3.1.2 第1课时 函数的表示法
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )
A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速行驶．与以上事件吻合得最好的图象是 ( )
3.已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝ ( )
A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3
4.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5. (多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
6.已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________．
7.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
8.(1)已知f(x＋)＝x2＋，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A. B. C. D.－1
10.函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
11.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0
12．已知x≠0时，函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x＋(x≠0) B．f(x)＝x2＋2(x≠0)
C．f(x)＝x2(x≠0) D．f(x)＝(x－)2(x≠0)
13.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为 ( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1
14.已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
15.已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
16.设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
【参考答案】
1.D解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.
2.C 解析：先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
3.B 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴∴，∴f(x)＝3x－2.
B 解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f[g(2)]＝f(1)＝2.
5.ABD
6. 5 解析：∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－，∴f(x)＝x－，∴f(a)＝4，即a－＝4，∴a＝5.
7. 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴解得∴f(x)＝2x＋7.
8.解：(1)∵f(x＋)＝x2＋＝(x＋)2－2，且x＋≥2或x＋≤－2,
∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(2)∵2f(x)＋f()＝3x，①把①中的x换成，得2f()＋f(x)＝.②, ①×2－②得3f(x)＝6x－，∴f(x)＝2x－(x≠0)．
(3)以－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝x2－2x.
9.B 解析：令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，故选B.
10.D 解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．
11.D 解析：由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，
由y>0即20－2x>0得x<10，所以512.B 解析：∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
13.A 解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
14.f(x)＝－(x≠0) 解析：∵f(x)＝2f()＋x，①∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，即f(x)＝－(x≠0)．
15. 解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.
∴ ∴∴f(x)＝x2＋x.
16 .解：因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．
又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.3.1.2 第2课时 分段函数
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝C.f(x)＝D.f(x)＝
2.设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A.1 B.0 C.2 D.－1
3.函数f(x)＝的值域是( )
A.R B.[0，＋∞) C.[0,3] D.{x|0≤x≤2或x＝3}
4.已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是( )
5.已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________．
7.已知f(x)＝则f＋f的值等于________．
8.已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；(2)画出函数f(x)的图象．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.(多选)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
10.函数y＝＋x的图象为( )
11.已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥2x的解集是( )
A．(－∞，] B．(－∞，0] C．(0，] D．(－∞，2)
12.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米
13.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
14.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a＝________，f(1＋a)＝________.
15.若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
16.已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，求a的取值范围．
【参考答案】
1.AD 解析：
A √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．
B × 当x＝2时，f(2)＝3或4，故不是函数．
C × 当x＝1时，f(1)＝5或1，故不是函数．
D √ 符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系.
2.C
3.D 解析：当0≤x≤1时，f(x)∈[0,2]，当1∴值域是{x|0≤x≤2或x＝3}.
4.A 解析：当x＝－1时，y＝0，排除D；当x＝0时，y＝1，排除C；当x＝1时，y＝2，排除B.
5.A 解析：因为f(1)＝2，所以由f(a)＋f(1)＝0，得f(a)＝－2，所以a肯定小于0，则f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.
6. f(x)＝解析：由题图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则∴即f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.
综上，f(x)＝
7. 4 解析：∵>0，∴f＝2×＝；∵－≤0，∴f＝f＝f；
∵－≤0，∴f＝f＝f；
∵>0，∴f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.
8. 解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，
所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4.所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
9.AD 解析：由或得a＝－4或a＝2.
10.D 解析：y＝
11.A 解析：(1)当x>0时，f(x)＝－x＋2≥2x，得3x≤2，即0(2)当x≤0时，f(x)＝x＋2≥2x，得x≤2，又x≤0，∴x≤0；综上所述，x≤.
12.A解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
13.－ 解析：在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．由题意，可知2a＝－1，则a＝－.
14.－ － 解析： 当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1，∴2(1－a)＋a＝－1－a－2a，解得a＝－(舍去)．
当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，∴－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.
所以f(x)＝∴f(1＋a)＝f＝f＝2×－＝－.
15.(－∞，1] 解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域为(－∞，1]．
16.解析：y＝x2－|x|＋a＝如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观图可知，a的取值必须满足，解得1