2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是 ( )
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
2.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3
C．{x|x≤－2或x>3} D．{x|x<－2或x≥3}
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解( )
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－14．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A. B．{x|－1C．{x|13}
5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－26. 不等式－17.方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．
8. 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.若00的解集是 ( )
A. B.
C. D.
10.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是 ( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
11.不等式x2－px－q<0的解集是{x|20的解是( )
A. B.
C. D.
12. (多选题)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( )
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}
13.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
14.若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|115.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
16.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
【参考答案】
1.BD解析：根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是，C不一定是，B，D一定是.
2.A 解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或33. D 解析：由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}．
4. A 解析：由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．
B 解析：因为不等式的解集为{x|－26. {x|－3≤x<－2或07.{m|m≥9} 解析：∵∴m≥9.
8. 解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a(2)当a＝－1时，原不等式解集为 ；
(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－19.D 解析：∵01，∴>t.∴(t－x)(x－)>0 (x－t)(x－)<0 t10.A 解析：f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．
11. B 解析：易知方程x2－px－q＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得解得
不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，解得－12. BCD 解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得01}，故D正确，故选BCD．
13.k≤2或k≥4解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
14. －3 －3 解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得01}，故D正确，故选BCD．
可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，
∴解得或(舍去)．
15.解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，
且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为.
16.解 (1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．
(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.
①当02，所以原不等式的解集为；
②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为.
(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.
综上，a<0时，原不等式的解集为；
a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
0当a>1时，原不等式的解集为.2.3 第2课时 一元二次不等式的应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.不等式>0的解集是( )
A. B.
C. D.
2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的值的集合是 ( )
A．{a|0C．{a|03.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 ( )
A．1 B．－1 C．－3 D．3
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．15≤x≤30
B．12≤x≤25
C．10≤x≤30
D．20≤x≤30
5.若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
6.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．
7.解下列分式不等式：
(1)≤1； (2)<0.
8.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R
能 力 练
综合应用 核心素养
9.不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R C． D．{x|x<－2或x>2}
10.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2] C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
11.下列结论错误的是 ( )
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.不等式ax2+bx+c=0≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-
D.不等式>1的解集为x<1
12.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．13 C．12
13.在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.
14.已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．
15.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
16.某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．
【参考答案】
1. A 解析：>0 (4x＋2)(3x－1)>0 x>或x<－，此不等式的解集为.
2.D解析：a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|03.C解析：由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，
又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
4.C 解析：设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，
∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
5. 4解析：>0 (x＋1)(x－a)>0 (x＋1)(x－4)>0，∴a＝4.
6.－20对应的函数的图象在x轴的上方，所以Δ＝(m)2－4×1×1<0，所以－27. 解 (1)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.∴原不等式的解集为.
(2)由<0得>0，此不等式等价于(x－1)>0，解得x<－或x>1，
∴原不等式的解集为.
8.解 ①当a2－1＝0时，a＝1或－1.
若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0即x<，不合题意，舍去．
②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
解得－综上a的取值范围是.
9.A 解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式 x2－2x－2<2x2＋2x＋2 x2＋4x＋4>0 (x＋2)2>0，∴x≠－2. ∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
10.B 解析：∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x， ∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2综上所述，－211.ABD解析：A选项中，只有a>0时才成立；B选项当a=b=0，c≤0时也成立；D选项x是大于0的.
12.B 解析：设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1] x<1或x>3.
13. －0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－14. a<9 解析：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．
令y＝－2x2＋9x.∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝，∴ymin＝9，∴a<9.∴a的取值范围为a<9.
15.解 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，
m满足不等式组解得－16.解(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝
(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有整理，得
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.