3.3 幂函数（学案）

3.3 幂函数
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点). 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点). 1、数学模型 2、数学运算 3、直观想象
【自主学习】
一．幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
二．幂函数的图象
幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
三．幂函数的性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性 x∈[0，＋∞)， x∈(－∞，0]， x∈(0，＋∞)， x∈(－∞，0)，
公共点 都经过点
性质：
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，则幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，则幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
【小试牛刀】
思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．(　　)
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．(　　)
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．(　　)
(4)当α>0时，y＝xα是增函数．(　　)
【经典例题】
题型一　幂函数的概念
点拨：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是
(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
【跟踪训练】1 若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝________.
题型二　幂函数的图象及性质
点拨：解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在x∈(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在x∈(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断.
例2 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，
画出f(x)的图象。
指出该函数的定义域与单调区间．
判断奇偶性。
【跟踪训练】2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
题型三　利用幂函数的性质比较大小
比较幂值大小的方法：
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
(2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解．
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
例3 比较下列各组数的大小.
(1)1.5，1.7，1；(2)3.8－，3.9；(3)31.4 51.5.
【跟踪训练】3 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是 (　　)
A．aC．b例4 若，求实数m的范围.
注意：构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小．
【跟踪训练】4 已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)【当堂达标】
1.(多选)下列函数是幂函数的是(　　)
A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝ D．y＝(x＋1)3
2.设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c3.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
4.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝ 。
5.比较下列各组数的大小：
(1)3－和3.1－；(2)－8－和－()；(3)(－)－和(－)－；
6.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．
【课堂小结】
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
【参考答案】
【自主学习】
y＝xα
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增 x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1，1)
【小试牛刀】
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
【经典例题】
例1 (1) C 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C.
(2)5或－1因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
【跟踪训练】1 10 [解析]　设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3，∴α＝，
∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10.
例2 [解]　由f(2)＝，得2α＝，解得α＝－2，所以f(x)＝x－2.
(1)f(x)的图象如图所示，
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(3)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)，得f(x)是偶函数．
【跟踪训练】2 (1) B解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
例3 解：(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1.
(2)因为0＜3.8－＜1,3.9>1，(－1.8)＜0，所以3.9 ＞3.8－＞(－1.8).
(3)根据幂函数和指数函数的单调性，得31.4＜31.5＜51.5，所以31.4＜51.5.
【跟踪训练】3 C∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.
例4 解因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为.
【跟踪训练】4 (3,5) 解析 ∵f(x)＝x＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
又f(a＋1)【当堂达标】
1. B C解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2.A 解析：a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知cx，当x>1时，x3.B 解析：在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．所以04. 解析：设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝。
5. 解： (1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－>3.1－.
(2)－8－＝－()，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，又>，则()>()，从而－8－<－().
(3)(－)－＝()－，(－)－＝()－，函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又>，
所以()－<()－，即－<－.
6.解 ∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－9<0，即m<3.又∵m∈N*，∴m＝1,2.
又y＝33m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－6.