8.2立体图形的直观图
导学案
【学习目标】
1.掌握斜二测画法的步骤
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图
【自主学习】
知识点1 斜二测画法的步骤
1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
知识点2 空间几何体直观图的画法
1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴．
2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．
3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
【合作探究】
探究一 水平放置的平面图形直观图的画法
【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
[分析] 以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系．只需确定四个顶点A，B，C，D在直观图中的相应点即可．
[解] 画法步骤：
(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
归纳总结：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的平面直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′的位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E的对应点E′，再去确定D′的位置
【练习1】画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
解：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
(3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．
探究二 画空间几何体的直观图
【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
[分析] 利用画轴、画底面、画侧棱、成图进行作图．
[解] (1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
归纳总结：
(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出
【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
解：(1)画轴，如图1所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A、B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox，Oy的平行线O′x′，O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，擦掉辅助线，将其被遮挡的线改为虚线，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
探究三 由直观图还原成原图
【例3】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积．
[分析] 利用斜二测画法的法则得到原图和直观图的关系．
[解] 如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
归纳总结：由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可
【练习3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】C
解析：将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示，由题意知O′D′＝O′C′＝2 cm，OD＝2O′D′＝4 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm，OC＝＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm，∴OA＝OC，∴原图形为菱形.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：
由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A．]
2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
【答案】C [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm，2 cm，1.6 cm.]
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2＋ B．
C． D．1＋
【答案】A [画出其相应平面图易求，故选A．
]
4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
【答案】CD [原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]
5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是( )
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【答案】ACD [对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．]
二、填空题
6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′， 则点M′的坐标为________．
【答案】(4,2) [在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]
7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
【答案】2.5 [由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.]
8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
【答案】2 [△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD．所以与BD的长相等的线段有2条．]
三、解答题
9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
[解] (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
① ② ③
(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC．
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，
四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．
10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．
[解] (1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′.
(2)在直角坐标系xOy中．
在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，
再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，
DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC．
B组 能力提升
一、选择题
1.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
【答案】D [设△AOB的边OB上的高为h，由题意，得S原图形＝2S直观图，所以OB·h＝2××2×O′B′.因为OB＝O′B′，所以h＝4.故选D．]
2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
【答案】D [由题意可知其直观图如图，
由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D．]
二、填空题
3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为________．
【答案】72 [如图所示，作出正方形OABC的直观图O′A′B′C′，作C′D′⊥x′轴于点D′.
S直观图＝O′A′×C′D′.又S正方形＝OC×OA．
所以＝，
又在Rt△O′D′C′中，O′C′＝C′D′，
即C′D′＝O′C′，结合平面图与直观图的关系可知OA＝O′A′，OC＝2O′C′，
所以＝＝＝2.
又S直观图＝18，所以S正方形＝2×18＝72.]
三、解答题
4.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
[解] 四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，
AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D′A′＝2，A
C＝A′C′＝，
所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[解] (1)画轴．画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD．
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
(4)成图．连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.
① ②8.2立体图形的直观图
导学案
【学习目标】
1.掌握斜二测画法的步骤
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图
【自主学习】
知识点1 斜二测画法的步骤
1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ (或 )，它们确定的平面表示 ．
2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，
在直观图中分别画成平行于 或 的线段．
3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 ，平行于y轴的线段，在直观图中长度 ．
知识点2 空间几何体直观图的画法
1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴．
2．画平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．
3．取长度：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中 都不变．
4．成图处理：成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 ．
【合作探究】
探究一 水平放置的平面图形直观图的画法
【例1】如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
归纳总结：
【练习1】画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
探究二 画空间几何体的直观图
【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD A′B′C'D′的直观图．
归纳总结：
【练习2】一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
探究三 由直观图还原成原图
【例3】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原四边形ABCD的面积．
归纳总结：
【练习3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
2．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2＋ B．
C． D．1＋
4．(多选题)如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )
A B C D
5．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是( )
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
二、填空题
6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′， 则点M′的坐标为________．
7．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
8．水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图如图所示，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
三、解答题
9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．
10．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC．
B组 能力提升
一、选择题
1.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
2．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
二、填空题
3．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18，则原正方形的面积为________．
三、解答题
4.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
5．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
