8.1基本立体图形
棱柱、棱锥、棱台
导学案
【学习目标】
1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系
3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题
【自主学习】
知识点1 空间几何体
1．空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的 ，
而不考虑其他因素，
那么由这些物体抽象出来的 就叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
(1)多面体：由若干个 围成的几何体叫做多面体．
围成多面体的各个 叫做多面体的面；
两个面的 叫做多面体的棱；
棱与棱的 叫做多面体的顶点．
(2)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定 旋转所形成的曲面叫做 ，
封闭的旋转面围成的几何体叫做 ，这条定直线叫做旋转体的 ．
知识点2 棱柱的结构特征
1．有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，它们是 的多边形；
其余各面叫做棱柱的 ，它们都是平行四边形；
相邻侧面的公共边叫做棱柱的 ；
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的 ．
2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做 ，
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做 ，
底面是正多边形的直棱柱叫做 ，
底面是平行四边形的四棱柱也叫做 ．
知识点3 棱锥的结构特征
有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点的 ，
由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的 ；
有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的 ；
相邻侧面的公共边叫做棱锥的 ；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的 ．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做 ．
知识点4 棱台的结构特征
用一个 的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．
在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的 和 ．
【合作探究】
探究一 棱柱的结构特征
【例1】下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
归纳总结：
【练习1】如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．
探究二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
(2)如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
归纳总结：
【练习2】下列特征不是棱台必须具有的是( )
A．两底面平行
B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等
D．侧棱延长后相交于一点
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
3．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
4．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
5．(多选题)下列说法错误的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
二、填空题
6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
三、解答题
9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
10．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
B组 能力提升
一、选择题
1．由五个面围成的多面体，其中上、 下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )
A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．四棱锥
2．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
二、填空题
3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
三、解答题
4.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
5.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．8.1基本立体图形
棱柱、棱锥、棱台
导学案
【学习目标】
1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系
3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题
【自主学习】
知识点1 空间几何体
1．空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，
而不考虑其他因素，
那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
2．空间几何体的分类
(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
两个面的公共边叫做多面体的棱；
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
(2)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，
封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．
知识点2 棱柱的结构特征
1．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；
其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．
2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，
底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．
知识点3 棱锥的结构特征
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，
由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；
有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．
知识点4 棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．
在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．
【合作探究】
探究一 棱柱的结构特征
【例1】下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．
其中正确说法的序号是________．
【答案】 (3)(4)
[分析] 根据棱柱的结构特征进行判断．
[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．
所以说法正确的序号是(3)(4)．
归纳总结：棱柱的结构特征：1有两个面互相平行；2其余各面是四边形；3相邻两个四边形的公共边都互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征
【练习1】如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1 CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1 DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．
探究二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
(2)如图，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
【答案】 (1)①②③ (2)B
[分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．
[解析]
(1)①正确，棱台的侧面都是梯形．
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．
④错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
(2)由题图知，在三棱台A′B′C′ ABC中，截去三棱锥A′ ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′ BB′C′C.故选B.
归纳总结：判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【练习2】下列特征不是棱台必须具有的是( )
A．两底面平行
B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等
D．侧棱延长后相交于一点
【答案】C
解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A，B，D正确，选C.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
【答案】C [动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．]
2.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定
【答案】A [如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．
]
3．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
【答案】C [按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
① ②]
4．(多选题)观察如下所示的四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
【答案】ACD [结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥．]
5．(多选题)下列说法错误的是( )
A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B．多面体至少有3个面
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
【答案】ABC [选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．
① ② ]
二、填空题
6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.
【答案】12 [该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.]
7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
【答案】 [将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]
8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
【答案】3 [如图，三棱台可分成三棱锥C1 ABC，三棱锥C1 ABB1，三棱锥A A1B1C1，共3个．]
三、解答题
9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
[解] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
10．试从正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
[解] (1)如图①所示，三棱锥A1 AB1D1(【答案】不唯一)．
(2)如图②所示，三棱锥B1 ACD1(【答案】不唯一)．
(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1 ABD(【答案】不唯一)．
① ②
③
B组 能力提升
一、选择题
1．由五个面围成的多面体，其中上、 下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )
A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．四棱锥
【答案】B [该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]
2．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )
① ② ③ ④
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【答案】B [在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．]
二、填空题
3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．
【答案】10 [在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]
三、解答题
4.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.问：
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
[解] (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
5.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．
[解] 把长方体的部分面展开，如图，有三种情况．
对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，，，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.
