3.2.2 第1课时 奇偶性的概念
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选)对于定义在R上的函数f(x)，有下面选项正确的是( )
A.若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
B.若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
C.若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
D.若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝－
3.列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x| B．y＝2－x C．y＝ D．y＝－x2＋8
4.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
5.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
6.函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．
7.奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.
8.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R； (2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|； (4)f(x)＝.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.（多选）下列判断不正确的是( )
A.函数f(x)=是奇函数
B.函数f(x)=是偶函数
C.函数f(x)=x+是非奇非偶函数
D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数
10.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
11.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
12.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
13.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B. C. D．－
14.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于________．
15.已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
16．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
【参考答案】
AC 解析 A正确；B错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C正确；D错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
2.B 解析 对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．故选B.另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝－不是偶函数．
3. C 解析 A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
4. A 解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
B 解析 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
6. －3 解析 ∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
7. －1 解析 由奇函数f(x)的定义域关于原点对称，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1.
解 (1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，∴函数f(x)＝不具有奇偶性．
9.ABD 解析：A中函数的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,故f(x)不是奇函数,故A错误;
B中函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,故B错误;
C中函数的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},f(-x)=-x+≠f(x),f(-x)=-x+≠-f(x),故f(x)是非奇非偶函数,故C正确;D中函数是偶函数,但不是奇函数,故D错误.故选C.
10. A 解析 ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．
A 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
B 解析 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.
13.B解析 依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.
14. 解析 函数f(x)的定义域为{x.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
15.5 解析 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
16. 解 (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.3.2.2 第2课时 奇偶性的应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1..已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(0,1) D．[－1,1)
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
3.（多选）下列说法中,正确的是( )
A.若函数f(x)是定义域为R的偶函数,则f(-3)=f(3)
B.若f(-3)=f(3),则函数f(x)是偶函数
C.若f(-3)≠-f(3),则函数f(x)一定不是R上的奇函数
D.若函数f(x)不是定义域为R的偶函数,则仍可能有f(-3)=f(3)
4.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值( )
A．10 B．－10 C．9 D．15
5.已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
6.函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
7.偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
8.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
10.f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A.a<1 B．a<3 C．a>1 D．a>3
11.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)12.已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
14.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．
15.设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求f(-2);
(2)求出函数f(x)在R上的解析式;
(3)在坐标系中画出函数f(x)的图象.
【参考答案】
A 解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)2. D 解析 由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．
3.ACD
4.C 解析 由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
5.C 解析 ∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.]
6.＋1 解析 ∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝＋1，即x＜0时，f(x)＝＋1.
7.2 020 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)最小值＝2 020，故当x∈(－∞，0)时，f(x)最小值＝2 020.
8.解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，
∴f(1－x)又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，
∴解得0∴原不等式的解集为.
9.C解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
10.B 解析 ∵f(x)在R上为奇函数，∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，∴2－a>a－4，得a<3.
11.A 解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)12. 3 解析 因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
13. (－2,2) 解析 由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)14. f(－2)当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，
∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．
又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．
15.解：由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝2＋>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.综上，实数a的取值范围是.
16.解：由于函数f(x)是定义在(-∞,+∞)内的奇函数,因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x).
(1)f(-2)=-f(2);又f(2)=22-2×2=0,故f(-2)=0.
(2)①因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0;
②当x<0时,-x>0,由f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x).则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上,f(x)=
(3)图象如下:
