2.2 第1课时 基本不等式的证明
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2
2.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
3.(多选题)下列不等式不一定成立的是( )
A．x＋≥2 B．≥ C. D．2－3x－≥2
4.对x∈R且x≠0都成立的不等式是( )
A．x＋≥2 B．x＋≤－2
C.≥ D.≥2
5.已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是( )
A. B.
C. D.
6.给出下列不等式：
①x＋≥2； ②≥2； ③≥2； ④>xy； ⑤≥.
其中正确的是________(写出序号即可)．
7.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．
①ab≤1； ②＋≤； ③a2＋b2≥2； ④a3＋b3≥3； ⑤＋≥2.
8.设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.若0
A．a B．2ab C. D．无法确定
10.已知a>0，b>0，则，，，中最小的是( )
A. B. C. D.
11.（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B.≥ C.≥a＋b D．(a＋b)≥4
12.已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是( )
A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤
13.若a＜1，则a＋与－1的大小关系是________．
14.给出下列结论：
①若a>0，则a2＋1>a.
①若a>0，b>0，则≥4.
③若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.
④若a∈R且a≠0，则＋a≥6.
其中恒成立的是________．
15.已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：≥8.
16.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.
【参考答案】
D解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．
2. B 解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．
3. AD解析：A项，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误；
B项，＝≥，∴B正确；
C项，，其中x2>0，满足基本不等式的要求，∴C正确；
D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误．
4.D 解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.
5.C解析：解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A.
解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．
6.② 解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确；
因为x与同号，所以＝|x|＋≥2，②正确；
当x，y异号时，③不正确；
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
7.①③⑤ 解析：令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2 ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；＋＝＝≥2，⑤正确．
8. 证明: 因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数．所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．
9. C 解析：选C.因为0因为ab<＝，所以2ab<，则a，，2ab中最大的数为，故选C.
10. D解析：因为a>0，b>0，所以≤＝，≥，＝≥＝(当且仅当a＝b>0时，等号成立)．所以，，，中最小的是，故选D.
11. ACD 解析：选B.因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．
因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立．
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．
因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，故选B.
12.B 解析：∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.
13. a＋≤－1 解析:因为a＜1，即1－a>0,所以－＝(1－a)＋≥2 ＝2.
即a＋≤－1.
14.①②③ 解析：因为(a2＋1)－a＝2＋>0，所以a2＋1>a，故①恒成立．
因为a>0，所以a＋≥2，因为b>0，所以b＋≥2，所以当a>0，b>0时，≥4，故②恒成立．
因为(a＋b)＝2＋＋，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，所以(a＋b)≥4，故③恒成立．
因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故＋a≥6是错误的．
15.证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，
所以≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
16.证明: 证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．
证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，
ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9.2.2 第2课时 基本不等式的综合应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B. C．3 D.
2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2 C．3－2 D．－1
3．若0＜x＜，则函数y＝x的最大值为( )
A．1 B. C. D.
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
5．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
6．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
7．已知y＝x＋.
(1)已知x＞0，求y的最小值；(2)已知x＜0，求y的最大值．
8．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.
(1)求ab的最小值； (2)求a＋2b的最小值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．已知aA．3 B．2 C．4 D．1
10．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
11．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A．0 B. C．1 D.
12．已知x≥，则y＝有( )
A．最大值 B．最小值za C．最大值1 D．最小值1
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
14．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
15．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
16．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
17．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；
(2)已知x＞0，求y＝的最大值．
【参考答案】
B 解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，
所以≤＝.即(－6≤a≤3)的最大值为.
C 解析：y＝3－3x－＝3－≤3－2 ＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
3. C解析：因为0＜x＜，所以1－4x2＞0，所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C.
B 解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
C 解析：可得6＝1，所以2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.
6. 36 解析：y＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4. 又由已知x＝3时，y的最小值为4，所以＝3，即a＝36.
7. 解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.
(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.
8. 解：因为2a＋b＝ab，所以＋＝1；
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8；
(2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b的最小值为9.
A 解析：因为a0，
由基本不等式可得＋b－a＝1＋＋(b－a)≥1＋2＝3，
当且仅当＝b－a(b>a)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，＋b－a的最小值为3,故选A.
D 解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝时等号成立．故选D.
A 解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以函数的最小值为0.
12. D 解析：y＝＝＝，
因为x≥，所以x－2＞0，所以≥·2＝1，
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.
B 解析 (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(＋1)2≥9.∴a≥4.
14. 解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
15. 8 解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，
所以＋＝＋＝4＋≥8.
16.解 由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈{m|m≤4}.
17.解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，当且仅当2(3－x)＝，即x＝3－时，等号成立，于是－≤－2，－＋7≤7－2，故y的最大值是7－2.
(2)y＝＝.因为x＞0，所以x＋≥2＝2，所以0＜y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.