6.2.2向量的减法运算
导学案
【学习目标】
1.知道相反向量的定义
2.记住向量减法法则及其几何意义
3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．
【自主学习】
知识点1 相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.
知识点2 向量的减法及其几何意义
1.向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
2．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，
知＝a＋(－b)＝a－b.又b＋＝a，所以＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在 ABCD中，＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
【合作探究】
探究一 向量减法的几何意义
【例1-1】在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A． B．
C． D．
答案：D
[解析]由题意可知－＝－＝．
【例1-2】如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
[解析] 如图，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝B．连接CB，得向量，再以点C为起点作向量，使＝c．连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c．
归纳总结：
1.作两向量的差的步骤
—
↓
—
2．求两个向量的减法的注意点
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．
【练习1】如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝a－b＋c.
解析：由于＝－，
而＝－＝a－b，＝－＝－c，
所以＝a－b＋c.
探究二 向量的加减法运算
【例2】化简－＋－得( )
A． B．
C． D．0
答案：D
[解析] (1)解法一：－＋－＝－＋＋
＝(＋)＋(－)＝＋＝0．
解法二：－＋－＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝0．
归纳总结：1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.
【练习2】化简：(1)(＋)＋(－－)； (2)－－.
[分析] 解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．
[解] (1)解法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
解法二：原式＝＋－－
＝＋(－)－＝＋(－)
＝＋0＝.
(2)解法一：原式＝－＝.
解法二：原式＝－(＋)＝－＝.
探究三 向量加减运算几何意义的应用
【例3-1】已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为 ．
答案：4
[解析] 如图，令＝a，＝b，则||＝|a－b|．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故||2＋||2＝||2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4．
【例3-2】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a, ＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
[解析] 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c．
归纳总结：
【练习3-1】已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为_ __．
答案：平行四边形
[解析] (1)∵＋＝＋，
∴－＝－，∴＝．
∴||＝||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【练习3-2】如图所示，解答下列各题：
①用a、d、e表示；
②用b、c表示；
③用a、b、e表示；
④用c、d表示．
[解析] ①＝＋＋
＝d＋e＋a＝a＋d＋e．
②＝－＝－－＝－b－c．
③＝＋＋＝a＋b＋e．
④＝－＝－(＋)＝－c－d．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．－＝0 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
答案C [因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，－＝0，
－＝＋＝，
－＝，
＋＝＋＝0，故只有C错误．]
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
答案B [如图，∵＝＋＝a＋b，
∴＝－＝－a－b.]
3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
答案C [a－b必定与a是平行向量．]
4.化简=( )
A. B.0 C. D.
解析.故选A.
答案A
5.若O,A,B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A. B.
C.=- D.=-
解析由平面向量的线性运算可知,.故选B.
答案B
6.(多选)化简以下各式,结果为0的有( )
A.
B.
C.
D.
解析=0;
=0;
=0;
=0.故选ABCD.
答案ABCD
7．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
答案ABC [选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0＝；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝；选项D中，－－＋＝＋＋＝2＋.]
8．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
答案ABD [当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．]
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
答案0 [因为D是边BC的中点，
所以－＋
＝＋－
＝－＝0.]
10．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
答案a－b＋c [由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，
所以＝＝a－b，
所以＝＋＝a－b＋c.]
11．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
答案[2,6) [根据题意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.]
三、解答题
12．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
答案(1)b＋c－a；(2)a－b－c.
[解] (1)以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，所以b＋c－a＝－＝，如图所示．
(2)由a－b－c＝a－(b＋c)，如图，作 OBEC，连接OE，则＝＋＝b＋c，
连接AE，则＝a－(b＋c)＝a－b－c.
13．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
答案 [解] 由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
∴|a＋b|＝||＝2×＝2，
S△OAB＝×2×＝.
B组 能力提升
一、选择题
1．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
答案C [根据|＋|＝|－|可知，
△ABC是以A为直角的直角三角形，∵||2＝16，
∴||＝4，又∵M是BC的中点，
∴||＝||＝×4＝2.]
2.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
解析易知,而在平行四边形ABCD中,,所以,即b-a=c-d,也即a-b+c-d=0.故选B.
答案B
3．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D．|＋|＝|－|
答案BCD [菱形ABCD中，如图，||＝||，∴B正确．
又|－|＝|＋|＝|＋|＝2||，
|＋|＝|＋|＝2||＝2||，
∴C正确；又|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||＝||，∴D正确；A肯定不正确，故选BCD．]
4.(多选)下列说法中正确的是( )
A.若,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.互为相反向量的两个向量模相等
D.
答案CD
解析当A,B,C,D四点共线时,不成立,故A错误;零向量与任何向量共线,当b=0时,a∥b,b∥c,则a∥c不成立,故B错误;互为相反向量的模相等,方向相反,故C正确;,故D正确;故选CD.
5.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中是真命题的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
答案ABD
解析如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,
当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.当a,b同向时有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.当a,b反向时有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|,故选ABD.
二、填空题
6．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是[5,15]，则a＝________，b＝________.
答案10 5 [因为a－b＝|||－|||≤|－|＝||≤||＋||＝a＋b，
所以
解得]
7．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________.
答案 [如图，延长CB到点D，使CB＝BD，连接AD．
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
－＝＋
＝＋＝.
易求得AD＝，
即||＝.
所以|－|＝.]
8.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则= .
解析=()+()+.
答案
9.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是 .
答案30°
解析：设=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,如图所示,
则a+b=,a-b=,因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,
所以△OAB是等边三角形,所以∠BOA=60°,
在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,
所以a与a+b所在直线的夹角为30°.
10.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .
答案4
解析如图所示,设=a,=b,
则||=|a-b|,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|,
由于(+1)2+(-1)2=42,
故||2+||2=||2,
所以△OAB是直角三角形,∠AOB=90°,
从而OA⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形,
根据矩形的对角线相等得||=||=4,即|a+b|=4.
三、解答题
11.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
[证明] 因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB．又M是斜边AB的中点，
所以CM＝AM＝BM.
(1)因为－＝，
又||＝||，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，
所以＝，
所以a＋(a－b)＝＋(－)＝＋＝＋＝，
因为||＝||，所以|a＋(a－b)|＝|b|.6.2.2向量的减法运算
导学案
【学习目标】
1.知道相反向量的定义
2.记住向量减法法则及其几何意义
3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．
【自主学习】
知识点1 相反向量
(1)我们规定，与向量a ， 的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
(3)零向量的相反向量仍是 ，即0＝－0.
知识点2 向量的减法及其几何意义
1.向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ．
2．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，
知＝a＋(－b)＝a－b.又b＋＝a，所以＝a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在 ABCD中，＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
【合作探究】
探究一 向量减法的几何意义
【例1-1】在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A． B．
C． D．
【例1-2】如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．
归纳总结：
【练习1】如图，设O为四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝a－b＋c.
探究二 向量的加减法运算
【例2】化简－＋－得( )
A． B．
C． D．0
归纳总结：
【练习2】化简：(1)(＋)＋(－－)； (2)－－.
探究三 向量加减运算几何意义的应用
【例3-1】已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为 ．
【例3-2】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a, ＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
归纳总结：
【练习3-1】已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状为_ __．
【练习3-2】如图所示，解答下列各题：
①用a、d、e表示；
②用b、c表示；
③用a、b、e表示；
④用c、d表示．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．－＝0 B．－＝
C．－＝ D．＋＝0
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
4.化简=( )
A. B.0 C. D.
5.若O，A，B是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A. B.
C.=- D.=-
6.(多选)化简以下各式,结果为0的有( )
A.
B.
C.
D.
7．(多选)下列各式中能化简为的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
8．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
二、填空题
9．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
10．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
11．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，则|a－b|的取值范围是________．
三、解答题
12．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
13．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
B组 能力提升
一、选择题
1．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
2.已知=a，=b，=c，=d，且四边形ABCD为平行四边形,则( )
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
3．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D．|＋|＝|－|
4.(多选)下列说法中正确的是( )
A.若,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.互为相反向量的两个向量模相等
D.
5.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中是真命题的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
二、填空题
6．已知||＝a，||＝b(a＞b)，||的取值范围是[5,15]，则a＝________，b＝________.
7．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|＝________.
8.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则= .
9.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角是 .
10.已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .
三、解答题
11.已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b.
求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
