第1讲 等差等比数列的综合运用
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2021春 昭阳区期中）如图，点列，分别在某个锐角的两边上，且，，，，，表示与不重合）．若，为△的面积，则
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
【解答】解：设锐角的顶点为，，，
，
，
由于，不确定，
则不一定是等差数列，
不一定是等差数列，
设△的底边上的高为，
由三角形的相似可得
，，
两式相加可得，，
即有，
由，可得，
即为，
则数列为等差数列．
故选：．
2．（2021 浙江）已知等差数列的前项和，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：
在等差数列中，，
，，，
，
，
，
，
，
，根据等差数列的性质可得正确，
．若，则，成立，正确，
．若，则，
即，得，
，，符合，正确；
．若，则，
即，得，
，，不符合，错误；
故选：．
3．（2021 襄城区校级模拟）已知递增等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设递增等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列，
得，解得或（舍去）．
．
故选：．
4．（2021 鹰潭一模）已知等差数列的公差，为其前项和，若，，成等比数列，且，则的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：等差数列的公差，，，成等比数列，且，
，
解得，或，（舍去）
当时，，
则，
令且，
解可得，
即时，取得最小值，且；
故选：．
5．（2021 柯桥区模拟）已知四面体，分别在棱，，上取，等分点，形成点列，，，过，，，2，，作四面体的截面，记该截面的面积为，则
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列
【解答】解：根据题意，设，，与所成的角为，
对于第个截面，设截面与的交点为，
则有，则有且，
同理：且，
又由且，与所成的角为，则与所成的角为，
则，则数列既不是等差数列也不是等比数列，
，数列为等差数列，不是等比数列，
故选：．
6．（2021 椒江区校级模拟）数列满足，则下列说法错误的是
A．存在数列使得对任意正整数，都满足
B．存在数列使得对任意正整数，都满足
C．存在数列使得对任意正整数，都满足
D．存在数列使得对任意正整数，都满足
【解答】解：由，得，
令，，则当时，数列满足题设，所以正确；
由，得，令，则当时，数列满足题设，所以正确；
由，令，得，，，，
令，得，，，
则，，从而，与矛盾，所以错误；
由都满足，得，令，则当时，数列满足题设，所以正确．
故选：．
7．（2021 常熟市校级月考）设是等比数列的前项和，若，则
A． B． C． D．
【解答】解：是等比数列的前项和，，
，
．
故选：．
8．（2021 浙江开学）已知数集，，，，，具有性质：对任意的，，或成立，则
A．若，则，，成等差数列
B．若，则，，，成等比数列
C．若，则，，，，成等差数列
D．若，则，，，，，，成等比数列
【解答】解：时，取数集，2，，也有对任意的，，成立，但，，不成等差数列，所以不正确；
时，取数集，2，3，，也有对任意的，，成立，但，，，不成等比数列，所以不正确；
，取数集，2，4，8，，也有对任意的，，成立，但，，，，不成等差数列，所以不正确；
故选：．
9．（2021 浙江月考）已知数列的前项和是，前项的积是．
①若是等差数列，则是等差数列；
②若是等比数列，则是等比数列；
③若等差数列，则是等差数列；
④若是等比数列，则是等比数列．
其中正确命题的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：对于①：若是等差数列，所以（常数），则是公差为的等差数列；故①正确；
对于②：若是等比数列，当时，不是等比数列，故②错误；
对于③：若等差数列，所以，所以①，
②，
①②得：，
则是公差为的等差数列；故③正确；
对于④：若是等比数列，所以，所以，
故，
同理，
则（常数），所以数列是等比数列，故④正确．
故选：．
10．（2021秋 杭州期中）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是
A．，， B．，
C．，， D．，
【解答】解：由题意可得，
，整理得
此方程可看作关于的一元二次方程，它一定有实根，
△，
整理得，解得或
故选：．
11．（2021 浙江开学）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是
A．存在，使得为等差数列
B．当时，
C．当时，
D．当时，是等比数列
【解答】解：对于，当时，，
存在，使得为等差数列，故正确；
对于，当时，，，，，，
，数列是周期为4的周期数列，
当时，，故正确；
对于，当时，，
若，则，又，可知对任意，有，
，
，
不可能有成立，故错误；
对于，当时，，
若，则，
，可知对任意，有，
，
，
当时，是等比数列，故正确．
故选：．
二．填空题（共9小题）
12．（2021 清城区校级一模）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，设，的前项和分别为，，若，，则 2 ， ．
【解答】解：由，得
，，
，．
联立以上各式解得：．
故答案为：2，2．
13．（2021 铜山区模拟）设等差数列的公差为，其前项和为．若，，则的值为 ．
【解答】解：由，，
得，解得．
故答案为：．
14．（2021 3月份模拟）已知等差数列的公差为，前项和为，且数列也为公差为的等差数列，则 ．
【解答】解：等差数列的公差为，前项和为，
且数列也为公差为的等差数列，
，
即，，，
，，成等差数列，
，
，
整理，得：．
，
解得．
故答案为：．
15．（2021 河东区期末）已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为 ．
【解答】解：数列的前项和满足，
可得时，，
时，，
上式对也成立，
故，，
，
则数列的前10项的和为．
故答案为：．
16．（2021 宁波校级模拟）已知单调递减的等比数列满足：，且是，是等差中项，则公比 ，通项公式为 ．
【解答】解：设单调递减的等比数列的公比为，
，且是，是等差中项，
，，即，
解得，，舍去）．
．
故答案分别为：；．
17．（2021春 涪城区校级期中）设等差数列的前项的和为，且，，，则 ．
【解答】解：等差数列的前项的和为，且，，，
，
，
，
．
故答案为：．
18．（2021 浙江模拟）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为 88 ．
【解答】解：，
，
设，则，
即，
因为关于的方程有解，
故△，
解得或，
故，此时，，满足，
即的最小值88．
故答案为：88．
19．设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：，可得，
化为：，
△，，
．
解得．
的取值范围是，．
故答案为：，．
20．（2021 浙江模拟）已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是 ．
【解答】解：设等差数列的公差为，且，则，
，
，
为等差数列，，（且为公差）
，
，，．
故答案为：．
三．解答题（共16小题）
21．（2021 浙江二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是与的等差中项．数列的前项和为，且．求证：
（Ⅰ）数列是等差数列；
（Ⅱ）．
【解答】证明：（Ⅰ）数列是各项均为正数的等比数列，若，是与的等差中项，
由已知，
整理得．
设数列的公比为，则，
解得或（负值舍去）
故．
由．①
当时，解得，
当时，②，
①②得：，
解得．
所以，
故（常数），
故数列是等差数列．
（Ⅱ）由于，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则：，
所以，
根据不等式，
所以，
由于，
所以成立．
22．（2013春 赣州期中）已知数列中，，，其前项和满足．
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）为非零整数，，试确定的值，使得数列是递增数列．
【解答】（1）证明：由已知得，，（1分）
即，且．（2分）
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
所以．（4分）
（2）解：由（1）知，它的前项和为．①．②
①②得，（6分）．（8分）
（3）解：，，
要使恒成立，即恒成立，恒成立，（12分）
当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，．
当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，．
，又为非零整数，则．（15分）
综上所述：存在，使得对任意的，都有．（16分）
23．（2021 赤峰月考）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解答】解：（1）等比数列的公比为．已知，，
所以，，
整理得，或．
所以；；
（2）由（1）得：，
所以①，
②，
①②得：，
整理得：．
24．（2021 浙江开学）已知数列，，中，其中为等比数列，公比，且，，，．
（1）求与的通项公式；
（2）记，求证：．
【解答】解：（1）数列为等比数列，，
，
即，
解得：或，
，
．
因为，
所以，
所以数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以，
因为，
所以，
，
，
累加可得，
因为，
所以．
（2）由（1）可知：，
所以，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
结论得证．
25．（2021 浙江）设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
【解答】解：（Ⅰ）设数列的公差为，
由题意得，
解得，，
，．
，，
数列满足：对每个，，，成等比数列．
，
解得，
解得，．
（Ⅱ）证明：，，
用数学归纳法证明：
①当时，，不等式成立；
②假设，时不等式成立，即，
则当时，
，
即时，不等式也成立．
由①②得，．
26．已知数列的前项和为，且满足，数列满足，数列的前项和为，为正整数．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前2015项的和，求的最大值．
【解答】解：（1），①可得，
解得，又，解得，
当时，，②
①②，可得，
变形为，
由于，则，
故数列的通项公式；
（2）
，
前2015项的和
，
故不超过的最大整数为2015．
27．（2021春 松山区校级月考）从下列①②③选项中，选择其中一个作为条件进行解答：
①已知数列的前项和；
②已知数列是等比数列，，；
③已知数列中，，且对任意的正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前2021项的和．
【解答】解：（1）若选①，当时，，
当时，，显然当时，也适合，
所以．
若选②，设等比数列的公比为，
因为，，所以有，
解得，，．
若选③，令，，
是以为首项，公比为2的等比数列，
因此；
（2）由题意知，，
．
28．（2021 龙岩模拟）已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值．
【解答】解：（1）当时，，得．
当时，由①，
得②，
①②得，，
当时，得；
当时，由．
又也满足上式，
所以．
（2）由（1）得，
所以，
由得，即，
因为，所以，即，
故满足的最小正整数为10．
29．（2021 思明区校级模拟）在①，，②，③点，在直线上这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
已知数列的前项和为，_____．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
【解答】解：（1）选条件①，①，
由于，当时，解得：，
当时，，②，
①②得：，
整理得：（常数），
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以：．
选条件②时，，①，
由于，当时，解得：，
所以：，②，
①②得：，
整理得：（常数），
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以：．
选条件③时，点，在直线上，
故：，①，
所以：当时，整理得：，
当时，，②，
②①得：，
整理得：（常数），
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以：．
（2）由（1）得：，
所以：①，
②，
①②得：，
整理得：．
30．（2021春 武侯区校级期末）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：当时，，，，
当时，由①，得②，
①②得，，
，，又，
是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）①由，得，
所以，，
两式相减得
，
所以
②由，得恒成立，即恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，有，得；
当时，有，得；
综上，实数的取值范围为，．
31．（2021春 吉安县期中）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，根据题意，有，即，
解得，所以；
（2）证明：由（1）可得，则，
，两式相减得，
所以，由于，所以，又，
所以，而，所以为的最小项，且，所以，
综上所述，．
32．（2021 浙江）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足．
（Ⅰ）若，求及；
（Ⅱ）求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，
所以
解得
所以，；
（Ⅱ）因为，
所以，
整理得，即，
因为，所以，
解得或
故的取值范围为或．
33．（2021 开福区校级开学）已知等差数列的公差，设的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对一切，都有为正整数）成立．求的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，，
把代入上式，得或，
，，则；
（2），
则，
，
两式作差得：．
，
又，
．
故的最小值为6．
34．（2021 金华模拟）已知数列的前项和为，，数列满足：当，，成等比数列时，公比为，当，，成等差数列时，公差也为．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）证明：．
【解答】（1）解：，
当时，；当时，；当时，；
；
．
（2）证明：由（1）可知，若为偶数，则，，，
，，成等比数列，即，
而由式结果，可得，即得此时，，不成等比数列，
又，即当为偶数时满足题意“，，成等差数列”，
故可得此时；
若为奇数，则，，，
此时可得，，且，
即得此时．
综上可得，①当为偶数时，，此时；
②当为奇数时，，此时；
，
又，
，
综上可得，．
35．（2021春 滑县期末）已知正项数列的前项和为，对任意，且．
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
【解答】（Ⅰ）证明：由，得，
，
又，，则．
数列是公差为2的等差数列．
又，，得．
；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，．
．
36．（2021 北仑区校级开学）已知正项数列的前项和为，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，为等差数列，求证：．
【解答】解：（1），，，
时，，
相减可得：，
时，，
解得，
数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，公差为4，
．
．
，．
（2）证明：，，为等差数列，
，
，解得，
．
，
，
．第1讲 等差等比数列的综合运用
一．选择题（共11小题）
1．（2021春 昭阳区期中）如图，点列，分别在某个锐角的两边上，且，，，，，表示与不重合）．若，为△的面积，则
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
2．（2021 浙江）已知等差数列的前项和，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是
A． B． C． D．
3．（2021 襄城区校级模拟）已知递增等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则
A．， B．， C．， D．，
4．（2021 鹰潭一模）已知等差数列的公差，为其前项和，若，，成等比数列，且，则的最小值是
A． B． C． D．
5．（2021 柯桥区模拟）已知四面体，分别在棱，，上取，等分点，形成点列，，，过，，，2，，作四面体的截面，记该截面的面积为，则
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C．数列为等差数列 D．数列为等比数列
6．（2021 椒江区校级模拟）数列满足，则下列说法错误的是
A．存在数列使得对任意正整数，都满足
B．存在数列使得对任意正整数，都满足
C．存在数列使得对任意正整数，都满足
D．存在数列使得对任意正整数，都满足
7．（2021 常熟市校级月考）设是等比数列的前项和，若，则
A． B． C． D．
8．（2021 浙江开学）已知数集，，，，，具有性质：对任意的，，或成立，则
A．若，则，，成等差数列
B．若，则，，，成等比数列
C．若，则，，，，成等差数列
D．若，则，，，，，，成等比数列
9．（2021 浙江月考）已知数列的前项和是，前项的积是．
①若是等差数列，则是等差数列；
②若是等比数列，则是等比数列；
③若等差数列，则是等差数列；
④若是等比数列，则是等比数列．
其中正确命题的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021秋 杭州期中）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是
A．，， B．，
C．，， D．，
11．（2021 浙江开学）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是
A．存在，使得为等差数列
B．当时，
C．当时，
D．当时，是等比数列
二．填空题（共9小题）
12．（2021 清城区校级一模）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，设，的前项和分别为，，若，，则 ， ．
13．（2021 铜山区模拟）设等差数列的公差为，其前项和为．若，，则的值为 ．
14．（2021 3月份模拟）已知等差数列的公差为，前项和为，且数列也为公差为的等差数列，则 ．
15．（2021 河东区期末）已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为 ．
16．（2021 宁波校级模拟）已知单调递减的等比数列满足：，且是，是等差中项，则公比 ，通项公式为 ．
17．（2021春 涪城区校级期中）设等差数列的前项的和为，且，，，则 ．
18．（2021 浙江模拟）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足：，且，则的最小值为 ．
19．设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是 ．
20．（2021 浙江模拟）已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是 ．
三．解答题（共16小题）
21．（2021 浙江二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是与的等差中项．数列的前项和为，且．求证：
（Ⅰ）数列是等差数列；
（Ⅱ）．
22．（2013春 赣州期中）已知数列中，，，其前项和满足．
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）为非零整数，，试确定的值，使得数列是递增数列．
23．（2021 赤峰月考）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
24．（2021 浙江开学）已知数列，，中，其中为等比数列，公比，且，，，．
（1）求与的通项公式；
（2）记，求证：．
25．（2021 浙江）设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
26．已知数列的前项和为，且满足，数列满足，数列的前项和为，为正整数．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前2015项的和，求的最大值．
27．（2021春 松山区校级月考）从下列①②③选项中，选择其中一个作为条件进行解答：
①已知数列的前项和；
②已知数列是等比数列，，；
③已知数列中，，且对任意的正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前2021项的和．
28．（2021 龙岩模拟）已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值．
29．（2021 思明区校级模拟）在①，，②，③点，在直线上这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．
已知数列的前项和为，_____．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
30．（2021春 武侯区校级期末）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
31．（2021春 吉安县期中）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：．
32．（2021 浙江）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足．
（Ⅰ）若，求及；
（Ⅱ）求的取值范围．
33．（2021 开福区校级开学）已知等差数列的公差，设的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对一切，都有为正整数）成立．求的最小值．
34．（2021 金华模拟）已知数列的前项和为，，数列满足：当，，成等比数列时，公比为，当，，成等差数列时，公差也为．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）证明：．
35．（2021春 滑县期末）已知正项数列的前项和为，对任意，且．
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
36．（2021 北仑区校级开学）已知正项数列的前项和为，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，为等差数列，求证：．第2讲 数列的通项公式
一．选择题（共7小题）
1．（2021春 赤坎区校级月考）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是
A．100 B． C．101 D．
【解答】解：，
，
，
又，，即，
，
即，
又，，
，
故选：．
2．（2021 庐山区校级期中）已知数列，，满足：，若是首项为2，公比为2的等比数列，，则数列的前项的和是
A． B．
C． D．
【解答】解：数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，
，
，
，
两式相减得：，
，
当时，，
即满足上式，
数列的通项公式是，
，
，
数列的前项的和，①
，②，
故选：．
3．（2021 黄州区校级二模）数列满足，，则数列的前2021项的和为
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，由，可得
，
故．
，
，
，
．
各项相加，可得
，
．
设数列的前项的和为，则
．
故选：．
4．（2021 天水校级期末）已知数列中，，，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
【解答】解：①
②，
①②得：，即：，
所以，所以
故选：．
5．（2021春 丽水期末）已知数列满足，，则数列的最小项为
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列满足，，
所以：；
又；
所以：数列是首项为，公比为4的等比数列；
故；
；
；
；
上面等式相乘可得：；
又；
，；
当时符合等式；
故，
因为为正整数，故当或4时，数列取最小项为；
故选：．
6．（2021 福州一模）已知数列满足，，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列满足，，
则，
所以，
所以，
令，
则，
两边取对数得，
又，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
所以，
所以：，
即，
从而，
将代入，
解得：，
故选：．
7．（2021 德州期末）对于数列，规定△为数列的一阶差分数列，其中△，对自然数，规定△为数列的阶差分数列，其中△△△．若，且△△，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题中定义，可得，
即，即，
等式两边同时除以，得，
且，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，．
故选：．
二．填空题（共5小题）
8．（2021 广西月考）已知数列的首项为，设是数列的前项和，且，则 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
是以为首项，以为公差的等差数列，
，
即．
故答案为：．
9．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则 ， ．
【解答】解：，2，3，，
，
又，
，
，
，
，，
故答案为：；．
10．（2021 山东月考）已知数列中，，其前项和满足，则 ； ．
【解答】解：（1）数列中，，其前项和满足，
，解得．
（2）时，，
化为：，
．
数列是等差数列，公差为1，首项为2．
．
．
故答案为：，．
11．（2021 重庆模拟）设各项均为正数的数列的前项和满足，，则数列的前2021项和 ．
【解答】解：依题意，由，，可得
．
数列的各项均为正数，．
，．
当时，，
当时，．
，．
．
．
故答案为：．
12．（2021 江西月考）已知数列满足，．记，其中表示不超过的最大整数，求的值为 0 ．
【解答】解：，，
可得，
，
即有，即，
若，可得，不成立，
则，且，
可得，同号，则，
可得，
则，
故答案为：0．
三．解答题（共35小题）
13．（2021 浙江月考）已知数列的各项都不为零，其前项和为，且满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）是否存在满足题意的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）数列的各项都不为零且满足①
，解得（2分）
②，
②①得，
整理得到，（5分）
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
．（7分）
（2）根据（1），，
可得或，（11分）
从第二项开始每一项都有两个分支，
通项为的数列满足题意，
使得（其他符合的答案类似给分）．（15分）
14．（2021 迎泽区校级月考）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
【解答】解：（1），
，
，
变形为：，
数列是等比数列，首项为6，公比为4，
，
．
．
（2）．
数列的前项和．
．
．
15．（2021 殷都区校级月考）（1）已知数列满足，，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）由，，
得，
，
，
，
累加得：
．
上式成立，
；
（2）
．
16．（2021 湖南模拟）在正项数列中，，，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）由，
可得．
，
则数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，
由于，可得；
（2），
则前项和
．
17．（2021 重庆三模）已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ____，求的前项和，并求的最小值．
从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．
①数列满足：，；
②数列的前项和；
③数列的前项和满足：．
【解答】解：（1）设数列的公比为，则由，，所以，
因为，所以，
因为，，成等差数列，所以，
即，所以，所以，
所以．
（2）选择①：因为，，
所以，
所以；
；
；
；
所以，
当时也成立．
所以，
所以，
因为是递增的，
所以的最小值为，
选择②：由可知：
当时，，
当时，，验证当时亦满足此关系，
所以
所以
所以，
，
所以，
因为是递增的，所以的最小值，
选择③：因为，所
以，
两式相减得，
即，
所以
而，即
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，
当为奇数时，由于，
故；
当为偶数时，由于，
故，
由在为偶数时单调递增，
所以当时，的最小值为．
18．（2021春 莱芜区校级月考）在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】证明：（1）数列中，，．
整理得（常数），
当时，，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
故，
则，
解：（2）由于，
故．
19．（2021 河西区二模）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求；
（3）设数列的通项公式，求；
【解答】解：（1），，
两式相减，整理得：，当时，有，解得，
数列是以6为首项，3为公比的等比数列，．
设数列的公差为，，是和的等比中项，，
即，解得或2，公差不为0，，故；
（2），；
（3），，
．
20．（2021 葫芦岛月考）在数列中，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）证明：数列中，，
可得，
数列为首项和公比均为2的等比数列，
可得，
则；
（2），
则前项和，
，
相减可得
，
化简可得．
21．（2021 秦州区校级月考）已知数列中，，．
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）为数列的前项和，求．
【解答】解：（1）证明：数列中，，．
所以，
所以（常数），
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（2）由于数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以，
由于，
所以．
（3）由于，所以．
22．（2021 西城区校级月考）数列中，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）因为，，
所以，
，
．
（Ⅱ）因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．
，即．
数列的通项公式是．
（Ⅲ）数列的前项和．
23．（2021 赫山区校级期中）已知数列中，，．
（1）求证是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
【解答】解：（1）证明：，，
可得，
可得是首项为3，公比为3的等比数列，
即有，
可得；
（2）前项和，
可得．
24．（2021 沈阳月考）在等差数列中，已知，公差，其前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的表达式．
【解答】解：（1）根据题意，当时，，
又，则，解得，
所以等差数列的公差，
所以；
（2）由（1）可知，
则；所以，
两式相减得，
则，
所以．
25．（2021 五华区校级月考）已知数列中，，，当时，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）当时，，求正整数的最小值．
【解答】解：（1）当时，由已知，得，
所以是以为首项，1为公差的等差数列．
所以，所以，
所以．（6分）
（2）令，，
因为（3）（3），（4）（4），
由二次函数与指数函数的不同增长模型可得：时，，
所以正整数的最小值为4．（12分）
26．（2021 湖南月考）已知在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【解答】解：（1）由，得，
所以，
又满足上式，所以；
（2）由（1）可知，则，
所以．
27．（2021 青羊区校级开学）在①，，成等差数列，且；②，且；③为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答．
问题：已知数列的前项和为_____，其中．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解答】（1）若选①，，成等差数列，且．
问题：已知数列的前项和为，，其中，，成等差数列，其中．
解：，，成等差数列，其中．
，化为：，
，，
数列是等比数列，首项为，公比为，
．
若选②，且．
问题：已知数列的前项和为，，，且，其中．
解：，化为：，
，
，即，
数列是等比数列，首项为，公比为，
．
若选③为常数）．
问题：已知数列的前项和为，，为常数），其中．
解：由，为常数），其中．
取，可得：，，化为：，解得．
时，，相减可得：，
即，
数列是等比数列，首项为，公比为，
．
（2）解：，
．
数列的前项和，
，
，
化为：．
28．（2021 明山区校级月考）在数列中，为其前项和，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解答】解：（1），，
当时，，
两式相减可得，
时，，，
又，满足上式，
当时，，
显然当时也满足，
，，
（2），
．
29．（2021 邯郸开学）在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
【解答】解：（1）由，，
可得，且，
所以数列是首项为0，公差为2的等差数列，
可得；
（2），
所以．
30．（2021 全国Ⅰ卷月考）已知数列中，，且满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求满足的的最小值．
【解答】（1）证明：因为，
．
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
（2）因为，
所以，
解得，
所以满足的的最小值为10．
31．（2021 天河区月考）已知数列中，，其前项和为，且对任意，都有．
（1）求、、，并求数列的通项公式．
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1），对任意，都有．
时，，解得；
时，，解得；
时，，解得．
时，，化为：，
，
数列是等差数列，公差为2，
．
（2）时，数列的前项和；
时，数列的前项和．
．
32．（2021春 雅安期末）已知数列中，，．
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列，满足．
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由，得，则，
又，得，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
故，即；
（2）（ⅰ）由（1）可知；则，
所以；
，
两式相减得，所以；
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以对一切恒成立，
令，则是递增数列，当为偶数时，，所以；
当为奇数时，恒成立，又，所以，
综上所述，的取值范围是．
33．（2021 遂宁模拟）已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求．
【解答】解：数列中，，，
当时，解得；
两边同除以，整理得（常数），
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
所以，
整理得．
（2）由（1）得：，
所以①，
②，
①②得：，
整理得．
34．（2021 北京月考）已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
【解答】解：（1）因为且,
所以,
则
,
上式对也成立，
故；
（2）等价为,
数列的前项和为,
令,
其前项和为,
则有,,,
故,,,
当时，,
则有,
综上可得,不等式成立的或2．
35．（2021 溧阳市期中）已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明列数是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）设数列满足对任意的成立的值．
【解答】解：（1）点在函数的图象上，
当时，
当时，
也适合，
的通项公式为
（2）
其首项为3，公比为3的等比数列
（3）由（2）得
由题意得
36．（2021春 长阳县校级期中）已知数列中，，，，
（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ），
，
又，
数列是以7为首项、3为公比的等比数列，
；
，
，
又，
数列是以为首项、为公比的等比数列，
；
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得，
，
，
，
，
37．已知在数列中，，，．
（1）求数列的前项和；
（2）若且，，是否存在直线，使得当，，成等差数列时，点列，在上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：，
，
又，
数列是以2为首项、为公比的等比数列，
，
，
当为正偶数时，；
当为正奇数时，，
；
（2）结论：存在满足条件的直线．
理由如下：
假设，，成等差数列，则，
，
整理得：，
依题意，且，，下面对、进行讨论：
①若、均为偶数，则，
解得：，与且，矛盾，舍去；
②若为奇数、为偶数，则，
解得：；
③若为偶数、为奇数，则，
解得：，与且，矛盾，舍去；
④若、均为奇数，则，
解得：，与且，矛盾，舍去；
综上①②③④，只有当为奇数、为偶数时，，，成等差数列，
此时满足条件点列，落在直线在上．
38．（2021春 内江期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，．
（1）计算：，；
（2）求的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）令，得，又，所以；
令，得，所以．
（2）因为当时，，
所以，
所以数列为等差数列，
所以，
所以，
于是，当时，
，
当时，，满足上式，故．
（3）因为，则，
于是，
．
39．（2021春 新津县校级月考）已知数列中，，且．
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求并比较与的大小．
【解答】解：（1）当时，，
当时，，
因为，所以，
当时，由累加法得，
因为，所以时，有，即，又时，，
故．
（2）时，，则．
记函数，所以，
则，
所以．
由于，此时，，此时，，此时，
由于，故时，（3），此时．
综上所述，当，2时，；当时，．
40．（2021春 广东期中）已知数列满足，且，．
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），，
数列是以首项为1，公差为2的等差数列，，
，，
故数列是等差数列，．
（2）．
（3），，
即，，，当且仅当时等号成立，
故．
41．（2008 深圳二模）已知数列满足，．
（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．
（Ⅱ）如果时，数列的前项和为．试求出，并证明．
【解答】解：（Ⅰ），
．
令，则．分
，
当时，，则．
数列不是等比数列．
当时，数列不是等比数列．分
当时，，则数列是等比数列，且公比为2．
，
即．
解得．分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，
．
令，①
则，②
由①②：
，
，分
则．分
，
当时，，则．分
，
则．分
因此，．分．
42．（2021 南城县校级月考）设各项为正数的数列的前项和为，且满足：．等比数列满足：．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项的和；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
【解答】解：当时，，而即
当时，，
，
当时，．
当时也成立，
．
．
．
解：．
，（1）
，（2），
（1）（2）得，
．
（Ⅲ）证明：当时，
，
43．（2021春 寿县校级月考）设数列满足：，．令．
（1）求证数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）已知，求证：．
【解答】证明：（1）由，得，代入得，，
，，
是首项为2，公比为的等比数列
，
（2）法一：由（2）得
法二：同理由
44．（2021 北仑区校级期中）已知数列满足，记为数列的前项和．
（1）证明：；
（2）证明：．
【解答】证明：（1）时，，此时成立；
假设时成立，即，
则时，，
即时命题成立．
综上可得：，．
（2）时，．
时，；
，
另一方面：，
，
，
即．
45．（2021 南通模拟）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合．
【解答】解：（1）依题意，由，
两边同时乘以，可得，
构造数列：令，则，
，，，，，
各项相加，可得
，
，．
（2）由（1）得，
，
令，
则，
两式相减，可得，
，
，
，
则，
，
，
，
，则，
，
当时，，
，
故数列是单调递增数列，
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
满足的所有正整数的取值集合为，2，．
46．（2014秋 利川市校级期末）对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．
（1）已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；
（2）若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
【解答】（1）证明：依题意，△，
，
△△，
△，
△是首项为1，公差为5的等差数列．
（2）解：△△，，
△△△，
△，，
，，
当时，
，
，
当时，也满足上式，
．
（3）解：，，
令，则，
则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
而，
，即时，存在最小值，其最小值为．
47．（2021春 丹阳市校级期中）数列满足，．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）由，．可得，同理可得，．
（2）由，两边取倒数化简可得：，
数列是等比数列，首项为2，公比为2．
，
解得．
（3）．
数列的前项和．
，
．
．第2讲 数列的通项公式
一．选择题（共7小题）
1．（2021春 赤坎区校级月考）设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则它的通项公式是
A．100 B． C．101 D．
2．（2021 庐山区校级期中）已知数列，，满足：，若是首项为2，公比为2的等比数列，，则数列的前项的和是
A． B．
C． D．
3．（2021 黄州区校级二模）数列满足，，则数列的前2021项的和为
A． B． C． D．
4．（2021 天水校级期末）已知数列中，，，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
5．（2021春 丽水期末）已知数列满足，，则数列的最小项为
A． B． C． D．
6．（2021 福州一模）已知数列满足，，则
A． B． C． D．
7．（2021 德州期末）对于数列，规定△为数列的一阶差分数列，其中△，对自然数，规定△为数列的阶差分数列，其中△△△．若，且△△，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
8．（2021 广西月考）已知数列的首项为，设是数列的前项和，且，则 ．
9．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则 ， ．
10．（2021 山东月考）已知数列中，，其前项和满足，则 ； ．
11．（2021 重庆模拟）设各项均为正数的数列的前项和满足，，则数列的前2021项和 ．
12．（2021 江西月考）已知数列满足，．记，其中表示不超过的最大整数，求的值为 ．
三．解答题（共35小题）
13．（2021 浙江月考）已知数列的各项都不为零，其前项和为，且满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）是否存在满足题意的无穷数列，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，请说明理由．
14．（2021 迎泽区校级月考）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
15．（2021 殷都区校级月考）（1）已知数列满足，，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（2021 湖南模拟）在正项数列中，，，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
17．（2021 重庆三模）已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若 ____，求的前项和，并求的最小值．
从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．
①数列满足：，；
②数列的前项和；
③数列的前项和满足：．
18．（2021春 莱芜区校级月考）在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（2021 河西区二模）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求；
（3）设数列的通项公式，求；
20．（2021 葫芦岛月考）在数列中，．
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．（2021 秦州区校级月考）已知数列中，，．
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）为数列的前项和，求．
22．（2021 西城区校级月考）数列中，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前项和．
23．（2021 赫山区校级期中）已知数列中，，．
（1）求证是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
24．（2021 沈阳月考）在等差数列中，已知，公差，其前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的表达式．
25．（2021 五华区校级月考）已知数列中，，，当时，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）当时，，求正整数的最小值．
26．（2021 湖南月考）已知在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
27．（2021 青羊区校级开学）在①，，成等差数列，且；②，且；③为常数）从这三个条件中任选一个补充在横线处，并给出解答．
问题：已知数列的前项和为_____，其中．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
28．（2021 明山区校级月考）在数列中，为其前项和，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
29．（2021 邯郸开学）在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
30．（2021 全国Ⅰ卷月考）已知数列中，，且满足，．
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求满足的的最小值．
31．（2021 天河区月考）已知数列中，，其前项和为，且对任意，都有．
（1）求、、，并求数列的通项公式．
（2）求数列的前项和．
32．（2021春 雅安期末）已知数列中，，．
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列，满足．
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
33．（2021 遂宁模拟）已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求．
34．（2021 北京月考）已知数列中，，且且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．
35．（2021 溧阳市期中）已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明列数是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）设数列满足对任意的成立的值．
36．（2021春 长阳县校级期中）已知数列中，，，，
（Ⅰ）证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求数列的前项和．
37．已知在数列中，，，．
（1）求数列的前项和；
（2）若且，，是否存在直线，使得当，，成等差数列时，点列，在上？若存在，求该直线的方程并证明；若不存在，请说明理由．
38．（2021春 内江期末）已知数列的前项和为，且满足，当时，．
（1）计算：，；
（2）求的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
39．（2021春 新津县校级月考）已知数列中，，且．
（1）求，的值及数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求并比较与的大小．
40．（2021春 广东期中）已知数列满足，且，．
（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）记，求；
（3）是否存在实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
41．（2008 深圳二模）已知数列满足，．
（Ⅰ）试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．
（Ⅱ）如果时，数列的前项和为．试求出，并证明．
42．（2021 南城县校级月考）设各项为正数的数列的前项和为，且满足：．等比数列满足：．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项的和；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
43．（2021春 寿县校级月考）设数列满足：，．令．
（1）求证数列是等比数列并求数列的通项公式；
（2）已知，求证：．
44．（2021 北仑区校级期中）已知数列满足，记为数列的前项和．
（1）证明：；
（2）证明：．
45．（2021 南通模拟）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合．
46．（2014秋 利川市校级期末）对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．
（1）已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；
（2）若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
47．（2021春 丹阳市校级期中）数列满足，．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．第3讲 数列求和
一、单选题
1．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用倒序相加法得到，得到答案.
【详解】
依题意，记，
则，
又，两式相加可得
，
则.
故选：B．
2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，若等比数列满足，则（ ）．
A．2020 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由函数解析式可知，，
而根据等比数列的性质 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题
【详解】
∵，∴．
∵数列为等比数列，且，∴．
∴，
∴由倒序求和可得．
故选：A．
3．（2021·全国·高二专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【分析】
由题得 ①， ②，两式相加化简即得解.
【详解】
令 ①
则 ②
①+②可得：，
，..
故选：A
4．（2021·江西·新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】A
【分析】
根据函数解析式确定为常数，再得到，然后利用倒序相加法求和即可.
【详解】
∵，
∴．
又∵，
∴．
令，
则，
两式相加得，∴．
故选：A
5．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】
设，得到，再利用倒序相加求和得解.
【详解】
解：函数，设，则有，
所以，
所以当时，，
令，
所以，
故．
故选：C
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
6．（2021·河南南阳·高二期中）已知数列满足，，，则数列的前2021项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用累加法得到，带入得到，再利用分组求和法计算得到答案.
【详解】
，即.
.
.
故
.
故选：A.
7．（2021·河南南阳·高三期中（文））意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构” 化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列，则数列的前2021项的和为（ ）
A．2020 B．1348 C．1347 D．672
【答案】B
【分析】
求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.
【详解】
由数列各项除以2的余数，
可得为，
所以是周期为3的周期数列，
一个周期中三项和为，
因为，
所以数列的前2020项的和为，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：
本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
8．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
【答案】C
【分析】
根据和的关系得到，计算，，故，利用分组求和法计算得到答案.
【详解】
，当时，，故；
当时，，，相减得到，
数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，
，，
.
故选：C.
9．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）数列满足，则它的前20项和等于（ ）
A．-10 B．-20 C．10 D．20
【答案】D
【分析】
根据，利用并项求和法即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以
.
故选：D.
10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，，则（ ）．
A．3009 B．3031 C．3010 D．3030
【答案】B
【分析】
由条件求数列的前几项，由此确定数列具有周期性，利用组合求合法求.
【详解】
在数列中，，，可得，，，…，即奇数项为1，偶数项为2，
则．
故选：B．
11．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，其前项和，则项数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
利用分组求和的办法，求出数列的前项和，解方程即可.
【详解】
由题知，．又，由得．
故选：C
12．（2021·河南·高二月考（文））设数列的前项和为，若，，则（ ）
A．620 B．630 C．640 D．650
【答案】A
【分析】
当为奇数时，，可得的奇数项构成等差数列，由等差数列的求和公式可得奇数项的和，当为偶数时，，可计算偶数项的和，由分组求和即可求解.
【详解】
当为奇数时，，
故数列的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列；
所以，
当为偶数时，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：A.
二、多选题
13．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
【答案】ACD
【分析】
对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可
【详解】
当时，，∴，∴A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误；
∵，
∴数列为递减数列，∴C正确；
∵，∴，两式相减得，
∴，
∴．∴D正确．
故选：ACD．
14．（2021·河北衡水中学高三月考）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第2021项为
C．数列的前项和
D．数列的前项和
【答案】CD
【分析】
由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和
【详解】
数列各项乘以10再减4得到数列
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；
从而所以故B错误
当时；
当时
0.3.
当时也符合上式，所以故C正确
因为所以当时
当2时，
所以
所以
又当时也满足上式，所以，故D正确.
故选：CD.
15．（2021·广东荔湾·高二期末）设为数列的前项和，且，若数列满足：，且，则以下说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用求得通项公式，即可得判断A；化简判断的正负可判断单调性判断B；利用错位相减法可求得，再作差判断的正负可判断D.
【详解】
，则当时，，
两式相减得，当时，也适合，故，
则，则，所以数列是等比数列，故A正确；
，，
当时，，即，则数列不是递增数列，故B错误；
，
，
两式相减可得，
所以，故C正确；
，
当时，，则,
当时，，则，
当时，，则，
综上可得，故D正确.
故选：ACD.
16．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】BCD
【分析】
推导出，可判断AB选项的正误；利用等比数列的通项公式可判断C选项的正误；利用裂项求和法可判断D选项的正误.
【详解】
因为，所以，，
，则，，，以此类推可知，对任意的，，
所以，，则，
故数列是等比数列，且首项为，公比为，
所以，，，
，
所以，.
所以，BCD选项正确，A选项错误.
故选：BCD.
17．（2021·全国·高三月考）已知数列满足，（），则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列
B．数列的前项和不超过
C．存在等差数列，使得对恒成立
D．不存在实数，使得对恒成立
【答案】ABC
【分析】
先由题意求得，将其代入A选项直接得出结论；B选项，利用放缩技巧将其裂项求和得结论；C选项，利用超越不等式得到结论；D选项，由错位相减法可得结论.
【详解】
将两边同除以，得到，所以为等差数列，首项为，公差为1，所以，
对于A选项，，此时令，则，所以数列是等差数列，正确；
B选项，
，
所以，所以正确；
C选项，，
又令，则，
令，则，令，则，
所以在单减，在单增，
又，所以，即成立，
所以，所以存在等差数列，使得对恒成立
所以正确；
D选项，令，
则，所以，
令,则，
所以，
所以，故错误，
故选：ABC
18．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）已知数列的前项和为，且，，若，则正整数的值可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】CD
【分析】
由题意，项和转换可得，裂项相消可得
，令，解不等式即可
【详解】
由已知可得，
当时，，即，
∴，
，
令，得，
即
解得（舍去）或，
∴结合选项，知正整数的值可以为8或9．
故选：CD
19．（2021·江苏·高二单元测试）设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
对于AB，通过累乘法求出的通项公式，进而求出的通项公式，即可求解；
对于CD，通过的通项公式求出的通项公式，再通过裂项相消求，进而求解.
【详解】
由题意，得，
∴当时，，
又当时也符合上式，
∴，易得，∴，
故A，B正确；
，
∴，
易知单调递增，
∴，∴，故C错误，D正确.
故选:ABD．
三、填空题
20．（2021·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．
【答案】
【分析】
当时，，当时，可得的通项公式，再利用裂项求和即可求解.
【详解】
当时，，
当时，，
因为满足上式，所以，
所以
所以，
故答案为：.
21．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________
【答案】
【分析】
先求得，由，可得，由此即可求解
【详解】
因为，
所以
，
由，可得，解得，
所以满足的最小值为，
故答案为：
22．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））无穷数列满足：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.
【答案】7578
【分析】
根据新定义得数列是周期数列，从而易求得．
【详解】
∵成等比数列，，∴，
又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，
∴数列是周期数列，周期为4．
∴．
故答案为：7578．
23．（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，，，则下列表达式的值为____________．
【答案】
【分析】
依次求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
四、解答题
24．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）令，求数列的前2020项和.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
（1）
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）
因为，所以，
所以.
（3）
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
25．（2021·全国·高二课时练习）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.
【答案】
（1）证明见解析
（2）Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－
【分析】
（1）根据an＝Sn－Sn－1得到，即，得到证明.
（2）计算Sn＝n·2n－n，根据错位相加法结合分组求和法计算得到答案.
（1）
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，
即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则，所以，
又＋1＝2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）
知，所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).
设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，
所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－.
26．（2021·陕西西安·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，设，求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，，可得，两式相减即可求解；
（2）由（1）可求得，进而可得，，利用乘公比错位相减求和即可求解.
【详解】
（1）当时，，，
两式相减可得：，即，
所以，不满足，
所以数列的通项公式为；
（2）当时，由，，可得，
，满足，所以，
可得，，
，
，
两式相减可得：
，
所以.
27．（2021·广东顺德·一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
【答案】
（1）；
（2）
【分析】
（1）结合等差数列性质，将具体项转化为关于的关系式，可求通项， ，可求解的通项公式；
（2）由（1）知，再采用错位相减法即可求解．
（1）
（1）方法1：设数列的公差为d，由题意得：
，解得，，故；
由可得：，即有或（舍），从而有数列为首项为1，公比为的等比数列，即可得；
（2）
（2）由（1）得，
①，
②，
①②得：
，故．
28．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据与的关系以及等差数列的通项公式即可求解.
（2）由，利用叠加，裂项相消法即可证明.
（1）
∵，，
∴，∴，
当时，有，
∴，∴，
∵，∴
∴数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，，
偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
，
∴.
（2）
，所以得，
从而
，
从而可得
29．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
【答案】
（1）；
（2）选①时，；选②时，；选③时，.
【分析】
（1）利用等差数列通项公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）选①时，得到，利用裂项相消法可求得；
选②时，得到，利用分组求和法，结合等差等比求和公式求得；
选③时，得到，利用错位相减法可求得.
（1）
是递增的等差数列，数列的公差，
由题意得：，解得：，，
．
（2）
选①时，．
，
．
选②时，，
．
选③时，，
，
则，
两式作差得：
．
30．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满足：(b1+ b2.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意得到和，两式相减得，解得答案.
（2）计算，，放缩和，利用裂项相消法计算得到证明.
（1）
由得，两式相减得，
由，得，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，
当为奇数时，，当为偶数时，.
综上所述.
（2）
由，，，，
两式相减得，，验证成立，故.
则，
那么，
故，
同理
，
故
，得证.
【点睛】
本题考查了求数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中数列的放缩是解题的关键，同学们需要灵活掌握.
31．（2021·上海·模拟预测）已知无穷数列满足，.
（1）若；
（i）求证：；
（ii）数列的前项和为且，求证：；
（2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由.
【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）（i）首先根据已知条件推出与的大小关系，计算出，然后求出的取值范围，从而可使问题得证；（ii）首先根据条件求出，然后求出，从而结合（i）的结论使问题得证；
（2）首先分，，三种情况求出的取值范围，当时，求出的取值范围，从而可推出在时，当时，，不符合题意，即可求解的取值范围．
【详解】
（1）（i）由可得，
①当时，∵，∴，∴，
②假设时，，则，
∴时，，，
由①②可知对一切正整数都有，
∴，
∴，
∴，
∴，
但当时，，
∴．
（ii）∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
由（i）知，可得，即，
∴．
（2）∵对任意的，都有，
且，∴显然，由（1）证明知，
①若，则，∴，∴；
②若，则为常数列，∴；
③若，则，∴，
又，
若，则，则，
∴，
∴当时，有，
∴当时，，不符合题意．
综上可知，.
【点睛】
关键点点睛：对于数列不等式的证明、不等式恒成立问题．解题中注意问题的转化，如利用，求出这个式子的取值范围后可证明不等式，利用裂项相消求和法求出，利用分类讨论求出参数的取值范围.
32．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列为等比数列，正项数列满足，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求.
【答案】
（1），
（2）
【分析】
（1）先判断数列是等差数列，再由等差数列和等比数列的通项公式求解即可；
（2）由分组转化求和法即可求解
（1）
因为，
所以，又，
所以.
即，又，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.
所以，即，
设的公比为，又，，
所以，解得，
所以.
综上，数列和的通项公式分别为，；
（2）
由（1）知，，，，，
，，，.
所以
.
.
33．（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）利用递推作差法求出通项公式，且证明当时也符合，再利用构造法结合已知条件求出的通项公式；
（Ⅱ）借助分组求和、等差、等比数列求和公式即可求出数列的前项和．
【详解】
（Ⅰ）由得
当时，，可得；
当时，，
两式相减得，
所以，
当时也满足上式，
所以的通项公式为，
因为，
因为，
所以，
即，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
．
34．（2021·广东·江门市培英高级中学模拟预测）已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列的通项公式，利用分组求和法即可求出数列的前项和；
（2）求出数列得通项公式，利用错位相减法即可求得数列的前项和．
【详解】
（1）证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故，
所以
；
（2）解：，
则①
②
①②得：
所以.
35．（2021·山东肥城·模拟预测）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；
（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.
【详解】
（1）令，则，可得，得；
当时，由可得，
两式相减得，即，
由数列的各项为正，可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
即数列的通项公式为；
（2）由得，则有，
因为
，
因此，.
36．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记的前项和为，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由已知方程可得或，结合正项数列即可确定的通项公式；
（2）利用正弦型函数的性质判断的周期，并求出一个周期内的项，最后根据周期求.
（1）
，
或，
为正项数列，
；
（2）
，
是周期为12的周期数列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，
.
37．（2021·浙江·三模）已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，，推得，结合，求得，从而求得.
（2）由，结合（1）中，求得，；代入问题所示表达式，由，进行裂项求和，将不等关系转化为，从而求得参数取值范围.
【详解】
解：（1）∵，
.
∵，∴，
∵，∴.
∵，∴，∴.
（2）∵，，
∴.∵，
∴，
∴，∴，.
∵
∴
两边同乘以（时，），
∴条件不等式等价于，
∴当n为偶数时，恒成立，当时，，故；
当 n为奇数时，恒成立，当时，，故；
故.
【点睛】
方法点睛：根据和求得与的关系，分别根据题目条件给出的求得数列通项；型如，可以通过这种方法进行裂项求和，对于含有型的表达式，需要分奇偶讨论，分别求得参数取值范围.
38．（2021·浙江·二模）对任意非零数列，定义数列，其中的通项公式为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若数列，满足的前项和为，且，．求证．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．
【分析】
（Ⅰ）利用相乘相消法求出通项公式即可；
（Ⅱ）由可求出，利用，由相乘相消法求出，根据进行放缩，即可证明出结论.
【详解】
（Ⅰ）因为，，
所以，
故；
（Ⅱ）因为，所以，，
又当时，，，
所以对任意，．
又由，
于是
由得．
【点睛】
关键点点睛：根据所给条件求通项公式，相乘相消法是解题的关键，在证明不等式中，恰当放缩是难点.第3讲 数列求和
一、单选题
1．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，若等比数列满足，则（ ）．
A．2020 B． C．2 D．
3．（2021·全国·高二专题练习）设，为数列的前n项和，求的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
4．（2021·江西·新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
5．（2021·全国·高三专题练习（理））已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
6．（2021·河南南阳·高二期中）已知数列满足，，，则数列的前2021项的和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·河南南阳·高三期中（文））意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即，，此数列在现代物理“准晶体结构” 化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列，则数列的前2021项的和为（ ）
A．2020 B．1348 C．1347 D．672
8．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．126 C．247 D．254
9．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）数列满足，则它的前20项和等于（ ）
A．-10 B．-20 C．10 D．20
10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列中，，，则（ ）．
A．3009 B．3031 C．3010 D．3030
11．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式是，其前项和，则项数（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2021·河南·高二月考（文））设数列的前项和为，若，，则（ ）
A．620 B．630 C．640 D．650
二、多选题
13．（2021·全国·高二单元测试）已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
14．（2021·河北衡水中学高三月考）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的通项公式为
B．数列的第2021项为
C．数列的前项和
D．数列的前项和
15．（2021·广东荔湾·高二期末）设为数列的前项和，且，若数列满足：，且，则以下说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C． D．
16．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）设数列的前项和为，，，数列的前项和为，下列正确的结论是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
17．（2021·全国·高三月考）已知数列满足，（），则下列说法正确的有（ ）
A．数列是等差数列
B．数列的前项和不超过
C．存在等差数列，使得对恒成立
D．不存在实数，使得对恒成立
18．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）已知数列的前项和为，且，，若，则正整数的值可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．（2021·江苏·高二单元测试）设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
20．（2021·上海市行知中学高二期中）已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 ___．
21．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）设数列的前项和为，且，则满足的最小值为___________
22．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））无穷数列满足：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.
23．（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，，，则下列表达式的值为____________．
四、解答题
24．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）令，求数列的前2020项和.
25．（2021·全国·高二课时练习）设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N*.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.
26．（2021·陕西西安·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，设，求数列的前项和为．
27．（2021·广东顺德·一模）已知数列，的各项均为正数．在等差数列中，，；在数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为．
28．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，.数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
29．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
30．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列的首项，其前项和为，且.数列满足：(b1+ b2.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，证明：.
31．（2021·上海·模拟预测）已知无穷数列满足，.
（1）若；
（i）求证：；
（ii）数列的前项和为且，求证：；
（2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由.
32．（2021·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列为等比数列，正项数列满足，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求.
33．（2021·全国·模拟预测）已知数列满足，若数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
34．（2021·广东·江门市培英高级中学模拟预测）已知数列满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为．
（2）设，求数列的前项和．
35．（2021·山东肥城·模拟预测）设各项均为正的数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和．
36．（2021·浙江·模拟预测）已知正项数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记的前项和为，求.
37．（2021·浙江·三模）已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.
38．（2021·浙江·二模）对任意非零数列，定义数列，其中的通项公式为．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若数列，满足的前项和为，且，．求证．第4讲 数列的单调性与最值问题
一．选择题（共19小题）
1．（2021 甲卷）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解答】解：若，，则，则是递减数列，不满足充分性；
，
则，
，
若是递增数列，
，
则，，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：．
2．（2021春 绍兴期末）已知等比数列和公差不为零的等差数列都是无穷数列，当时，则
A．若是递增数列，则数列递增
B．若是递增数列，则数列递增
C．若数列递增，则数列递增
D．若数列递增，则数列递增
【解答】解：若，公比，可得在时递增，但不递增，
比如，，即，故错误；
若，公差，则在时递增，但不递增，
比如，，即有，故错误；
若，即在时递增，但不递增，故错误；
若数列递增，即有恒成立，
则，即数列递增，故正确．
故选：．
3．（2021春 浙江期中）已知数列满足，，且，，则
A． B． C． D．
【解答】解：由，可得，
又，，，
可得，
则，，，，
相加可得，
则，
故选：．
4．（2021 浙江模拟）已知数列满足：，．
（1）数列是单调递减数列；
（2）对任意的，都有；
（3）数列是单调递减数列；
（4）对任意的，都有．
则上述结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题可知，故（1）不正确；
由题意得，则，故数列为单调递减数列，故（3）正确；
因为．所以当时，，则，故，故（2）正确；
因为，所以，故（4）正确．
综上，正确结论的个数为3，
故选：．
5．（2021 浙江）已知，，，成等比数列，且，若，则
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，
，设公比为，
当时，令，，即，故，不成立，
即：，，，，不成立，排除、．
当时，，，等式不成立，所以；
当时，，，不成立，
当时，，，并且，能够成立，
故选：．
6．（2021 浙江模拟）已知是等差数列，，为数列的前项和，且，则的最大值为
A．66 B．56 C．46 D．36
【解答】解：因为是等差数列，，且，
，
所以，
所以即，
因为，
，，
则的最大值为
故选：．
7．（2021 上城区校级开学）设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法不正确的是
A． B．是递增数列 C． D．
【解答】解：因为且，
设，则，当时，，故在上为单调递增函数，即在上为增函数，故，所以，故，即，
所以，，故选项正确，选项错误；
由在上为单调递增函数，，所以数列是递增数列，故选项正确；
因为，所以，因此，故，故选项正确．
故选：．
8．（2021 宁波二模）设，，无穷数列满足：，，，则下列说法中不正确的是
A．时，对任意实数，数列单调递减
B．时，存在实数，使得数列为常数列
C．时，存在实数，使得不是单调数列
D．时，对任意实数，都有
【解答】解：当时，，，
则对任意实数，数列单调递减，故正确．
当时，，，
存在实数，使得数列为常数列，故正确；
当时，，取，可得不是单调数列，故正确；
当时，，取，
则，，，，，，．
故错误．
故选：．
9．（2021 浙江模拟）设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：设，则为奇函数且单调递增，
因为，，
所以，且，
即，，
，
故选：．
10．（2014 辽宁）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则
A． B． C． D．
【解答】解：数列为递减数列，
，即，
．
故选：．
11．（2021 路南区校级模拟）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若数列是递增数列，则对任意均有
D．若对任意均有，则数列是递增数列
【解答】解：由等差数列的求和公式可得，
选项，若，由二次函数的性质可得数列有最大项，故正确；
选项，若数列有最大项，则对应抛物线开口向下，则有，故正确；
选项，若数列是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意，均有，故错误．
选项，若对任意，均有，对应抛物线开口向上，，可得数列是递增数列，故正确．
故选：．
12．（2021秋 怀仁市期末）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是
A．， B． C．， D．
【解答】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
由于数列满足，
所以对任意的都成立，
故数列单调递增，且满足，，
所以，
解得．
故选：．
13．（2021秋 鼓楼区校级期末）设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【解答】解：由，可得，，
，，且，
对任意正整数，都有，
故．
故选：．
14．（2021春 城厢区校级期中）设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
【解答】解：由，可得，，
，，且，，
对任意正整数，都有，
故．
故选：．
15．（2021春 宜宾期末）设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为
A．1010 B．1011 C．2021 D．2021
【解答】解：根据题意，等差数列中，若，，
则，
，
故满足的最小正整数的值为2021；
故选：．
16．（2021 上城区校级模拟）已知数列满足，，且，，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式成立的最小整数为
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：，
当为偶数时，可得，即，
，，，是以为首项，以为公比的等比数列；
当为奇数时，可得，即，
，，，是以为首项，以2为公差的等差数列，
，
数列是首项和公比都是2的等比数列，
，
则等价为，
即，即，
作出函数与，的图象如图：
则当时，，
当时，不成立，
当时，不成立，
当时，不成立，
当时，成立，
当时，恒成立，
故使不等式成立的最小整数为5，
故选：．
17．（2021 江岸区校级模拟）已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：函数，数列满足，
，
，
，
，
，
，
，可知数列为递增数列，且，
，
，使得恒成立
整数的最小值是2，
故选：．
18．（2021秋 龙岩期末）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：，
前项和为
，
可得为递增数列，且有取得最小值；
且，
当为偶数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得①
当为奇数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故选：．
19．（2021秋 浙江月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：（1）下面先证明．由，，则，，，化为：，
时，，
，，，，
，
又，
，可得，
时，，因此，得，
（2）下面证明．
，，化为：，
，
化为：，
，，，，，
，
，可得．
综上可得：．
．
故选：．
二．多选题（共1小题）
20．（2021秋 9月份月考）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项正确的是
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
【解答】解：由，
可得，
即有，
令，即，
则，，，
作出和的图像，
由图像可得，是单调递增数列，是单调递减数列，故正确；
因为，，所以，，
所以，，则，，故正确；
因为，所以
，故错误；
由不动点，，可得，
可得，所以，故正确．
故选：．
三．填空题（共10小题）
21．已知数列中，，，若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为 ．
【解答】解：，时，，相减可得：化为：，
时，，解得．
数列从第二项起为等比数列，公比为3，，可得．
综上可得：．
不等式成立，即．
时，．
时，．
令．
．则．
单调递增，（2）．
综上可得：实数的最小值为．
故答案为：．
22．（2012 岳阳楼区校级二模）已知等差数列的首项及公差均为正数，令．
（1）若等差数列的首项为20，公差为1，则 50 ；
（2）当是数列的最大项时， ．
【解答】解：（1）等差数列的首项为20，公差为1，
，则；
（2）【特值法】不妨令，则，
于是，
时取得最大值，故．
【直接法】由于，且；
当且仅当，，即，也即时取“”．
故．
故答案为：（1）50；（2）1006
23．（2021春 海淀区校级期中）设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 ．
【解答】解；等差数列满足，
．
，，由于，所以．
又当且仅当时，数列的前项和取得最大值，，故有，
即有，
故答案为：．
24．（2014秋 淮北期末）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：
①数列是递减数列；
②数列是递减数列；
③数列的最大项是；
④数列的最小的正数是．
其中正确的序号是 ①③④ ．
【解答】解：等差数列的前项和能取到最大值，
数列是递减数列，且，故①正确；
，，数列先增后减，故②错误；
由，，得，，
数列的最大项是，故③正确；
由，，得数列的最小的正数是，故④正确．
正确的序号是①③④．
故答案为：①③④．
25．（2021 台州模拟）在等差数列中，若，则数列前10项和的最大值为 25 ．
【解答】解：由题意：，
可设，
那么：公差
则前10项和，其中．
所以数列前10项和的最大值为25
故答案为：25
26．（2021春 河南月考）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 ，， ．
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，
又，
所以当或5时，取得最小值，最小值为，
所以取得最大值，最大值为10，
由任意的恒成立，
所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
27．（2021 江西三模）设等差数列满足：，公差，其前项和为．若数列也是等差数列，则的最小值为 3 ．
【解答】解：由题意可得：，即，公差，
解得．
．
．
．
数列是等差数列，
则，当且仅当时取等号，
的最小值为3．
故答案为：3．
28．（2021春 东湖区校级月考）设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围为 ．
【解答】解：，
又，，
．
故答案为：．
29．（2021 新建区校级模拟）已知数列的前项和满足：，则数列中最大项等于 ．
【解答】解：已知得时，，
则，
即：，
令，
又，
数列是首项，公差为1的等差数列，
则，
所以，，
又因为，
所以，
故数列中且最大．
故答案为：．
30．（2021秋 镇海区校级期中）已知数列中，，，，若数列单调递增，则实数的取值范围为 ， ．
【解答】解：由可知，数列的奇数项和偶数项分别递增，
若数列单调递增，则必有，
，，
数列奇数项的通项公式为：，
数列偶数项的通项公式为：，
当为奇数时，，解得，
当为偶数时，，解得，
综上，的取值范围为．
．
故答案为：；．
四．解答题（共6小题）
31．（2021秋 浙江期末）已知数列满足：，，设数列的前项和为．证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【解答】证明：（Ⅰ）①当时，，所以，命题成立；
②假设时命题成立，即．
则由，知．所以．
故对于都有．（4分）
（Ⅱ）先利用证明，即，
故，因此．（6分）
要证明，即证，
构造函数．（8分）
，
在，单调递减．
故，
．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知成立，
则累加可得，故．（12分）
构造函数
，
在单调递增．
故，得．
，进一步有，
则累加可得，故．
因此原命题成立．（15分）
32．（2021春 武侯区校级期末）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：当时，，，，
当时，由①，得②，
①②得，，
，，又，
是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）①由，得，
所以，，
两式相减得
，
所以
②由，得恒成立，即恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，有，得；
当时，有，得；
综上，实数的取值范围为，．
33．（2021 温岭市校级模拟）正项等差数列和等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求最大整数，使得．
【解答】解：设正项等差数列的公差为，等比数列的公比为．
，
时，，
又，可得．
时，，
相减可得：，
，3时，，，．
解得：，，．
，．
．
．
令，
化为：，
令，．
，．
在，上单调递增，
而（9），，
最大整数，使得．
34．（2021 宁波二模）设为等差数列的前项和，其中，且．
（Ⅰ）求常数的值，并写出的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【解答】解：，且，
时，，解得，
时，，解得，
数列为等差数列，
，解得，
公差，
．
，
，
由恒成立，，即，
由，得，
，
可得实数的取值范围是，．
35．（2021春 禅城区校级期中）设为等差数列的前项和，其中，且．
（1）求常数的值，并写出的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值．
【解答】解：（1）由，及，得，．
是等差数列，，即，
，公差，
；
（2）由（1）知，，有
，①
，②
①②得，
．
要使，即．
记，则．
，．
又，，
当 时，恒有．
故存在 时，对任意的，都有 成立．
36．（2021 浙江模拟）已知数列满足，，数列满足，．
（Ⅰ）数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，求使成立表示不超过的最大整数）的最大整数的值．
【解答】解：（Ⅰ）由得，数列是等比数列，公比为，
解得．（5分）
由，得，
解得．（10分）
（Ⅱ）由得，
记，，
为单调递减且，，，
所以，
因此，
故由得的最大值为44．（15分）第4讲 数列的单调性与最值问题
一．选择题（共19小题）
1．（2021 甲卷）等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2021春 绍兴期末）已知等比数列和公差不为零的等差数列都是无穷数列，当时，则
A．若是递增数列，则数列递增
B．若是递增数列，则数列递增
C．若数列递增，则数列递增
D．若数列递增，则数列递增
3．（2021春 浙江期中）已知数列满足，，且，，则
A． B． C． D．
4．（2021 浙江模拟）已知数列满足：，．
（1）数列是单调递减数列；
（2）对任意的，都有；
（3）数列是单调递减数列；
（4）对任意的，都有．
则上述结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021 浙江）已知，，，成等比数列，且，若，则
A．， B．， C．， D．，
6．（2021 浙江模拟）已知是等差数列，，为数列的前项和，且，则的最大值为
A．66 B．56 C．46 D．36
7．（2021 上城区校级开学）设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法不正确的是
A． B．是递增数列 C． D．
8．（2021 宁波二模）设，，无穷数列满足：，，，则下列说法中不正确的是
A．时，对任意实数，数列单调递减
B．时，存在实数，使得数列为常数列
C．时，存在实数，使得不是单调数列
D．时，对任意实数，都有
9．（2021 浙江模拟）设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
10．（2014 辽宁）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则
A． B． C． D．
11．（2021 路南区校级模拟）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是
A．若，则数列有最大项
B．若数列有最大项，则
C．若数列是递增数列，则对任意均有
D．若对任意均有，则数列是递增数列
12．（2021秋 怀仁市期末）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是
A．， B． C．， D．
13．（2021秋 鼓楼区校级期末）设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
14．（2021春 城厢区校级期中）设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
15．（2021春 宜宾期末）设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为
A．1010 B．1011 C．2021 D．2021
16．（2021 上城区校级模拟）已知数列满足，，且，，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式成立的最小整数为
A．7 B．6 C．5 D．4
17．（2021 江岸区校级模拟）已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
18．（2021秋 龙岩期末）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
19．（2021秋 浙江月考）已知数列满足，，则下列选项正确的是
A． B．
C． D．
二．多选题（共1小题）
20．（2021秋 9月份月考）已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项正确的是
A．是单调递增数列，是单调递减数列
B．
C．
D．
三．填空题（共10小题）
21．已知数列中，，，若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为 ．
22．（2012 岳阳楼区校级二模）已知等差数列的首项及公差均为正数，令．
（1）若等差数列的首项为20，公差为1，则 ；
（2）当是数列的最大项时， ．
23．（2021春 海淀区校级期中）设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是 ．
24．（2014秋 淮北期末）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：
①数列是递减数列；
②数列是递减数列；
③数列的最大项是；
④数列的最小的正数是．
其中正确的序号是 ．
25．（2021 台州模拟）在等差数列中，若，则数列前10项和的最大值为 ．
26．（2021春 河南月考）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 ．
27．（2021 江西三模）设等差数列满足：，公差，其前项和为．若数列也是等差数列，则的最小值为 ．
28．（2021春 东湖区校级月考）设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围为 ．
29．（2021 新建区校级模拟）已知数列的前项和满足：，则数列中最大项等于 ．
30．（2021秋 镇海区校级期中）已知数列中，，，，若数列单调递增，则实数的取值范围为 ， ．
四．解答题（共6小题）
31．（2021秋 浙江期末）已知数列满足：，，设数列的前项和为．证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
32．（2021春 武侯区校级期末）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
33．（2021 温岭市校级模拟）正项等差数列和等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列，求最大整数，使得．
34．（2021 宁波二模）设为等差数列的前项和，其中，且．
（Ⅰ）求常数的值，并写出的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
35．（2021春 禅城区校级期中）设为等差数列的前项和，其中，且．
（1）求常数的值，并写出的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值．
36．（2021 浙江模拟）已知数列满足，，数列满足，．
（Ⅰ）数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，求使成立表示不超过的最大整数）的最大整数的值．第5讲 证明数列不等式
一．解答题（共47小题）
1．（2021 浙江月考）设等差数列的前为，已知，．
（1）求数列的通项公式
（2）记数列的前项和为，求证：
【解答】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
则由，得，
故，
故．
（2）证明：
而．
，
故
2．（2021春 江油市校级期中）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，求数列 的前项和
（3）由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上
所以得，
当时，，
当时，，
又因为为等比数列，公比为，所以，解得，首项，
（2）当时，，
则
两式相减，得
（3）若使得对于任意的，都成立
，
即对于任意的，都成立
又，
的最大值在时取得，最大值为2，
，，所以存在这样的符合题意．
3．（2021春 兰山区校级月考）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．
【解答】解：（1）由题意，，当时，，
且，所以时，是以为公比的等比数列，
又，，，即，解得，
的值；
（2）证明：当时，由（1）知，因此，
不等式为
①当时，左式，右式，左式右式，所以结论成立
②假设时结论成立，即，
则当时，
要证当时结论成立，只需证成立，
只需证：成立，显然成立，
当时，成立，
综合①②可知不等式成立．
4．数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上．
（1）求证：是等比数列；
（2）当时，记，证明：数列的前项和．
【解答】（1）证明：数列的前项和为，
对任意的，点均在函数的图象上，
，
，
当时，．
时，上式成立，
，．
是等比数列．
（2）时，，，
，①
，②
①②，得：
，
，
．
5．（2021 临沂期中）等比数列的前项和为，已知对任意，点均在函数为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小．
【解答】解：（1）因为对任意的，点，均在函数为常数）的图象上．
所以得，
当时，，
当时，，
又因为为等比数列，所以
故；
（2）由（1）可知，，，
又由，则，
则数列的前项和为①
②
①②得到：
即
所以
当时，，；
当时，，；
当时，，．
综上，当，2时，；当时，．
6．已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立，
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：；，．
【解答】解：（1）设二次函数，，
，则，
在上，．
当时
又时符合，
，
则，
由得，
①，
令代入上式得，
②，
①②得，，即，
又不满足上式，
，
（3）由（2）得，，
③，
④，
③④得，
，
则，
（3）设，则，
在上是增函数，
，即，
故；
，
当，时，令代入上式得：
，即，
令代入上式得，，
则
，
故结论成立．
7．，等比数列的前项和为，点，均在函数上．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，，
当时，，
，
，
，即，
数列的通项公式；
（2）结论：存在，使得对任意恒成立．
理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
，
当或10时取最大值，
存在，使得对任意恒成立，
且的最小值为45．
8．已知，求证：．
【解答】证明：，
，
．
．
9．（2021 嘉兴模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
【解答】解：（Ⅰ），，成等差数列，可得，
当时，，两式相减可得，
即，可得为公比为2的等比数列，则，
由，可得，
解得，则，；
（Ⅱ）证明：，当时，，
则，
当时，，则等号取得，
则，．
10．（2021春 秀山县校级月考）设函数，．
（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；
（2）设，证明：为自然对数的底数）．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
且，
则，
由于在内单调递减，则对恒成立，
即对恒成立，（2分）
从而，则，
故的取值范围为（4分）
（2）证明：取，由第（1）问可知在为单调递减函数，
从而；
则对，均成立，（6分）
令，
有；（9分）
从而
，
故（12分）
11．（2021春 阳江校级月考）设数列满足，，，2，3，，
（1）求，，；
（2）猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）设，数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）由，得，
，．
（2）由此猜想的一个通项公式：．
下面用数学归纳法证明如下：
①当时，，等式成立．
②假设当时等式成立，即，那么，
也就是说，当时，也成立．
根据①②对于所有，有．
证明：（3），
12．（2012秋 济源校级期中）设数列满足，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【解答】（1）解：因为，所以，
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列．
所以．
所以（4分）
（2）证明：因为，所以（6分）
所以．（8分）
所以
．（12分）
13．（2007 崇文区一模）已知数列中，，，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明．
【解答】解：当时，，
当时，，
数列是首项为3，公差为1的等差数列，
通项公式为；（5分）
，
．（13分）
14．（2021春 绍兴期中）已知正项数列满足：，，为数列的前项和．
求证：对任意正整数，有；
设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，．
【解答】证明：正项数列满足：，，
，，解得．
猜想．
下面利用数学归纳法证明：
当时，成立．
假设时，成立．
则时，，
解得
．
因此时也成立．
综上可得：，成立．
，
故对任意正整数，有．
由（Ⅰ）知，
，，
在区间上单调递增，
．
，
当时，，，
，
令，，
设为不小于的最小整数，取（即，
当时，．
对任意，总存在正整数，使得时，．
15．（2021 邯郸一模）已知正项数列的前项和满足：，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足：且，试比较与的大小，并证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）数列的前项和满足：，①
当时，
，或，
，
．
当，时，
，②
由①②得：，
，
正项数列，
，
数列是首项为1，公差3的等差数列．
，
的通项公式为：．
（Ⅱ）结论为：．以下证明．
证明：由（Ⅰ）知：．
，且，
，
，
，
，
，
又，
上述个式子叠乘，得：
．
要比较与的大小，
只要比较与的大小，
，，
只要比较与1 的大小．
记，
（1），
，
，
则有：．
16．（2021 安徽三模）已知正项数列的前项和为，且
①求，，；
②求数列的通项公式；
③若数列满足，，求证：．
【解答】解：①由，
，（负值舍去），
同理：，；
②猜想：（下面用数学归纳法证明，
当时，命题成立；
假设当时命题成立，即，
，
，，
，
，
，
，
，当时命题成立．
．
③，
，
，
，
，
，
，
．
17．（2021春 历下区校级期中）（1）已知，，比较和的大小并给出解答过程；
（2）证明：对任意的，不等式成立．
【解答】解：（1）．
由条件，
，，，
，
；
（2）证明：由（1）所得结论得若，，
则，
可得
，
两边开方，命题得证，
由①、②可得对任意的，不等式成立．
18．（2021 盐城三模）（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
因为，，所以，则，
所以，即．
所以，当且仅当，即时等号成立． （2分）
推广：已知，，，则．
（4分）
证明：①当时命题显然成立；
当时，由上述过程可知命题成立；
②假设时命题成立，
即已知，，时，
有成立，
则时，，
由，可知，
故，
故时命题也成立．
综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切恒成立． （6分）
（注：推广命题中未包含的不扣分）
（2）证明：由（1）中所得的推广命题知
①，（8分）
记，
则，
两式相加，得，
，
故②，
又③，
将②③代入①，得，
所以，，证毕． （10分）
19．（2021春 枣庄校级月考）（1）已知，，都是正数，且，用分析法证明；
（2）已知数列的通项公式为，．利用（1）的结论证明如下等式：．
【解答】证明：（1）要证，由于，，都是正数，
只需证，即，
只需证
因为，所以只需证，
又已知，所以原不等式成立
（2）证明：．
当时，左式右式．
当，时，由（1）知：
于是
综上可得
20．（2021 杭州期中）已知数列的前项和满足，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由；（1分）
当时，（2分）
，，（3分）
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
．（4分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得（5分）
欲证，
只需证（7分）
令，记的前项和为，即证（8分）
当时，（10分）
当时，（12分）
综上，对成立．
21．（2021 沙坪坝区校级一模）已知数列的前项之积满足条件：①为首项为2的等差数列；②．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为．求证：对任意正整数，有．
【解答】解：（1）设数列公差为，
因为数列首项为2，所以，
由方程可得，解得，
所以，即，
因为数列的前项之积，
所以当时，，
当时，符合，所以，
证明：（2）由（1）得，
，
所以数列前项和，
同由上面可知：，，
所以
，
综上可得，．
22．已知数列中，为的前项和，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）当时，，
，可得，
两式相减可得，，
即有，
即为数列为第二项起为等比数列，
则，，，
即有；
（2），可得，
则，
即有前项和为，
，
两式相减可得，
，
化简可得，
由于各项大于0，可得，
由不等式的性质可得．
故．
23．（2021 宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）证明不等式且
【解答】解：（1）设数列公差为，因为，，成等比数列．
所以，即得又，所以．
故．（6分）
（2）证明：由（1）得 ，因为 当时，．
即．
所以．
即．（12分）
24．已知函数，，为常数）
（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；
（2）当时，证明不等式在，上恒成立；
（3）证明：，（参考数据：
【解答】解：（1），，
方程可化为
．
即．
令．
则．
由得，
，或（舍去）．
当时，．单调递增．
当时，．单调递减．
，（1），．
，时，．
方程在区间，上有解等价于
．
（2）时，不等式可化为
，
即．
令．
则．
当，时，单调递增．
（4）．
当，时，恒成立．
可化为
，
即．
令．
．
当，时，单调递减．
（4）．
当，时，恒成立．
当时，证明不等式在，上恒成立．
（3），
，
由（2）可知，，
，
即，
，
，
，
．
25．（2021 衡水校级模拟）已知函数．
（1）求函数在点，处的切线方程；
（2）记为的从小到大的第个极值点，证明：不等式．
【解答】（1）解：，则切线的斜率为，
又，故函数在点处的切线方程为，即．
（2）证明：由，，得，
所以当且时，．
所以当时，时，．
又当时，．
综上，．
26．（2012 洛阳模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，对于任意的，且，证明：不等式．
【解答】解：函数的定义域为，求导函数可得
当时，，令可得，令，，，
函数在上是增函数，在上是减函数；
当时，令得，解得或（舍去），此时函数在，上增函数，在上是减函数；
当时，令得，解得
此时函数在上是增函数，在和，上是减函数（6分）
证明：由知：时，在上是增函数，
时，（1）
设，则
恒成立，时，，在上单调递减
时，（1），即
，
不等式得证（12分）
27．证明不等式：．
【解答】证明：，
由
，
当取得等号，
即有，
则
．
故原不等式成立．
28．（2021春 辛集市校级月考）已知．
求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明不等式：
【解答】（Ⅰ）解：，，，
由，得，
当时，；，，．
函数的单调增区间为：，，单调减区间为：．
（Ⅱ）函数，
，令，得．
时，，时，
在递减，在递增，
，
关于的方程有解，则实数的最小值为0．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得在上恒成立，
令，则有
，，，，
．
29．（2021 大庆一模）已知函数
（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；
（2）在（1）中，取最小值时，设函数．若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：且．
【解答】解：（1）由题意知，恒成立．变形得：．
设，则．
由可知，在上单调递增，在上单调递减，
在处取得最大值，且（1）．
所以，
实数的取值范围是，．
（2）由（1）可知，，当时，，
，
在区间上恰有两个零点，
即关于的方程在区间上恰有两个实数根．
整理方程得，，
令，
．
令，，
则，，
于是，在上单调递增．
因为（1），当时，，从而，单调递减，
当，时，，从而，单调递增，
，（1），，
因为，
所以实数的取值范围是．
证明（3）由（1）可知，当时，有，
当且仅当时取等号．
令，则有，其中，．
整理得：，
当，3，，时，，，，，
上面个式子累加得：．且，
即．命题得证．
30．（2021春 荔湾区校级月考）已知数列的前项和为，，当时，．数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）解：，当时，①，，即，
又②，由②①可得：，
又也适合，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
；
（2）解：数列满足③，
当时，有，
当时，有④，
对式子④左右两边同时乘以可得：⑤，
由③⑤可得：，
，
又当时也适合，
；
（3）证明：由（1）（2）可得：，，
当时，，显然成立；
假设当时，有成立，即成立，
那么当时，，
这说明当时也成立，
综上所述，．
31．（2021春 淮安期末）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有．
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．
【解答】解：（1）数列的前项和满足：，
当时，，解得，
当时，，
化简可得，
由等比数列的通项公式，可得，
数列满足：对任意有．
即有，
两式相减，可得
，
由，可得，
即有，
当时，，可得，
故有，；
（2），
则，
，
两式相减，可得，
解得，
当时，，即为，即证．
运用数学归纳法证明．
当时，，，则，成立．
当时，，，则，成立．
假设时，．
当时，．
由，
即有，
则当时，．
综上可得，
当时，．
即有．
32．（2009秋 沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有．
【解答】（1）解：
是以1为首项1为公差的等差数列
；
（2）证明：
，，，
设，其中，且
则
又
从而
所以
；
（3）证明：
当时，
累加得：
由（2）结论有
33．（2021 黄冈模拟）已知数列满足，首项为；
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：；
（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，
求证：当时，恒有．
【解答】解：（1）由已知可得：，
即，
由累加法可求得：，
即，
又也成立，
（4分）；
（2），
先证
由，
此式显然成立，
（6分）
又，
即．
（3）由题意知：，
为递增数列
只需证：即可
若，则显然成立；
若，则，即，
因此，
故时，恒有（14分）
34．（2021 桃城区校级模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，，．
（1）求，与；
（2）若，求证：．
【解答】（1）解：由题意得，，即，得，
由，得．
，，
由，得，，
；
（2）证明：，
由恒成立，，
．
35．（2021 柯桥区期末）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）设首项为，公差为，则，
解得，，故，
由，得，，所以，即，
所以，故．
（Ⅱ）证明：由（1）知，用数学归纳法证明：，
①当时，左边，右边，不等式成立，
②假设时成立，即，
即当时，
．
即当时，不等式也成立．
由①，②可知，不等式对任意都成立．
36．（2021 芜湖二模）已知数列的前项和为，且满足．各项为正数的数列中，
对于一切，有，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
【解答】（1）解：，
当时，，解得．（1分）
当时，，
得，即．（3分）
数列是首项为，公比为的等比数列．
．（4分）
对于一切，有，①
当时，有，②
①②得：
化简得：，③
用替换③式中的，得：，④（6分）
③④整理得：，
当时，数列为等差数列．
，
数列为等差数列．（8分）
，
数列的公差．
．（10分）
（2）证明：数列的前项和为，
，⑤
，⑥
⑤⑥得：（12分）．
．（14分）
37．（2021 温州期末）已知数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．
【解答】解：（Ⅰ）数列的前项和为，满足，①，
当时，②，
①②得：③，
当时，④，
所以（常数），
所以数列和数列都为等差数列；
所以．
证明：（Ⅱ）由于数列满足2，，4，1，6，3，8，5，，
当为偶数时，
所以，
由于，
则，
同理，
故．
当为奇数时，则为偶数，．
38．（2021 温州三模）已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为前项和，证明：．
【解答】解：（1）证明：正项数列满足，，
对任意的正整数，是和的等差中项，
可得，
化为，
所以是首项为，公差为2的等差数列，
则，
则，
由于，可得；
（2）证明：由，
所以，
，
所以，
又，
．
．
即有．
39．（2021 中原区校级月考）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（1）设为常数），则，
得，又，所以，即
所以，由，，得
又因为，所以数列是以1为首项，8为公比的等比数列，所以，
所以．
所以数列的通项公式为．
（2）由式，得，所以
将的底数与指数互换得到，所以．
当时，；
当时，；
当时，．
综上，成立．
40．（2021 浙江开学）已知数列的前项积为，，且对一切均有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）证明：对一切均有，即有，
又，
所以，即，
所以时，，得，
所以为等差数列，首项，公差，
所以，即，
所以一切，；
（Ⅱ）由，所以，
，
先证明，对一切，．
令，则当时，，
即在，上单调递减，
故，所以，
，
．
41．（2021 台州模拟）已知数列，的前项和分别为，，且．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
【解答】解：（Ⅰ），令得；当时，由可得：，两式相减得：
，即，由此可知数列是首项为1，公比为的等比数列，故，
又，；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，故；
又，
．
则．
42．（2021春 浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明：．
【解答】解：（1）由题意，得，
即，解得或，
已知，故．
，则；
当时，，
当时，，
适合上式，
则，
又，；
证明：（2）．
先用数学归纳法证明当时，．
①当时，，左式右式，不等式成立．
②假设时，不等式成立，即，
那么，当时，，因为在上单调递增，
由，得，即，可得，不等式也成立．
综①②可知，当时，．
，
故．
43．（2021 浙江模拟）已知数列的前项之积为，即，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有．
【解答】解：（Ⅰ），
时，，
又时，，符合上式，
，
；
（Ⅱ）证明：，，
，
，
得证．
44．已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得△都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为．
（1）求（1），（2），并猜想（不要求证明）；
（2）令，记为数列中落在区间，内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，数列满足：，，求证：．
【解答】（1）解：（1），（2），
猜想．
（2）解：，
由，可得，
，，，，
，
，
由对任意恒成立，可得，解得，
存在实数，使得对任意恒成立．
（3）证明：，记，，
则，所以，所以，所以，
，记，，则，可得，
，，
当时，，
．
45．（2021 山东模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
【解答】解：选择①②：
（1）解：由当时，有，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，
即，解得：或（舍，，故，．
（2）证明：由（1）可得，．
选择：②③：
（1）解：由当时，，两式相减得：，即，．又当时，有，又，，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，，且，，成等比数列，，
即，解得：或（舍，，故，．
（2）证明：由（1）可得，．
46．（2021 闵行区期末）已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由．
（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解（1）法1：设数列的公差为，数列的公比为．
，
令，2，3分别得，，，
又，
，即，
解得：或．
经检验，符合题意，不合题意，舍去．
．
法①
则②
①②得，，
又，也符合上式，
，
由于为等差数列，令，则，
为等比数列，则（为常数），
即恒成立，
，，
又，，
故；
（2）假设存在，满足条件，则，
化简得，
由得，为奇数，
为奇数，故．
得，即，
故，这与矛盾，
不存在满足题设的正整数，；
（3）由，得，
设，则不等式等价于，
，
，数列单调递增．
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
①当为奇数时，得；
②当为偶数时，得，即．
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．
47．（2021春 资阳期末）已知数列中，，且对任意，，有．
（1）求的通项公式；
（2）已知，，且满足，求，；
（3）若（其中对任意恒成立，求的最大值．
【解答】（1）由已知，令，则，即，
则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
；
（2）由（1），得，
则．
由，知，，
则或或，
解得，；或，；或，；
（3）不等式对任意恒成立，
即为恒成立，
即不等式恒成立．
令，
则
，于是，
单调递增，则中，为最小，故．
的最大值为．第5讲 证明数列不等式
一．解答题（共47小题）
1．（2021 浙江月考）设等差数列的前为，已知，．
（1）求数列的通项公式
（2）记数列的前项和为，求证：
2．（2021春 江油市校级期中）等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，求数列 的前项和
（3）由（2），是否存在最小的整数，使得对于任意的，均有，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
3．（2021春 兰山区校级月考）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，，均为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）当时，记，证明：对任意的，不等式成立．
4．数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上．
（1）求证：是等比数列；
（2）当时，记，证明：数列的前项和．
5．（2021 临沂期中）等比数列的前项和为，已知对任意，点均在函数为常数）的图象上．
（1）求的值；
（2）记，数列的前项和为，试比较与的大小．
6．已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立，
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求证：；，．
7．，等比数列的前项和为，点，均在函数上．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，是否存在，使得对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
8．已知，求证：．
9．（2021 嘉兴模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
10．（2021春 秀山县校级月考）设函数，．
（1）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；
（2）设，证明：为自然对数的底数）．
11．（2021春 阳江校级月考）设数列满足，，，2，3，，
（1）求，，；
（2）猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）设，数列的前项和为，求证：．
12．（2012秋 济源校级期中）设数列满足，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
13．（2007 崇文区一模）已知数列中，，，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，证明．
14．（2021春 绍兴期中）已知正项数列满足：，，为数列的前项和．
求证：对任意正整数，有；
设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时，．
15．（2021 邯郸一模）已知正项数列的前项和满足：，且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足：且，试比较与的大小，并证明你的结论．
16．（2021 安徽三模）已知正项数列的前项和为，且
①求，，；
②求数列的通项公式；
③若数列满足，，求证：．
17．（2021春 历下区校级期中）（1）已知，，比较和的大小并给出解答过程；
（2）证明：对任意的，不等式成立．
18．（2021 盐城三模）（1）已知，比较与的大小，试将其推广至一般性结论并证明；
（2）求证：．
19．（2021春 枣庄校级月考）（1）已知，，都是正数，且，用分析法证明；
（2）已知数列的通项公式为，．利用（1）的结论证明如下等式：．
20．（2021 杭州期中）已知数列的前项和满足，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，证明：．
21．（2021 沙坪坝区校级一模）已知数列的前项之积满足条件：①为首项为2的等差数列；②．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为．求证：对任意正整数，有．
22．已知数列中，为的前项和，，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
23．（2021 宾阳县校级期中）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）证明不等式且
24．已知函数，，为常数）
（1）若方程在区间，上有解，求实数的取值范围；
（2）当时，证明不等式在，上恒成立；
（3）证明：，（参考数据：
25．（2021 衡水校级模拟）已知函数．
（1）求函数在点，处的切线方程；
（2）记为的从小到大的第个极值点，证明：不等式．
26．（2012 洛阳模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，对于任意的，且，证明：不等式．
27．证明不等式：．
28．（2021春 辛集市校级月考）已知．
求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明不等式：
29．（2021 大庆一模）已知函数
（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；
（2）在（1）中，取最小值时，设函数．若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）证明不等式：且．
30．（2021春 荔湾区校级月考）已知数列的前项和为，，当时，．数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和为，求证：．
31．（2021春 淮安期末）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有．
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，．
32．（2009秋 沙坪坝区校级月考）表示不超过的最大整数，正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列的前项和为，求证：当时，有．
33．（2021 黄冈模拟）已知数列满足，首项为；
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：；
（3）设数列满足，其中为一个给定的正整数，
求证：当时，恒有．
34．（2021 桃城区校级模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，，．
（1）求，与；
（2）若，求证：．
35．（2021 柯桥区期末）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：．
36．（2021 芜湖二模）已知数列的前项和为，且满足．各项为正数的数列中，
对于一切，有，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
37．（2021 温州期末）已知数列的前项和为，满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：对任意，都有．
38．（2021 温州三模）已知正项数列满足，，且对任意的正整数，是和的等差中项．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为前项和，证明：．
39．（2021 中原区校级月考）已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为，求证：．
40．（2021 浙江开学）已知数列的前项积为，，且对一切均有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：．
41．（2021 台州模拟）已知数列，的前项和分别为，，且．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
42．（2021春 浙江月考）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明：．
43．（2021 浙江模拟）已知数列的前项之积为，即，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，，求证：对一切，均有．
44．已知平面直角坐标系，在轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得△都为等边三角形，其中为坐标原点，设第个三角形的边长为．
（1）求（1），（2），并猜想（不要求证明）；
（2）令，记为数列中落在区间，内的项的个数，设数列的前项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）已知数列满足：，数列满足：，，求证：．
45．（2021 山东模拟）在①，②这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求和的通项公式；
（2）证明：．
46．（2021 闵行区期末）已知数列为等差数列，，其前项和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立．
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在，，使得成立，若存在，求出所有满足条件的，；若不存在，说明理由．
（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
47．（2021春 资阳期末）已知数列中，，且对任意，，有．
（1）求的通项公式；
（2）已知，，且满足，求，；
（3）若（其中对任意恒成立，求的最大值．
