7.1.1数系得扩充和复数得概念
导学案
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
【自主学习】
知识点1 复数的引入
在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.
知识点2 复数的概念、分类
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.
(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.
2.复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
知识点3 复数相等
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.
【合作探究】
探究一 复数的概念
【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
归纳总结：
【练习1】下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 A
解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
探究二 复数的分类
【例2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值.
解 (1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是解得1＜m＜5，且m≠4.
(2)因为z是纯虚数，故其实部(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，
m应满足的条件是解得m＝2.
归纳总结：
【练习2】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
探究三 两个复数相等
【例3】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
归纳总结：
【练习3】已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.
解 ∵z＞0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3.
∵z＞0，∴－x＞0，且x2－4x＋3＝0.
对于不等式－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A.－i B.i C.－1 D.1
【答案】 A
解析 ∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
【答案】 B
解析 若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
3.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.
【答案】 C
解析 因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i,1}，又B＝{1，－1}，故A∩B＝{1，－1}.
4.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C.±，5 D.±，1
【答案】 C
解析 令得a＝±，b＝5.
5.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
【答案】 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
6.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B.2
C.0 D.1
【答案】 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
7.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.－1 D.－1或1
【答案】 B
解析 由题意知∴m＝0.
二、填空题
8.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是 .
【答案】 1
解析 因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得所以x＝y＝1，所以xy＝1.
9.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为 .
【答案】 3
解析 依题意知解得即m＝3.
10.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为 .
【答案】 1或2
解析 ∵M∪N＝N，∴M N，
∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件，得
或
解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2.
11.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝ .
【答案】 1
解析 关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.
所以所以m＝n＝1.
三、解答题
12.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解 (1)由得m＝2.
∴当m＝2时，z是实数.
(2)由得即m≠2且m≠－3.
∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
(3)由得即m＝3或m＝4.
∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
B组 能力提升
一、选择题
1.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A.2kπ－(k∈Z) B.2kπ＋(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
【答案】 B
解析 由题意，得解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
【答案】B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以
解得
所以z＝3－i.]
3．(多选题)下列命题正确的是( )
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
【答案】AD [对于A，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正确．对于B，两个虚数不能比较大小，故B错．对于C，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故C错．D正确．]
二、填空题
4.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为 .
【答案】 {0}
解析 由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
5.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 .
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根.
【答案】 1
解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错.
6．(一题两空)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________.
【答案】－1 2 [由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
解得x＝－1，y＝2.]
三、解答题
7．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
[解] (1)∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ
＝sin2θ－2sin θ＋3
＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．
8.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，，z1＝z2，求λ的取值范围.
解 由z1＝z2，λ，m∈R，可得
整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.
∵，∴sin θ∈[0,1]，∴λ∈[－，1].
9.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.
解 不妨设方程的实根为m，
则m2＋m＋2mi＝xy－(x＋y)i.
∵x，y，m∈R，∴
由②，得m＝－.
代入①，得2－＝xy，
∴(x－1)2＋(y－1)2＝2，
∴点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2，其轨迹是以(1,1)为圆心，为半径的圆.7.1.1数系得扩充和复数得概念
导学案
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
【自主学习】
知识点1 复数的引入
在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为 .
知识点2 复数的概念、分类
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .
(2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 .
(3)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.
2.复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
知识点3 复数相等
复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di 即它们的实部与虚部分别对应相等.
【合作探究】
探究一 复数的概念
【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
归纳总结：
【练习1】下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
探究二 复数的分类
【例2】设z＝ (m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).
(1)若z是虚数，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值.
归纳总结：
【练习2】实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.
探究三 两个复数相等
【例3】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
归纳总结：
【练习3】已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A.－i B.i C.－1 D.1
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
3.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.
4.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C.±，5 D.±，1
5.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
6.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B.2
C.0 D.1
7.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1 B.0
C.－1 D.－1或1
二、填空题
8.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是 .
9.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为 .
10.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为 .
11.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝ .
三、解答题
12.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
B组 能力提升
一、选择题
1.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A.2kπ－(k∈Z) B.2kπ＋(k∈Z)
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
3．(多选题)下列命题正确的是( )
A．1＋i2＝0
B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D．两个虚数不能比较大小
二、填空题
4.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为 .
5.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为 .
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根.
6．(一题两空)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，则实数x＝________，y＝________.
三、解答题
7．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
8.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，，z1＝z2，求λ的取值范围.
9.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.
