8.5.2直线与平面平行的判定
导学案
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理
2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题
【自主学习】
知识点1 直线与平面平行的判定定理
表示 定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
【合作探究】
探究一 线面平行判定定理的理解
【例1】下列说法中正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
【答案】 D
[解析] 选项A中，直线l α时，l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.
归纳总结：正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法
【练习1】设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是( )
A．b与α内一条直线平行
B．b与α内所有直线都无公共点
C．b与α无公共点
D．b不在α内，且与α内的一条直线平行
【答案】A
解析：A中b可能在α内；B、C显然是正确的；D是线面平行的判定定理，所以选A.
探究二 线面平行的证明
【例2】如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别为棱AC，A1B1的中点，
求证：MN∥平面BCC1B1.
[分析] 要证明直线a与平面α平行的关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b.考虑是否有已知的平行线，若无已知的平行线，则根据已知条件作出平行线(有中点常作中位线)．
[证明] 取BC的中点P，连接B1P和MP，
因为M，P分别为棱AC，BC的中点，
所以MP∥AB，且MP＝AB，
因为ABC A1B1C1是直三棱柱，
所以A1B1∥AB，A1B1＝AB，
因为N为棱A1B1的中点，
所以B1N∥AB，且B1N＝AB.
所以B1N∥PM，且B1N＝PM.
所以MNB1P是平行四边形，
所以MN∥PB1，又因为MN 平面BCC1B1，PB1 平面BCC1B1，
所以MN∥平面BCC1B1.
归纳总结：判定直线与平面平行有两种方法：一是用定义；二是用判定定理.使用判定定理时关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般是遵循先找后作的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行
【练习2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，证明：BC1∥平面A1CD.
证明 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又∵D是AB的中点，连接DF，
则BC1∥DF.
∵DF 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD.
探究三 线面平行判定定理的综合应用
【例3】一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
[解] 在平面VAC内经过P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E.
在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．
在平面VBC内经过点F作FG∥VB，与BC交于点G.
连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线，即EF、FG、GH、HE就是应画的线．
归纳总结：利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等
【练习3】如图，设P，Q是正方体ABCD A1B1C1D1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，证明：PQ∥平面ABB1A1.
证明：连接AB1，因为P，Q分别为AD1，B1D1的中点，所以PQ∥AB1，
AB1 平面ABB1A1，PQ 平面ABB1A1.
所以PQ∥平面ABB1A1.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α
B．b与α相交
C．b α
D．b∥α或b与α相交
【答案】 D
解析 由题意画出图形，当a，b所在平面与平面α平行时，b与平面α平行，当a，b所在平面与平面α相交时，b与平面α相交．
2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是( )
A．l与α内的一条直线不相交
B．l与α内的两条直线不相交
C．l与α内的无数条直线不相交
D．l与α内的任意一条直线不相交
【答案】 D
解析 根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．
3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l α
【答案】 D
解析 l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等．l α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；l与α斜交时，也只能有两点到α的距离相等．
4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 C
解析 如图，由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
【答案】 C
解析 由平行公理知过点P作与直线a平行的直线有且只有一条，又由线面平行的判定定理得，该直线一定在平面内．
6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
【答案】 A
解析 在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 C
解析 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD 平面PCD，OM 平面PDC，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确．
8．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为( )
A. B．1 C. D．2
【答案】 B
解析 如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，AD＝GE＝BB1且AD∥GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE∥DG，可得AE∥平面DB1C.
二、填空题
9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m平行．
【答案】 无数 无数
10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．
a∥α； a∥α.
【答案】 a α a α
解析 根据线面平行的判定定理知，①处横线上应填a α；②处横线上应填a α.
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．
【答案】 平行
解析 如图，连接BD，与AC交于点O，连接OE.
∵OE为△BDD1的中位线，∴BD1∥OE.
又BD1 平面AEC，OE 平面AEC，
∴BD1∥平面AEC.
三、解答题
12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．
求证：PD∥平面MAC.
证明 如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，
则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.
∵PD 平面MAC，MO 平面MAC，
∴PD∥平面MAC.
13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
证明 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF綊GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，
则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH 平面FGH，BD 平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
B组 能力提升
一、选择题
1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【答案】 B
解析 ①如图(ⅰ)，连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，所以①正确．②如图(ⅱ)，连接底面正方形对角线，并取其中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面PMN相交，不平行，所以②不满足题意．③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不满足题意．④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP.所以④正确．
故【答案】为①④.
2.如图，四棱锥S ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
【答案】C
[由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.]
二、填空题
3.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
【答案】 a
[∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC．
∵AP＝，∴DP＝DQ＝.
∴PQ＝×＝a.]
三、解答题
4．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
解 如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，
PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN綊AB綊PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
5.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
证明 连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，所以MN∥SP，
又MN 平面SBC，SP 平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
6.如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
证明 (1)∵BC1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF 平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
7.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC．已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1
[解] 存在．取AB的中点O，连接OC．作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点，所以OD＝(AA1＋BB1)＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D．
又C1D 平面C1B1A1，且OC 平面C1B1A1，
所以OC∥平面A1B1C1，
即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1.8.5.2直线与平面平行的判定
导学案
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理
2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题
【自主学习】
知识点1 直线与平面平行的判定定理
表示 定理 图形 文字 符号
直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与 ，则该直线与此平面平行
【合作探究】
探究一 线面平行判定定理的理解
【例1】下列说法中正确的是( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
归纳总结：
【练习1】设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是( )
A．b与α内一条直线平行
B．b与α内所有直线都无公共点
C．b与α无公共点
D．b不在α内，且与α内的一条直线平行
探究二 线面平行的证明
【例2】如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别为棱AC，A1B1的中点，
求证：MN∥平面BCC1B1.
归纳总结：
【练习2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，证明：BC1∥平面A1CD.
探究三 线面平行判定定理的综合应用
【例3】一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
归纳总结：
【练习3】如图，设P，Q是正方体ABCD A1B1C1D1的面AA1D1D，面A1B1C1D1的中心，证明：PQ∥平面ABB1A1.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α
B．b与α相交
C．b α
D．b∥α或b与α相交
2．若l是平面α外的一条直线，则下列条件中可推出l∥α的是( )
A．l与α内的一条直线不相交
B．l与α内的两条直线不相交
C．l与α内的无数条直线不相交
D．l与α内的任意一条直线不相交
3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l α
4．点E，F，G，H分别是空间四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
6．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个
B．有无数多个
C．有且只有一个或不存在
D．不存在
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且＝m，若AE∥平面DB1C，则m的值为( )
A. B．1 C. D．2
二、填空题
9．过平面外一点，与该平面平行的直线有________条，如果直线m平行于平面，那么在平面内有________条直线与直线m平行．
10．考查下列两个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中a、b为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．
a∥α； a∥α.
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．
三、解答题
12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．
求证：PD∥平面MAC.
13．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
求证：BD∥平面FGH.
B组 能力提升
一、选择题
1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
2.如图，四棱锥S ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
二、填空题
3.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
三、解答题
4．如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．
5.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
6.如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
7.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC．已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1
