8.6.1直线与直线垂直
导学案
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角
【自主学习】
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 .
【合作探究】
探究一 异面直线所成的角
【例1】如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
归纳总结：
【练习1】如图，已知在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
探究二 直线与直线垂直的证明
【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
归纳总结：
【练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.
求证：AC⊥BD．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．如图正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
3．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．10条
5．在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
三、解答题
9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD
的中点，求EF和AB所成的角．
10．如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF.
B组 能力提升
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
2．(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是( )
A．15° B．30°
C．60° D．75°
二、填空题
3.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
三、解答题
4.如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．
5.如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？8.6.1直线与直线垂直
导学案
【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角
【自主学习】
知识点1 异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
【合作探究】
探究一 异面直线所成的角
【例1】如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
[解] (1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
归纳总结：“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角或直角都是相等的，而与所取点的位置无关.
【练习1】如图，已知在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.
(1)BC和A′C′所成的角是多少度？
(2)AA′和BC′所成的角是多少度？
[解] (1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.
(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.
因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
探究二 直线与直线垂直的证明
【例2】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
[解] 法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，
则HEDB1.于是∠HEF为所求
异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，
则EF＝，HE＝，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，
则HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝.
∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
∴DB1⊥EF.
归纳总结：证明两条异面直线垂直的步骤
1恰当选点，用平移法构造出一个相交角.
2证明这个角就是异面直线所成的角或补角.
3把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数.
4给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证.
【练习2】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.
求证：AC⊥BD．
[证明] ∵点G，E分别是CD，BC的中点，
∴GE∥BD，同理GF∥AC．
∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．
在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，
满足FG2＋GE2＝EF2，
∴∠FGE＝90°.
即异面直线AC与BD所成的角是90°.
∴AC⊥BD．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
[①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．]
2．如图正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
[连接BC1、A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成角为60°.]
3．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
【答案】C
[由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．综上所述，故选C．]
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．10条
【答案】C
[如图所示在正方体ABCD A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．]
5．在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
【答案】C
[设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.]
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
【答案】90°
[如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，则异面直线A1M与DN所成的角为90°.]
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
【答案】5
[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.]
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．
【答案】①③
[把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]
三、解答题
9．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD
的中点，求EF和AB所成的角．
[解] 如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.
∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB．
∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.
10．如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF.
[解] 取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC．
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形．
且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.
∴CD1⊥EF.
B组 能力提升
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
【答案】D
[如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.]
2．(多选题)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是( )
A．15° B．30°
C．60° D．75°
【答案】AD
[取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝AB，FG∥CD，且FG＝CD，由AB＝CD知EG＝FG.
易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.]
二、填空题
3.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
【答案】60°
[连接BC1，AD1，AB1，
则EF为△BCC1的中位线，
∴EF∥BC1.
又∵ABCDC1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形．
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1.
∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．
在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，
∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.
∴EF与B1D1所成的角为60°.]
三、解答题
4.如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．
[解] 连接CD1，AC．由题意得四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC．
∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝＝.
5.如图，空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于点E，F，G，H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
[解] ∵AD与BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120°.
设AE∶AB＝x，则＝＝x.又BC＝a，∴EF＝ax.
由＝＝1－x，得EH＝a(1－x)．
∴S四边形EFGH＝EF×EH×sin 60°＝ax×a(1－x)×＝a2(－x2＋x)＝a2－x－2＋.
当x＝时，S最大值＝a2，即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为a2.
