4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断； 2.能借助指数函数图象及单调性比较大小； 3.会解简单的指数方程、不等式； 4.会判断指数型函数的奇偶性。 1、直观想象 2、数学运算 3、数形结合
【自主学习】
一．指数函数图象位置关系
一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：
1.“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
2.指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于 对称.
二．比较大小
1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 来判断；
2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；
3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.
三.解指数方程、不等式
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的 求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.
四.指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )
(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )
(3)函数y＝2在其定义域上为减函数．( )
(4)若am>1，则m>0.( )
【经典例题】
题型一 利用指数函数的单调性比较大小
点拨：当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
例1 比较下列各题中两个值的大小.
①1.7－2.5,1.7－3； ②1.70.3,1.50.3； ③1.70.3,0.83.1.
【跟踪训练】1 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A.a题型二 简单的指数不等式的解法
点拨：(1)形如ax>ay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况讨论．
(2)形如ax>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(1)不等式4x<42－3x的解集是________.
(2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
【跟踪训练】2 已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N＝ ( )
A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0}
题型三 指数型函数的单调性
点拨：(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.
例3 判断f(x)＝()x2-2x的单调性，并求其值域．
【跟踪训练】3 求函数y＝ 的单调区间.
题型四 指数函数性质的综合问题
例4 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围。
【跟踪训练】4 已知函数f(x)＝.
(1)证明f(x)为奇函数；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；
(3)求f(x)的值域．
【当堂达标】
1.已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )
A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
2.函数y＝1－x的单调增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1)
3.(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.函数y＝x，y＝2x，y＝3x的图象(如图)分别是________.(用序号作答)
5.不等式23－2x<0.53x－4的解集为________.
6.比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2； (2)1.90.3，0.73.1； (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).
7.已知函数f(x)＝2－x2＋2x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[0,3]上的值域．
8.设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
【参考答案】
【自主学习】
一．由大变小 由大变小 y轴
二．单调性 图象 中间值
三．单调性 单调性
四. 相同 相同 相反
【小试牛刀】
(1)× (2)√ (3)× (4)×
【经典例题】
例1 解 ①∵1.7＞1，∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.
②方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
方法二 ∵1.50.3＞0，且＝0.3，又＞1,0.3＞0，∴0.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3.
③∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，∴1.70.3＞0.83.1.
【跟踪训练】1 C 解析：∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C.
例2 （1） 解析 ∵4x<42－3x，∴x<2－3x，∴x<.
解 ①当a>1时，∵a－5x>ax＋7，且函数y＝ax为增函数，∴－5x>x＋7，解得x<－.
②当0ax＋7，且函数y＝ax为减函数，∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围为.当0【跟踪训练】2 B 解析：∵＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.
又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．
例3 解：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝()u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝()u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝()x2-2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝()u，u∈[－1，＋∞)，
∵0【跟踪训练】3 解 设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数.
当a>1时，y关于u为增函数；当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]；
当0例4 解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，故f(x)在R上为减函数.
(3)∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
【跟踪训练】4 (1)证明 由题意知f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)解 f(x)在定义域上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈R，且x1f(x2)－f(x1)＝＝(1－)－(1－)＝.
∵x10, ＋1>0, ＋1>0，∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)为R上的增函数．
(3)解 f(x)＝＝1－，∵3x>0 3x＋1>1 0<<2 －2<－<0，
∴－1<1－<1，即f(x)的值域为(－1,1)．
【当堂达标】
1.A 解析:f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，则f(x)为奇函数.y＝3x为增函数，y＝为减函数，则f(x)＝3x－为增函数，故选A.
2.A 解析: 设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞),即为y＝1－x的递增区间．
3.ACD 解析:对于A，，，，正确；对于B，，，，错误；
对于C，在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，则，正确.
4.①，②，③
5. {x|x<1} 解析: 原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}.
6.解: (1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3当0a2.5.
7.解: (1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝，所以f(x)的值域为.
8.(1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.
当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
故k＝1符合题意．
方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，
∴解得k＝1.
(2)∵f(1)＝a－>0，又a>0，且a≠1，∴a>1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0 f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4) x2＋2x>x2－4 x>－2.
∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．4.2 第1课时 指数函数概念图象及性质
【学习目标】
课程标准 学科素养
1.了解指数函数的概念. 2.会画出指数函数图象(重点). 3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点). 1、直观想象 2、数学运算 3、数形结合
【自主学习】
一．指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：
(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数.②指数函数的自变量必须位于指数的位置上.③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数.
二．指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过定点 ，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时， ； 当x<0时， 当x>0时， ； 当x<0时，
单调性 在R上是 在R上是
【小试牛刀】
思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）y＝xx(x>0)是指数函数.( )
（2）y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.( )
（3）因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1).( )
（4）y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.( )
【经典例题】
题型一 指数函数的概念
点拨：判断一个函数是指数函数的方法
(1)形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征.
(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要一个特征不具备,则该函数不是指数函数.
例1 下列函数中是指数函数的是________.(填序号)
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；④y＝ ；⑤y＝ .
【跟踪训练】1 （1）函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
（2）若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( )
A.()x B.2x C. D.
题型二 指数型函数图象
点拨：(1)指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.
例2 函数f(x)＝ax＋1－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
【跟踪训练】2 (1)已知函数f(x)＝4＋ax＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4) D.(4,0)
(2)函数y＝2|x|的图象是( )
题型三 指数型函数的定义域、值域
点拨：指数型函数y＝af(x)的定义域、值域的求法
(1)定义域：函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同.
(2)值域：①换元，t＝f(x). ②求t＝f(x)的定义域为x∈D.
③求t＝f(x)的值域为t∈M. ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域.
例3 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.(－3，0] B.(－3，1]
C.(－∞，－3)∪(－3，0] D.(－∞，－3)∪(－3，1]
（2）当x∈[－2，2)时，y＝3－x－1的值域是( )
A. B. C. D.
【跟踪训练】3 求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域.
【当堂达标】
1.给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.(多选)若函数（，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为( )
4.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________.
5.函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为________.
6.求函数y＝x2－2x－3.的定义域、值域。
【参考答案】
【自主学习】
1.y＝ax
2.(0,1) 0 y>1 01 增函数 减函数
【小试牛刀】
× × √ ×
【经典例题】
例1 ③ 解析： ①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.
【跟踪训练】1 (1) 0或1解析：∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
(2) A 解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
例2 (－1，－1) 解析：令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝a0－2＝－1，则f(x)的图象恒过点(－1，－1).
【跟踪训练】2 (1)A解析：当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5).
(2) B 解析： y＝2|x|＝故选B.
例3 (1) A 解析：由题意得自变量x应满足解得－3(2) A 解析：y＝3－x－1，x∈[－2，2)是减函数，∴3－2－1【跟踪训练】3 解：函数的定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
【当堂达标】
1.B 解析：①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
2.AC 解析：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A、C正确.
3.B 解析：f(1－x)＝21－x＝是减函数，故排除选项C，D，又当x＝0时，＝2，排除A，故选B.
4. (1，3) 解析：令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).
5. (1，＋∞) 解析：函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞).
6.解：定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴x2－2x－3≤－4＝16.
又∵x2－2x－3>0，∴函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．