7.3.1复数的三角表示式
导学案
【学习目标】
1.知道复数的模和辐角的定义
2.会求复数的模和辐角主值
3.能求出复数的三角形式
【自主学习】
知识点1 复数的三角形式
1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
3．辐角主值
(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．
(3)唯一性：复数z的辐角主值是 的、 的．
知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化
复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为
【合作探究】
探究一 代数形式与三角形式的转换
【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)； (2)z2＝cosθ－isinθ.
归纳总结：
【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z3＝－sinθ＋icosθ； (2)z4＝－sinθ－icosθ； (3)z5＝cos60°＋isin30°.
探究二 将复数的三角形式化为代数形式
【例2】将复数化为代数形式为________．
归纳总结：
【练习2】复数的代数形式是 .
探究三 复数的模与辐角主值
【例3】求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
归纳总结：
【练习3】将z＝(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．
探究四 复数辐角的应用
【例4】复数z满足arg(z＋3)＝π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．
归纳总结：
【练习4】已知|z－2i|≤1，求arg(z－4i)最大值．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
2．设π<θ<，则复数的辐角主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
3．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于( )
A．135° B．315°
C．675° D．585°
4．复数z满足，复数z的辐角为30°，复数z的模为( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
5．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
6．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )
A． B．或
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
7．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( )
A．z＝2(cos＋isin)
B．z＝2(cos－isin)
C．z＝2(cosπ＋isin)
D．z＝2(cosπ＋isin)
二、填空题
8．复数的代数形式是 .
9．已知复数z满足z－2iz＝3－2ai(a∈R)，且
10．已知z＝cos＋isin，则arg z2＝________.
三、解答题
11．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)； (2)sin＋icos.
12．已知复数z满足等式＝，且argz＝，求z.
B组 能力提升
一、选择题
1．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
2．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
二、填空题
3．已知复数z的模为2，实部为，则复数z的代数形式和三角形式为 ．
三、解答题
4．把下列复数转化为三角形式．
(1)－1；(2)2i.
5．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
6．已知复数z1＝cosθ－isinθ，z2＝sinθ－icosθ，当θ∈[0,2π)，求arg(z1－z2)的值．7.3.1复数的三角表示式
导学案
【学习目标】
1.知道复数的模和辐角的定义
2.会求复数的模和辐角主值
3.能求出复数的三角形式
【自主学习】
知识点1 复数的三角形式
1．定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
3．辐角主值
(1)表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
(2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．
(3)唯一性：复数z的辐角主值是确定的、唯一的．
知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化
复数z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)的两种表示式之间的关系为
【合作探究】
探究一 代数形式与三角形式的转换
【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)； (2)z2＝cosθ－isinθ.
[解] (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)，复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．
∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．
归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z3＝－sinθ＋icosθ； (2)z4＝－sinθ－icosθ； (3)z5＝cos60°＋isin30°.
解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．
∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．
(2)不是三角形式，同理(1)可得z4＝－sinθ－icosθ＝cos(π－θ)＋isin(π－θ)．
(3)由“角相同”知，不是三角形式，z5＝cos60°＋isin30°＝＋i＝(1＋i)＝×(cos＋isin)＝(cos＋isin)．
探究二 将复数的三角形式化为代数形式
【例2】将复数化为代数形式为________．
【答案】 －＋i
[解析] ＝3
＝－＋i.
归纳总结：将复数的三角形式rcosθ＋isinθ化为代数形式a＋bia，b∈R时，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.
【练习2】复数的代数形式是 .
【答案】－3－3i
解析：＝6＝－3－3i.
探究三 复数的模与辐角主值
【例3】求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
[解] z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2－1)＋2i·sincos＝2cos(cos＋isin)，①
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴①式右端＝－2cos(－cos－isin)
＝－2cos[cos(π＋)＋isin(π＋)]，
∴r＝－2cos，z的辐角为π＋＋2kπ(k∈Z)．
∵<<π，∴π<π＋<2π，
∴argz＝π＋.
归纳总结：复数的三角形式z＝rcosθ＋isinθ中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π.
【练习3】将z＝(π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．
解：z＝＝＝
＝＝cos2θ＋isin2θ.
∵π<θ<3π，
∴π<2θ<6π，
∴π<2θ－4π<2π，
∴argz＝2θ－4π.
探究四 复数辐角的应用
【例4】复数z满足arg(z＋3)＝π，求|z＋6|＋|z－3i|最小值．
[解] 由arg(z＋3)＝π，知z＋3的轨迹是射线OA，则z轨迹应是平行于OA，且过点(－3,0)的射线BM(如图)，
∴|z＋6|＋|z－3i|就表示射线BM上点到点P(－6,0)和点Q(0,3)距离之和，连接PQ与射线BM交于点N，当复数z在复平面内的点为N点时，|z＋6|＋|z－3i|所取的值最小，
即|z＋6|＋|z－3i|＝|PN|＋|NQ|＝|PQ|＝3，
∴所求最小值＝3.
归纳总结：解此类题的本质是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模距离和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便
【练习4】已知|z－2i|≤1，求arg(z－4i)最大值．
解：∵|z－2i|≤1，∴点Z轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆面．如图，在其上任取一点Z，连接Z与点(0,4)得一以(0,4)为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(z－4i)最大值为π.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
【答案】B
解析：∵z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，
∴∴a＝－1，故选B.
2．设π<θ<，则复数的辐角主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
【答案】B
解析：＝cos3θ＋isin3θ.∵π<θ<，
∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，故选B.
3．设复数2－i和3－i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于( )
A．135° B．315°
C．675° D．585°
【答案】C
4．复数z满足，复数z的辐角为30°，复数z的模为( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
【答案】A
解析：设z＝r(cos30°＋isin30°)，代入r·(cos30°＋isin30°)－＝1，得r＝1.
5．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
【答案】D
[sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°.]
6．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )
A． B．或
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
【答案】D [因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，
所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，
所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．]
7．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( )
A．z＝2(cos＋isin)
B．z＝2(cos－isin)
C．z＝2(cosπ＋isin)
D．z＝2(cosπ＋isin)
【答案】AD
解析：z＝3＋i＝2(＋i)
＝2(cos＋isin)
＝2(cos＋isin)，故选AD.
二、填空题
8．复数的代数形式是 .
【答案】－i
解析：＝cos－isin＝－i.
9．已知复数z满足z－2iz＝3－2ai(a∈R)，且【答案】－10．已知z＝cos＋isin，则arg z2＝________.
【答案】π [因为arg z＝，所以arg z2＝2arg z＝2×＝.]
三、解答题
11．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)； (2)sin＋icos.
解：(1)不是．
－2＝2
＝2＝2.
(2)不是．
sin＋icos＝cos＋isin
＝cos＋isin.
12．已知复数z满足等式＝，且argz＝，求z.
解：设z＝r(cos＋isin)
＝r＋ri(r>0)，
∴＝＝＝，
即3r2－4r＋4＝0.
解得r＝，∴z＝1＋i.
B组 能力提升
一、选择题
1．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
【答案】B [因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，
所以所以a＝－1，故选B．]
2．设π＜θ＜，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
【答案】B [＝＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜，
所以π＜3θ－2π＜，故选B．]
二、填空题
3．已知复数z的模为2，实部为，则复数z的代数形式和三角形式为 ．
【答案】z＝＋i或z＝－i.
解：方法一：由题，可设z＝＋bi(b∈R)．
∵|z|＝2，
∴＝2，解得b＝±1，
∴z＝＋i或z＝－i.
化为三角形式，得z＝2
或z＝2.
方法二：由题，可设z＝2(cosθ＋isinθ)(0≤θ≤2π)．
∵复数z的实部为，
∴2cosθ＝，即cosθ＝，
∴θ＝或，
∴z＝2或z＝2.
化为代数形式，得z＝＋i或z＝－i.
三、解答题
4．把下列复数转化为三角形式．
(1)－1；(2)2i.
解：(1)r＝＝1，
辐角主值为θ＝arg(－1)＝π，
所以－1＝cosπ＋isinπ.
(2)r＝＝2，辐角主值为θ＝arg(2i)＝，
所以2i＝2(cos＋isin)．
5．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
[解] 由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β.
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以所以tan＝，
故tan(α＋β)＝＝.
6．已知复数z1＝cosθ－isinθ，z2＝sinθ－icosθ，当θ∈[0,2π)，求arg(z1－z2)的值．
解：z1－z2＝(cosθ－sinθ)＋(cosθ－sinθ)i
＝2cos(θ＋)＋2icos(θ＋)
＝2cos(θ＋)(cos＋isin)．
(1)cos(θ＋)>0，
即θ∈[0，)∪(，2π)，arg(z1－z2)＝.
(2)cos(θ＋)＝0，
即θ＝，，arg(z1－z2)∈[0,2π)．
(3)cos(θ＋)<0，即θ∈(，)，arg(z1－z2)＝.