3.2.1 第1课时 函数的单调性
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2 B．y＝ C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
2.对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1
A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
3.若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
4.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
5.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)C．f(2)6.若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.
7.已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是 。
8.证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．0≤m≤4 B．0≤m≤2 C．m≤0 D．m≤0或m≥4
10.若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1)11.如果f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(3＋t)＝f(3－t)，那么( )
A．f(3)C．f(3)12.已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[0，] B．(0，) C．(0，] D．[0，)
13. (多选)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有＞0”的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－
14.函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
15.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)16.讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
【参考答案】
1.C 解析 函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数；函数y＝在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数；
y＝1＋2x在R上都是增函数，所以在(－∞，0]上是增函数；
y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．
2. D 解析 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．
3.D 解析 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
4.ABD 解析 因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x15. B 解析 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)6.13 解析 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.
7.08.证明 任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).∵24，x1x2－4>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)9.A 解析 由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)＞f(0)，解得a＜0.又因f(x)图象的对称轴为x＝－＝2.所以x在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.
10.D 解析 ∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a.当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；
当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D.
11.A 解析 由于f(x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f(3＋t)＝f(3－t)，
∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞)为函数的增区间，由f(1)＝f(3－2)＝f(3＋2)＝f(5)，
又∵3<5<6，∴f(3)12.A 解析 当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
13.ACD 解析 由题意知，f(x)为(0，＋∞)上的增函数．
14.(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析 二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
15.[1，) 解析 由题意，得解得1≤x<，故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
16.解 f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1∵－20，又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，则1－2a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．3.2.1 第2课时 函数的最大（小）值
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2 C. 2或－2 D．0
2.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )
A．f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)
3.设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)( )
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值
4.（多选）下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是 ( )
A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1
D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1
5.函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
6.函数y＝，x∈[3,4]的最大值为________．
7.已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上是减函数；
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值．
8.求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
10.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
11.函数y＝2x＋，则( )
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．有最小值，最大值 D．既无最大值，也无最小值
12.（多选）函数y=(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 ( )
A.最小值为 B.最大值为4 C.无最大值 D.无最小值
13.已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是________．
14.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
15.若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
16.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【参考答案】
1.C 解析 a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，∴a＝－2.
综上，a＝±2.
2. C 解析 根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f.
3.D解析 f(x)＝画出图象可知，既无最大值又无最小值．
4.AD解析 当a<0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递减，当x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为2a+1.
当a>0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递增，当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值为2a+1.
5.A 解析 ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8.
又x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
6.1 解析 函数y＝在[3,4]上是单调减函数，故y的最大值为＝1.
7.解 (1)证明：设x1、x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间上是减函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
8.解 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上.
①当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
③当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知f(x)的最小值为f(x)min＝
9.C 解析 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
10. C 解析 令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1,
∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.
11.A 解析 设＝t(t≥0)，则x＝，所以y＝1－t2＋t＝－2＋(t≥0)，对称轴t＝∈[0，＋∞)，所以y在上递增，在上递减，所以y在t＝处取得最大值，无最小值．选A.
12. BD解析 函数y==1+在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到.
13.(1,3] 解析 由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴114. 3 解析 化简函数为y＝其图象如图所示，
所以函数的最小值为3.
15. 解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
16.解 (1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．
而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.