1 解：设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.所以f(x)＝
例2 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.① 用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝，∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
【跟踪训练】2 解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
例3 f(－π)>f(3)>f(－2) 解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
【跟踪训练】3 C 解析：因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f ＝f ≥ f .
例4 解：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
【跟踪训练】4 解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.∴实数m的取值范围是.
【当堂达标】
1.BC 解析：由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选BC.
2.A解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．则f(|2x－1|)∴|2x－1|<，解得3.解：设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.
又∵f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.
∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.
又f(x)是奇函数，且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
∴f(x)＝
4.解: ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又∵f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，①∴f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋2，
即－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2② 由①、②得g(x)＝x2＋2，f(x)＝－x.
5.解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，
∴f(3a－10)<－f(4－2a)，
∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，
∴f(3a－10)又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.
故a的取值范围为(6，＋∞)．
6.(1)解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝.
∴b＝－b，∴b＝0.∵f＝，∴＝，∴a＝1.∴函数解析式为f(x)＝ (－1(2)证明 任取x1，x2∈(－1,1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵－10，(1＋x)(1＋x)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)解 ∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)∵f(x)为(－1,1)上的增函数，∴ 解得0∴不等式的解集为.3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【学习目标】
课程标准 学科素养
1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点). 2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点). 3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点). 1、数学抽象 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称
思考1：从奇偶函数的定义来考虑，奇(偶)函数的定义域有什么特点？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？
思考2：若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.( )
(4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数. ( )
2.下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
【经典例题】
题型一 函数奇偶性的判断
函数奇偶性判断的方法：
(1)定义法： (2)图象法：
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【跟踪训练】1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
题型二 奇、偶函数的图象问题
点拨：根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．
例2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
【跟踪训练】2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
题型三 函数奇偶性的应用
例3-1 (利用奇偶性求函数值)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A.26 B.18 C.10 D.－26
例3-2 (利用奇偶性求参数值) 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【跟踪训练】3 (1)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_____，b＝______。
【当堂达标】
1.函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2.f(x)＝x3＋的图象关于( )
A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称
3.(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是奇函数 B．|f(x)|g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．|f(x)g(x)|是偶函数
4.已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝ .
6.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
【课堂小结】
1.函数的奇偶性
(1)定义域特点：关于原点对称；
(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；
(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.
2.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法；(2)图象法．
【参考答案】
【自主学习】
f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
思考1：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．
思考2： ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.
【小试牛刀】
1.（1）× (2)× (3)× (4)×
2.(2)(4) (1)(3) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
【经典例题】
例1 解： (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝即f(－x)＝于是有f(－x)＝－f(x)．
【跟踪训练】1解：(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
例2 解 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
【跟踪训练】2解：方法一 因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．
由图象可知f(1)方法二 由图象可知f(－1)故f(1)例3-1 D 解析 法一 由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
法二 由已知条件，得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.
例3-2 －1 解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
【跟踪训练】3 (1)7 (2) 0 解析： (1)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.
(2)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0.
【当堂达标】
1.B解析：∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
2.A 解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称．
3.ABD 解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得A为奇函数，B为偶函数，C为奇函数；D为偶函数．]
4.C 解析：因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12，
即4－2m＝0，所以m＝2.
5. －2 解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，
∴f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.
6. 解：(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
