8.5.3平面与平面平行的判定
导学案
【学习目标】
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性
2.能利用判定定理解决有关面面平行问题
【自主学习】
知识点1 平面与平面平行的判定定理
表示 定理 图形 文字 符号
平面与平面平 行的判定定理 一个平面内的 .与另一个平面平行，则这两个平面平行 β∥α
【合作探究】
探究一 面面平行判定定理的理解
【例1】在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是( )
A．AD1∥平面EFGH
B．BD1∥GH
C．BD∥EF
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
归纳总结：
【练习1】下列命题中，错误的命题是 ( )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
探究二 平面与平面平行的证明
【例2】如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
归纳总结：
【练习2】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
探究三 线面平行、面面平行的综合应用
【例3】已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．
归纳总结：
【练习3】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α、β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β
3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．面ABB1A1 B．面BCC1B1
C．面BCFE D．面DCC1D1
5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A．①③ B．①④
C．①②③ D．②③
二、填空题
8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a α，b、c β，则α与β的关系是_____．
9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．
10．已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
三、解答题
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.
12．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
B组 能力提升
一、选择题
1．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
下列命题中，正确的有( )
A．BM∥平面DE B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF
二、填空题
2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面四个命题：
①若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
③若α∥β，l∥α，则l∥β；
④若l∥α，m∥l，则m∥α.
其中所有真命题的序号是________．
3．如图，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
三、解答题
4．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．
5.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.
求证：平面BCE∥平面ADF.
6．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P ABCD，如图②.
图① 图②
求证：在四棱锥P ABCD中，AP∥平面EFG.8.5.3平面与平面平行的判定
导学案
【学习目标】
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性
2.能利用判定定理解决有关面面平行问题
【自主学习】
知识点1 平面与平面平行的判定定理
表示 定理 图形 文字 符号
平面与平面平 行的判定定理 一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 β∥α
【合作探究】
探究一 面面平行判定定理的理解
【例1】在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是( )
A．AD1∥平面EFGH
B．BD1∥GH
C．BD∥EF
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【答案】 D
[解析] 在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误；
在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH，
故BD1不可能平行于GH，故B错误；
在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF，
故BD与EF不可能平行，故C错误．
在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B，
EF∩FG＝F，
所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确．
归纳总结：解决此类问题的关键有两点：1借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.2把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”
【练习1】下列命题中，错误的命题是 ( )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
【答案】A
解析：如图，正方体ABCD A1B1C1D1中， BB1∥平面ADD1A1，
BB1∥平面DCC1D1，而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.
探究二 平面与平面平行的证明
【例2】如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
[证明] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB.
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D 平面ADC1，EB 平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
归纳总结：判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线
【练习2】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明：(1)连接B1D1，如图．
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，
∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.
∴E、F、B、D四点共面．
(2)由题知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
探究三 线面平行、面面平行的综合应用
【例3】已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．
[分析] 解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．
[解] 存在．证明：如图所示，连接BD、AC交于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG 平面AEC，
OE 平面AEC，
∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，
又BG∩GF＝G，
∴平面BGF∥平面AEC.
又∵BF 平面BGF，∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，
∴E是GD中点．
又∵PE：ED＝2：1，
∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
归纳总结：
1要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.
2解决此类问题时，可应用平面中直线平行的判定自行构造一个与目标平面平行的平面，再根据性质判断目标点的位置.
【练习3】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB.
∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，
EG 平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，
FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
【答案】 B
解析 因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.
又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.
2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A．α、β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β
【答案】 D
解析 A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若三点不在β的同一侧，α与β相交；C错，若a∥b，则不能断定α∥β.故选D.
3．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
解析 设m∩n＝P，记m与n确定的平面为γ.由题意知：γ∥α，γ∥β，则α∥β.故①正确．②、③均错误．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．面ABB1A1 B．面BCC1B1
C．面BCFE D．面DCC1D1
【答案】 C
解析 取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，
故面A1E1F1D1∥面BCFE.
5．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】 D
解析 由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】 A
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵FG∥BC1，FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，
FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.
7．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有( )
A．①③ B．①④
C．①②③ D．②③
【答案】 C
解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．
∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB.
同理平面PAD∥BC.
二、填空题
8．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a α，b、c β，则α与β的关系是_____．
【答案】 相交或平行
解析 b、c β，a α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故【答案】为相交或平行．
9．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．
【答案】 平行
解析 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
10．已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
【答案】 平行
解析 在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l β，
∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
三、解答题
11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.
证明 连接B1D1，B1C.
∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
又PN 平面A1BD，BD 平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.
又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
12．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明 ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP 平面PBC，NQ 平面PBC，∴NQ∥平面PBC.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC 平面PBC，MQ 平面PBC，∴MQ∥平面PBC.
易知MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，可知平面MNQ∥平面PBC.
13．如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
(1)证明 如图，连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC.
又∵AC 平面ABC，GF 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)解 平面GFP∥平面ABC，
证明如下：
在CD上取中点P，连接FP，GP.
∵F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.
又∵BC 平面ABC，FP 平面ABC，∴FP∥平面ABC，
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP 平面GFP，
GF 平面GFP，
∴平面GFP∥平面ABC.
B组 能力提升
一、选择题
1．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
下列命题中，正确的有( )
A．BM∥平面DE B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF
【答案】ABCD
[展开图可以折成如图①所示的正方体．
图① 图②
在正方体中，连接AN，如图②所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴AB正确；
图③
如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以CD正确．]
二、填空题
2．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下面四个命题：
①若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β；
②若l α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；
③若α∥β，l∥α，则l∥β；
④若l∥α，m∥l，则m∥α.
其中所有真命题的序号是________．
【答案】 ②
解析 当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，故①错误；②正确；若α∥β，l∥α，则l β或l∥β，故③错误；④中直线m有可能在平面α内，故④错误．
3．如图，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分别是AB、CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
【答案】
[因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，
AB＝CD，因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，
∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，
所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，
所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，
所以PE＝2×sin 60°＝.所以GH＝PE＝.]
三、解答题
4．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥ADD1A1？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．
解 当F为AB的中点时，
平面C1CF∥ADD1A1.
理由如下：
∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，
底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，F为AB的中点，∴CD綊AF綊C1D1，
∴AFCD是平行四边形，且AFC1D1是平行四边形，
∴CF∥AD，C1F∥AD1.
又CF∩C1F＝F，CF，C1F都在平面C1CF内，
∴平面C1CF∥平面ADD1A1.
5.如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.
求证：平面BCE∥平面ADF.
[证明] ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC 平面ADF，AD 平面ADF，
∴BC∥平面ADF.
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，
且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE 平面ADF，AF 平面ADF，
∴BE∥平面ADF.
又BC 平面BCE，BE 平面BCE，
BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF.
6．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P ABCD，如图②.
图① 图②
求证：在四棱锥P ABCD中，AP∥平面EFG.
[证明] 在四棱锥P ABCD中，E，
F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD．
∵AB∥CD，∴EF∥AB．
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
同理EG∥平面PAB．
又EF∩EG＝E，EF 平面EFG，
EG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB．
∵AP 平面PAB，
∴AP∥平面EFG.
