7.2.1复数的乘、除运算
导学案
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.
【自主学习】
知识点1 复数的乘法
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝ .
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ .
知识点2 共轭复数
如果两个复数满足 时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示.
即z＝a＋bi，则＝ .
知识点3 复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＝＋i.
【合作探究】
探究一 复数乘法的运算
【例1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
归纳总结：
【练习1】计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
探究二 复数除法的运算
【例2】计算：(1)＋；
(2)＋.
归纳总结：
【练习2】计算：(1)；(2).
探究三 共轭复数
【例3】已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
归纳总结：
【练习3】若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z).
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.已知复数，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
4.若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数的共轭复数为（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
5.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为（ ）
A. 6,8 B. 12,0 C. 12,26 D. 24,26
6.复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
7.设复数，则（ ）.
A. B. C. 2 D. 1
8.（多选题）已知复数，则（ ）
A. B. z的虚部是
C. 若，则， D.
9.（多选题）若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. z的共轭复数为
10.（多选题）已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是( )
A. z不可能为纯虚数
B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数
C. 若,则z是实数
D. 可以等于
11.（多选题）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A.
B. 复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i
C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根
二、填空题
12.若复数，则_________.
13.已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则_____________．
14.已知复数，则的共轭复数是__________．
15.若复数满足，则在复平面内与复数z对应的点Z位于第______象限.
三、解答题
16.已知复数，若，且z在复平面内对应的点位于第四象限．
（1）求复数z；
（2）若，求实数a、b的值．
17.已知复数.
（1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数；
（2）当时，计算.
18.已知复数z满足，且复数为实数
（1）求复数z
（2）求的值
B组 能力提升
一、选择题
1.在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. －1 B. 1 C. D. 11
3.（多选题）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 复数z的共轭复数
C. 复数z的虚部等于－1 D.
4.（多选题）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（i为虚数单位），则
B. 若复数z满足，则
C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
二、填空题
5.已知i为虚数单位，复数z满足，则________.
三、解答题
6.已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.
7.已知复数w满足为虚数单位，．
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
8.已知复数，，其中为实数，为虚数单位.
（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；
（2）若是实数（是的共扼复数），求的值.
9.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积7.2.1复数的乘、除运算
导学案
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.
【自主学习】
知识点1 复数的乘法
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点2 共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示.即z＝a＋bi，则＝a－bi.
知识点3 复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＝＋i.
【合作探究】
探究一 复数乘法的运算
【例1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
归纳总结：
【练习1】计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
探究二 复数除法的运算
【例2】计算：(1)＋；
(2)＋.
[分析] 复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[解] (1)因为＝
＝＝i－1，
＝＝＝－i.
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
(2)＋＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
归纳总结：
【练习2】计算：(1)；(2).
解 (1)＝＝＝1－i；
(2)＝＝＝－1－3i.
探究三 共轭复数
【例3】已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
[分析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)→由题意得到方程组求x，y的值→得到复数z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
归纳总结：
【练习3】若f(z)＝2z＋－3i，f(＋i)＝6－3i，求f(－z).
解 因为f(z)＝2z＋－3i，
所以f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i
＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.
又f(＋i)＝6－3i，
所以2＋z－2i＝6－3i.
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，
即3a－bi＝6－i.
由复数相等的定义，得
解得
所以z＝2＋i，
故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.已知复数，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用复数的代数形式的运算法则，先求出z，由此利用复数的定义能求出z的虚部．
【详解】,故的虚部为
故选：B
【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的合理运用．
2.复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】：D
【分析】
先利用复数除法运算化简，即可求虚部.
【详解】，
所以虚部为：
故选: D
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，考查了求复数的虚部，属于基础题.
3.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】：A
【分析】
先对复数进行化简，然后得到其共轭复数，再找到其再复平面对应的点，得到答案.
【详解】，
所以
在复平面对应的点为，在第一象限.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的运算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.
4.若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数的共轭复数为（ ）
A. -1 B. 1 C. D.
【答案】：D
【分析】
根据复数的几何意义得到，再根据复数的乘除法运算法则可得结果.
【详解】解:依题意可得，
所以，
故选：D
【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.
5.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为（ ）
A. 6,8 B. 12,0 C. 12,26 D. 24,26
【答案】：C
【分析】
由条件可知，化简求值.
【详解】由条件可知是方程的一个实数根，则
化简为：，
即 ，解得：.
故选：C
【点睛】本题考查复数的代数计算，重点考查计算化简能力，属于基础题型.
6.复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】：A
【分析】
化简复数，再求复数对应复平面的点所在的象限.
【详解】，则在复平面内对应的点是，位于第一象限.
故选：A
【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.
7.设复数，则（ ）.
A. B. C. 2 D. 1
【答案】：A
【分析】
根据复数的运算法则计算出，结合复数模长公式即可得结果.
【详解】由，得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，复数模长的概念，属于基础题.
8.（多选题）已知复数，则（ ）
A. B. z的虚部是
C. 若，则， D.
【答案】：CD
【分析】
取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，取，则，A选项错误；
对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；
对于C选项，若，则，，C选项正确；
对于D选项，，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.
9.（多选题）若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. z的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. z的共轭复数为
【答案】：ABC
【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.
【详解】因为，
对于A：的虚部为，正确；
对于B：模长，正确；
对于C：因为，故为纯虚数，正确；
对于D：的共轭复数为，错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
10.（多选题）已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是( )
A. z不可能为纯虚数
B. 若z的共轭复数为,且,则z是实数
C. 若,则z是实数
D. 可以等于
【答案】：BC
【分析】
根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.
【详解】当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.
11.（多选题）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A.
B. 复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i
C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限
D. 复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根
【答案】：ABCD
【分析】
利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.
【详解】因为（1﹣i）z＝2i，所以，所以，故正确；
所以，故正确；
由知，复数对应的点为，它在第二象限，故正确；
因，所以正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.
二、填空题
12.若复数，则_________.
【答案】：
【分析】
利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值.
【详解】，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
13.已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则_____________．
【答案】：
【分析】
由条件设，再化简，列式求解.
【详解】是纯虚数，则设
，
，解得：.
故答案为：
【点睛】本题考查根据复数的特征求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.
14.已知复数，则的共轭复数是__________．
【答案】：
【分析】
利用复数的模长公式求出，并求出，利用共轭复数的定义可得出结果.
【详解】，，则，
因此，的共轭复数是.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数模长和共轭复数的计算，考查计算能力，属于基础题.
15.若复数满足，则在复平面内与复数z对应的点Z位于第______象限.
【答案】：四
【分析】
求出复数，进而可得答案.
【详解】因，
所以在复平面内与复数对应的点为，
复数对应的点位于第四象限.
故答案为：四.
【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，是基础题.
三、解答题
16.已知复数，若，且z在复平面内对应的点位于第四象限．
（1）求复数z；
（2）若，求实数a、b的值．
【答案】：（1）z＝1﹣i； （2）a＝﹣3，b＝4．
【分析】
（1）由已知求得，结合在复平面内对应的点位于第四象限可得，则复数可求；
（2）把代入，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解．
【详解】解：（1），，
，得．
又在复平面内对应的点位于第四象限，
，
即；
（2）由（1）得，
，
，
，
解得，．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．
17.已知复数.
（1）当实数m为何值时，复数z为纯虚数；
（2）当时，计算.
【答案】：（1）；（2）.
【分析】
（1）由复数为纯虚数得出其实部为零，虚部不为零，进而可解得实数的值；
（2）当时，由复数的四则运算法则可计算得出的值.
【详解】（1）复数为纯虚数，则，解得；
（2）当时，，
.
【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了复数的计算，考查计算能力，属于基础题.
18.已知复数z满足，且复数为实数
（1）求复数z
（2）求的值
【答案】：（1）或；（2）
【分析】
（1）设，得方程组求解即可得复数
（2）利用复数乘除运算求解模长
【详解】（1）设，则因为复数为实数，则，又，
解得 或
故或
（2）
B组 能力提升
一、选择题
1.在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】：A
【分析】
先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可．
【详解】由题意得复数可化为，
所以．
故选A．
【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．
2.已知复数，则（ ）
A. －1 B. 1 C. D. 11
【答案】：B
【分析】
由等比数列的求和公式及的性质求解即可.
【详解】,
,
故选：B
【点睛】本题主要考查了虚数单位的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题.
3.（多选题）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 复数z的共轭复数
C. 复数z的虚部等于－1 D.
【答案】：ACD
【分析】
首先化简复数，再分别分析四个选项，利用复数的相关定义判断.
【详解】
所以，故A正确；复数的共轭复数，故B不正确；
复数的虚部等于-1，故C正确；，.故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查复数的的化简，定义，运算律，属于基础题型.
4.（多选题）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（i为虚数单位），则
B. 若复数z满足，则
C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
【答案】：AD
【分析】
根据复数的运算及相关概念一一判断可得；
【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确；
对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；
复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；
若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；
故选：AD
【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.
二、填空题
5.已知i为虚数单位，复数z满足，则________.
【答案】：1
【分析】
利用复数的四则运算求出，再求其模．
【详解】因为，所以，则.
故答案为：1.
【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题．
三、解答题
6.已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.
（1）求复数z；
（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.
【答案】：（1）1+i；（2）﹣2.
【分析】
（1）先设出复数的表达式,结合已知条件中,实部大于,和的虚部为,列出方程求解出复数的表达式.
（2）由（1）求出复数的表达式,即可得到,,在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.
【详解】（1）设复数z=x+yi,x、y∈R;
由|z|,得x2+y2=2;
又z的实部大于即x>0,
z2=x2﹣y2+2xyi的虚部为2xy=2,
所以xy=1;
解得x=1,y=1;
所以复数z=1+i;
（2）复数,则,;
则A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;
所以.
【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.
7.已知复数w满足为虚数单位，．
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
【答案】：（1）．（2），，．
【分析】
利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．
把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出．
【详解】 ，，
．
是关于x的方程的一个根，
，，
，q为实数，，
解得，．
解方程，得
实数，，方程的另一个根为．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.已知复数，，其中为实数，为虚数单位.
（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；
（2）若是实数（是的共扼复数），求的值.
【答案】：（1）；（2）.
【分析】
（1）根据复数对应点所在的象限得出关于实数的不等式组，解出即可；
（2）根据是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数的值，再利用复数的模长公式可计算出的值.
【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，即.故实数的取值范围是；
（2），，
.
是实数，，解得，
，.
【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.
9.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积
【答案】：（1），（2）点的集合是以原点为圆心，以1和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为
【分析】
（1）根据复数的分类求解，然后由韦达定理可求得；
（2）根据模的几何意义说明结论．
【详解】解：（1）因为为纯虚数，
所以，即，
解得，
此时，由韦达定理得，
.
（2）复数满足，即，
不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，
不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，
所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.
.
【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题．
