8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
导学案
【学习目标】
1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积
2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积
【自主学习】
知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱的表面积
棱柱的表面积：S表＝ ．
①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝ ；
②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝ ；
③棱长为a的正方体的表面积：S表＝ .
2．棱锥的表面积
棱锥的表面积：S表＝S侧＋ ；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝ .
3．棱台的表面积
棱台的表面积：S表＝ ．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积
1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝ .
2．棱锥的体积
(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ .
3．棱台的体积
(1)棱台的高是指 之间的距离．
(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝ ．
【合作探究】
探究一 多面体的表面积
【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为________．
归纳总结：
【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要 m2铁板(精确到0.1 m2)．
探究二 多面体的体积
【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5
C．6 D.
归纳总结：
【练习2】三棱台ABC A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1 ABC，B A1B1C，C A1B1C1的体积之比为( )
A．1?1?1
B．1?1?2
C．1?2?4
D．1?4?4
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．如图，ABC A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积是( )
A． B．
C． D．
2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )
A． B． C． D．
5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝
二、填空题
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．
7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．
8.如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.
三、解答题
9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
10．如图，已知正三棱锥S ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
11．建造一个容积为16 m3，深为2 m，宽为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．
B组 能力提升
一、选择题
1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
A．3π B． C．π D．1
2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
三、解答题
4．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
5．一个正三棱锥P ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1 A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
导学案
【学习目标】
1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积
2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积
【自主学习】
知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱的表面积
棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底．
①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch；
②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2(ab＋ac＋bc)；
③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2.
2．棱锥的表面积
棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝Ch′.
3．棱台的表面积
棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积
1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh.
2．棱锥的体积
(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh.
3．棱台的体积
(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．
(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝h(S′＋＋S)．
【合作探究】
探究一 多面体的表面积
【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为________．
【答案】 (5＋9) cm2
[分析] 利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．
[解析] 正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 cm，故三棱台的表面积为3××(2＋4)×＋×2＋＋×4×2＝5＋9.
归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形 正多边形、三角形、梯形等 ，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理
【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)．
解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m.
所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．
所以S表＝S侧＋2S底＝4.416＋2××0.462×6≈5.6(m2)．
故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板．
探究二 多面体的体积
【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5
C．6 D.
【答案】 D
[解析] 如图，连接EB，EC，AC，
则VE ABCD＝×32×2＝6.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴VF EBC＝VC EFB＝VC ABE＝VE ABC＝×VE ABCD＝.
∴V＝VE ABCD＋VF EBC＝6＋＝.
归纳总结：求几何体体积的常用方法
1 公式法：直接代入公式求解.
2 等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
3 补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.
4 分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
【练习2】三棱台ABC A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1 ABC，B A1B1C，C A1B1C1的体积之比为( )
A．1?1?1
B．1?1?2
C．1?2?4
D．1?4?4
【答案】C
解析：如图，设棱台的高为h，
S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1 ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V三棱台ABC A1B1C1＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB A1B1C＝V三棱台ABC A1B1C1－VA1 ABC－VC A1B1C1
＝Sh－－＝Sh.
∴体积比为1?2?4，
∴应选C.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．如图，ABC A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA′B′B的体积是( )
A． B．
C． D．
【答案】C [∵VC A′B′C′＝VABC A′B′C′＝，∴VC AA′B′B＝1－＝.]
2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
【答案】B
3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
【答案】B [两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B．]
4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )
A． B． C． D．
【答案】A [如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，
则正四面体边长为a.
∴正方体表面积S1＝6a2，
正四面体表面积为
S2＝4××(a)2＝2a2，
∴＝＝.]
5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝
【答案】C [由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，
消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.
∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，
∴z(x＋y)＝xy，
∴＝＋.]
二、填空题
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．
【答案】 [设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.]
7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．
【答案】 [S表＝4××12＝，
V体＝××12× ＝.]
8.如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.
【答案】a [在三棱锥A1 ABD中，AA1是三棱锥A1 ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，
∵V三棱锥A1 ABD＝V三棱锥A A1BD，
∴×a2×a＝××a××a×d，
∴d＝a.
∴点A到平面A1BD的距离为a.]
三、解答题
9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．
[解] 以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
则
∴
∵VD ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，
同理，VC ABF＝VD ACG＝VD BCH＝V长方体，
∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．
而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.
10．如图，已知正三棱锥S ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[解] 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
11．建造一个容积为16 m3，深为2 m，宽为2 m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．
解：设长方体的长、宽、高分别为a m，b m，h m，水池的总造价为y元．
∵V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4.
则有S底＝4×2＝8 (m2)，S壁＝2×(2＋4)×2＝24 (m2)，
y＝S底×120＋S壁×80＝120×8＋80×24＝2 880(元)．
B组 能力提升
一、选择题
1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
A．3π B． C．π D．1
【答案】B [如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为()2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为×2×1＝.则几何体的体积为2×＝.]
2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】D [由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为××××＝.]
二、填空题
3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
【答案】90 138 [该几何体的体积V＝4×6×3＋×4×3×3＝90，表面积S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋×4×3×2＋×3＋3×4＝138.]
三、解答题
4．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
[解] 如图，连接EB，EC．四棱锥E ABCD的体积
V四棱锥E ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F EBC＝V三棱锥C EFB＝V三棱锥C ABE＝V三棱锥E ABC＝×V四棱锥E ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E ABCD＋V三棱锥F EBC＝16＋4＝20.
5．一个正三棱锥P ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1 A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？
[解] 设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则＝，令A1B1＝x，而PO＝h，则PO1＝x，
于是OO1＝h－PO1＝h－x＝h.
所以所求三棱柱的侧面积为S＝3x·h＝(a－x)x＝.当x＝时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点．
