3.4 函数的应用（一）（学案）

3.4 函数的应用（一）
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点). 2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点). 1、数学建模 2、数学抽象
【自主学习】
一.常见的函数模型
常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数 y＝
二．解决函数应用问题的步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.
【经典例题】
题型一　一次函数、二次函数模型
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意：
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
例1 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x(元) 30 40 45 50
日销售量y(件) 60 30 15 0
(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
【跟踪训练】1 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少.
题型二　分段函数模型
分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
例2 某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝(t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0【跟踪训练】2 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
题型三 用幂函数模型解决实际问题
步骤：确定函数模型；利用待定系数法求解解析式，利用解析式解决问题．
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式（可带参数）；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式；
【当堂达标】
1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　)
A.y＝2t B.y＝120t C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)
2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　)
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
4.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　)（默认y>x）
A.y＝10－x(0C.y＝20－x(05.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
6.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
【参考答案】
【经典例题】
解　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图．
这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系，
设f(x)＝kx＋b(k≠0，且k，b为常数)，则
解得
∴f(x)＝－3x＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上．
∴y与x之间的函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)．
(2)由题意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)．
∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大．
【跟踪训练】1解　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24).
设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝60＋150，
∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少.
例2 解　设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝(t∈N*)
①当0②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125(元)．
结合①②得ymax＝1125(元)．
因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
【跟踪训练】2 解　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，所以当x＝150时，有最大值12 500；
当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数，f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
例3 解 (1)由题意得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，∴k＝，∴流量R的表达式为R＝·r4.
【当堂达标】
1. D 解析　90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).
2.B 解析 　由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
3.C 解析 　由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
4.A 解析　由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以05. 2250 解析　设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
6.解 (1)如图所示，延长NP交AF于点Q，
所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.
在△EDF中，＝，所以＝.
所以y＝－x＋10，定义域为[4,8]．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50.
又x∈[4,8]，
所以当x＝8时，S取最大值48.