8.1基本立体图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
导学案
【学习目标】
1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征
2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题
3.了解组合体的概念
【自主学习】
知识点1 圆柱
1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．
2．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．
3．棱柱和圆柱统称为柱体．
知识点2 圆锥
1．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
2．棱锥与圆锥统称为锥体．
知识点3 圆台
1．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
2．棱台与圆台统称为台体．
知识点4 球
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；
连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
知识点5 简单组合体的结构特征
1．定义：由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体．
2．简单组合体构成的两种基本形式
简单组合体
【合作探究】
探究一 旋转体的结构特征
【例1】下列命题正确的是________．
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
⑦球面上任意三点可能在一条直线上；
⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
【答案】 ④⑥⑧
[分析] 准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断．
[解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故②错误；③它们的底面为圆面，故③错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．
归纳总结：简单旋转体判断问题的解题策略,1准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.,2解题时要注意两个明确：,①明确由哪个平面图形旋转而成；,②明确旋转轴是哪条直线
【练习1】下列命题：
①任意平面截圆柱，截面都是圆面；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②
【答案】D
解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确，故选D.
探究二 圆柱、圆锥、圆台的计算问题
【例2】已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[分析] 在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题．
[解] (1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．
由题意可得上底的一半O1A＝2 cm，下底的一半OB＝5 cm，腰长AB＝12 cm，所以圆台的高AM＝＝3(cm)．
(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，
则由△SAO1∽△SBO，得＝，
解得l＝20.
故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
归纳总结：旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法
【练习2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1?16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
解：设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1?16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面，
如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
∴＝，∴＝＝.
解得l＝9.
即圆台的母线长为9 cm.
探究三 球的截面问题
【例3】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．
[分析] 画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．
[解] 设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.
当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD＝OC－OD＝－＝8－6＝2.
当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD＝OC＋OD＝＋＝8＋6＝14.
故两截面间的距离为2或14.
归纳总结：利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键
【练习3】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为2.
解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1，
设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
探究四 简单组合体的结构特征
【例4】(1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．
(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．
[分析] 由多面体和旋转体的结构特征进行判断．
[解] (1)题图①中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．
(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．
(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．
(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．
归纳总结：会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力
【练习4】如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？
解：如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的．
探究五 与球有关的“切”与“接”问题
【例5】已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径．
[分析] 解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系．
[解] (1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图(1)所示，设球的半径为R1，易得R1＝.
(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，设球的半径为R2，易求得球的半径R2＝a.
归纳总结：组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算．正方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长
【练习5】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图形是( )
【答案】C
解析：正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．①和②
C．③和④ D．①和④
【答案】D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]
2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )
① ②
A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥
C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱
【答案】B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]
3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°等腰三角形 D．其他等腰三角形
【答案】A [设圆锥底面圆的半径为r，依题意可知2πr＝π·，则r＝，故轴截面是边长为的等边三角形．]
4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
【答案】B [一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B．]
5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )
A．32 B． C． D．
【答案】B [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为.]
二、填空题
6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．
【答案】圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．]
7．下列命题中错误的是________．
①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．
【答案】② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]
8．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________ cm2.
【答案】9π [设截面圆半径为r cm，则r2＋42＝52，所以r＝3.所以截面圆面积为9π cm2.]
三、解答题
9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得上底面半径O1A＝2(cm)，
下底面半径OB＝5(cm)，
又因为腰长为12 cm，
所以高AM＝
＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
B组 能力提升
一、选择题
1.在正方体ABCD A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱锥 D．球的一部分
【答案】A [由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA′)，当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′), 当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段(靠近AB), 当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB), 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD), 同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA′上运动；P，Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A．]
2. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的
【答案】AB [如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．
]
二、填空题
3．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.
【答案】x2＋16(0≤x≤4) [将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，
则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝＝.
由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)．
所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．]
三、解答题
4．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．
[解] 设两个平行截面圆的半径分别为r1，r2，球半径为R.由πr＝5π，得r1＝.由πr＝8π，得r2＝2.
(1)如图，当两个截面位于球心O的同侧时，有－＝1，即＝1＋，解得R＝3.
(2)当两个截面位于球心O的异侧时，
有＋＝1.此方程无解．
由(1)(2)知球的半径为3.
5．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．
[解] 圆台的轴截面如图，O1，O2，O3分别为上底面、下底面、截面圆心．
过点D作DF⊥AB于点F，交GH于点E.由题意知DO1＝1，AO2＝4，
∴AF＝3.
∵DE＝2EF，∴DF＝3EF，
∴＝＝，∴GE＝2.
∴⊙O3的半径为3.
∴这个截面面积为9π.8.1基本立体图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
导学案
【学习目标】
1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征
2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题
3.了解组合体的概念
【自主学习】
知识点1 圆柱
1．以 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的 叫做圆柱．
2．旋转轴叫做圆柱的 ；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的 ；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 ；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的 ．
3． 和 统称为柱体．
知识点2 圆锥
1．以 所在直线为旋转轴，其余 旋转一周形成的面所围成的 叫做圆锥．
2． 与 统称为锥体．
知识点3 圆台
1．用 于圆锥底面的平面去截圆锥， 与 之间的部分叫做圆台．
2． 与 统称为台体．
知识点4 球
以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 ，球面所围成的旋转体叫做 ，简称 ．半圆的圆心叫做球的 ；
连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的 ．
知识点5 简单组合体的结构特征
1．定义：由 组合而成的几何体称为简单组合体．
2．简单组合体构成的两种基本形式
简单组合体
【合作探究】
探究一 旋转体的结构特征
【例1】下列命题正确的是________．
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
⑦球面上任意三点可能在一条直线上；
⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．
归纳总结
【练习1】下列命题：
①任意平面截圆柱，截面都是圆面；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②
探究二 圆柱、圆锥、圆台的计算问题
【例2】已知一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
归纳总结：
【练习2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1?16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
探究三 球的截面问题
【例3】已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．
归纳总结：
【练习3】一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为2.
探究四 简单组合体的结构特征
【例4】(1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．
(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．
归纳总结：
【练习4】如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？
探究五 与球有关的“切”与“接”问题
【例5】已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径．
归纳总结：
【练习5】正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图形是( )
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．①和②
C．③和④ D．①和④
2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )
① ②
A．圆锥、棱柱 B．圆锥、棱锥
C．球、棱锥 D．圆锥、圆柱
3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°等腰三角形 D．其他等腰三角形
4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )
A．32 B． C． D．
二、填空题
6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．
7．下列命题中错误的是________．
①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．
8．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________ cm2.
三、解答题
9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD10．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
B组 能力提升
一、选择题
1.在正方体ABCD A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱锥 D．球的一部分
2. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的
二、填空题
3．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．则绳子的最短长度的平方f(x)＝________.
三、解答题
4．球的两个平行截面的面积分别是5π，8π，两截面间的距离为1，求球的半径．
5．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，求这个截面的面积．
