4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，)
2.若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
4.（多选）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A．2 B． C．3 D．
5.函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞)
6.满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．
7.比较下列各组数的大小：
(1)0.7－0.3与0.7－0.4； (2)2.51.4与1.21.4； (3)1.90.4与0.92.4.
8.已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9.函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B. C. D.
10.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
11.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2 B. C . D．a2
12.已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为( )
A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m
13.（多选）设指数函数，且），则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14.函数y＝32x＋2·3x－1，x∈[1，＋∞)的值域为______________．
15.已知f(x)＝x(＋)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
16.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的范围．
【参考答案】
1. B 解析 ∵函数y＝()x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.
2. B 解析 由已知，得0<1－2a<1，解得03. D 解析 由题意知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－1＝－f(x)，得f(x)＝－e－x＋1.故选D.
4.AB 解析 设，当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；
当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.
综上所述：或者.故选：AB
5.C 解析 设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，所以06. 0 解析 设t＝2x(t>0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，∴t＝1或t＝－2.
∵t>0，∴t＝－2舍去．∴t＝1，即2x＝1，∴x＝0.
7.解 (1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.
8. 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；因此必有解得a＝1，故当f(x)有最大值3时，a的值为1.
9. B 解析 由单调性定义，f(x)为减函数应满足：，即≤a<1，故选B.
10.B 解析 由f(1)＝得a2＝，所以a＝(a＝－舍去)，即f(x)＝()|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
11.B 解析 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，①得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，②
①＋②，得g(x)＝2，①－②，得f(x)＝ax－a－x.又g(2)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，
∴f(2)＝22－2－2＝.
12.D 解析 ∵0<<1，∴f(x)＝ax＝()x，且f(x)在R上单调递减，又∵f(m)>f(n)，∴m13.AB 解：．，，所以正确．
，所以正确．
．，，所以错误．
．，所以错误．故选：．
14. [14，＋∞) 解析 令3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t∈[3，＋∞)．
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14.故所求函数的值域为[14，＋∞)．
15. (1)解 由于2x－1≠0和2x≠20，故x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)解 函数f(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，因为f(x)＝x(＋)＝·，
所以f(－x)＝－·＝－·＝－·＝·＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明 由(2)知f(x)＝·.对于任意x∈R，都有2x＋1>0，
若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，于是·>0，即f(x)>0，
若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，于是·>0，即f(x)>0，
综上知：f(x)>0.
16.解 (1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝
＝
∵x1＜x2，∴＞0，又(＋1)(＋1)＞0，f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x)为R上的减函数．
(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，∵f(x)为减函数，∴t2－2t＞k－2t2.
即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝3(t－)2－≥－.
∴k＜－.4.2 第1课时 指数函数概念图象及性质
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.(多选)下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝3x C．y＝3x－1 D．y＝x
2.当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是 ( )
A．(－，8] B．[－，8] C．(，9) D．[，9]
3.函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
4.函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
5.函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．
6.若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
7.函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a的取值范围.
8.已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于 ( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
11.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A.a>1，b<0 B.a>1，b>0
C.00 D.012.若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
13.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．
14.方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
15.求函数y＝()x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域．
16.已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．
【参考答案】
1.BD 解析 由指数函数定义知只有BD是指数函数。
2.A 解析 y＝3－x－1，x∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.
3. C 解析 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
A 解析 当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.
5.(5,2) 解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．
6.(－1,0)∪(0,1) 解析 由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
7.解 由题意，当x≤0时，ax≥1，所以08.解 (1)∵f(x)的图象过点(2，)，∴a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝()x－1，x≥0.由x≥0，得x－1≥－1，于是0＜()x－1≤()－1＝2，所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．
9.AC 解析 若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，
，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能.
10. A 解析 依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，
∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，所以选A.
11.D 解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.
12. 1 解析 由指数函数的定义得解得a＝1.
13. 7 解析 已知得解得所以f(x)＝x＋3，所以f(－2)＝－2＋3＝4＋3＝7
a≥1或a＝0 解析 作出y＝|2x－1|的图象，如图，
要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
15. 解 令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤3，∴当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，故所求函数的值域[，]．
16. 解 设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.