4.1 指数（学案）

4.1 指 数
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.理解根式的概念及分数指数幂的含义; 2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点); 3.掌握根式的运算性质和指数幂的运算性质(重点). 1.直观想象 2.数学运算 3.逻辑推理
【自主学习】
n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数．
根式的性质
(1)＝ (n∈N*，且n>1)；
(2)( )n＝ (n∈N*，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
三．分数指数幂
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．
四．有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
五．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【小试牛刀】
思辨解析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　)
(2)当n∈N*时，()n都有意义．(　　)
(3)＝π－3.(　　)
(4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　)
(5)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　)
(6)0的任何指数幂都等于0.(　　)
【经典例题】
题型一　根式的化简和运算
点拨：
【跟踪训练】1 设－3题型二　根式与分数指数幂的互化
点拨：(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出.
例2 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)．
； （3）
【跟踪训练】2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)a2； (2)； (3)·； (4)()2·.
题型三 分数指数幂的运算
点拨：进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
例3 计算下列各式：
(2)
【跟踪训练】3 计算下列各式
(1)2××； (2)＋0.1－2＋－－3π0＋； (3).
题型四 指数幂运算中的条件求值
例4 已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【跟踪训练】4（1）已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
（2）已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
【当堂达标】
1.以下说法正确的是(　　)
A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数
C.0的n次方根是0(n∈N*) D.a的n次方根是
2.把根式a化成分数指数幂是(　　)
3.(多选)设，，，且，则下列等式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．
5.计算：0.25×－4÷20－－＝________.
6.已知求的值．
【参考答案】
【自主学习】
一．xn＝a 根指数 二. 0 a 三. 0 没有意义 四.ar＋s ars arbr 五.实数
【小试牛刀】
(1)√　(2)×　(3)√ (4)√　(5)×　(6)×　
【经典例题】
例1
【跟踪训练】1 解：原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
例2 解：(1) ＝. （2）＝. （3）
【跟踪训练】2 解：(1)原式＝a2a＝a2＋＝a.
(2)原式＝＝＝a.
(3)原式＝a·a＝a＋＝a.
(4)原式＝·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab.
例 3 解（1）原式＝
（2）　
【跟踪训练】3 解 (1)原式＝2×3××12＝21＋＋×3＋＋＝2×3＝6.
(2)原式＝＋＋－－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝＝6×a＋－×b＋－＝6ab－.
例4 解：(1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
【跟踪训练】4（1） 解　∵a>0，b>0，又ab＝ba，
由67x＝33，由603y＝81，
＝＝9＝32，∴－＝2，故－＝－2.
【当堂达标】
1.C 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误．
2.D解析：由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.
3.AD 解析：由指数幂的运算公式可得，，，所以AD正确，B错误，对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时， ，所以C错误。
4. 解析：∵＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－.
5.－4 解析：原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.
6.解：由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有＝23.