8.6.2直线与平面垂直的性质
导学案
【学习目标】
1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题
2.会求直线到平面的距离
【自主学习】
知识点1 直线与平面垂直的性质定理
1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线 ．简记为：若线面垂直，则线线平行．
2．符号语言： .
3．图形语言：
知识点2 直线到平面的距离
1．直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离 ，一条直线与一个平面平行时，这条直线上 这个到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
【合作探究】
探究一 线面垂直性质定理的应用
【例1】如图，正方体A1B1C1D1 ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
归纳总结：
【练习1】如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.
证明：A1C⊥平面BB1D1D.
探究二 直线到平面的距离
【例2】正方体ABCD A1B1C1C1，棱长为a，求：
(1)直线A1A到平面B1BCC1的距离；
(2)直线A1A到平面D1DBB1的距离．
归纳总结：
【练习2】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.
(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在空间中，下列命题中正确的是( )
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
A．①③④ B．①④
C．① D．①②③④
3．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
4．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
5.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C. D.
6．(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下各命题中，真命题为( )
A．BC⊥PC
B．OM∥平面APC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M PAC的体积等于三棱锥P ABC体积的一半
二、填空题
7．长方体ABCD A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是 ．
8．直线a和b在正方体ABCD A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 .(只填序号即可)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则MN与AD1的位置关系为 ；若AM＝λAB，则λ＝ .
三、解答题
10．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB.
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．
11.如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，
AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求多面体A PBC的体积．
B组 能力提升
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直
2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
二、填空题
3．如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面PAC的位置关系是 ．
三、解答题
4．如图，在四面体P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
(1)证明：BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．8.6.2直线与平面垂直的性质
导学案
【学习目标】
1.记住直线与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题
2.会求直线到平面的距离
【自主学习】
知识点1 直线与平面垂直的性质定理
1．文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．简记为：若线面垂直，则线线平行．
2．符号语言： b∥a.
3．图形语言：
知识点2 直线到平面的距离
1．直线与平面平行，则直线上任意一点到平面的距离都相等，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点这个到平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
2．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
【合作探究】
探究一 线面垂直性质定理的应用
【例1】如图，正方体A1B1C1D1 ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
[分析] 要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C.
[证明] 如图所示，连接AB1，B1C，BD.因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1 平面BDD1，
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
归纳总结：若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质
【练习1】如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.
证明：A1C⊥平面BB1D1D.
证明：因为A1O⊥平面ABCD，
所以A1O⊥BD.
又底面ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，因为AC∩A1O＝O，
所以BD⊥平面A1OC，所以BD⊥A1C，
又OA1是AC的中垂线，
所以A1A＝A1C＝，且AC＝2，
所以AC2＝AA＋A1C2，
所以△AA1C是直角三角形，
所以AA1⊥A1C，
又BB1∥AA1，所以A1C⊥BB1，因为BB1∩BD＝B，
所以A1C⊥平面BB1D1D.
探究二 直线到平面的距离
【例2】正方体ABCD A1B1C1C1，棱长为a，求：
(1)直线A1A到平面B1BCC1的距离；
(2)直线A1A到平面D1DBB1的距离．
[解] (1)∵A1A∥平面B1BCC1，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，
∴直线A1A到平面B1BCC1的距离等于线段A1B1的长，
∵A1B1＝a，
∴直线A1A到平面B1BCC1的距离等于a.
(2)连接A1C1，B1D1，BD，A1C1与B1D1交于点O1，如图．A1A∥平面D1DBB1.
∵A1O1⊥平面D1DBB1，
∴直线A1A到平面D1DBB1的距离等于线段A1O
归纳总结：求直线到平面的距离，前提是该直线和平面平行，在该直线上合理找点，过该点作出平面的垂线，即将线面距离转化为点面距离
【练习2】如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.
(1)证明：直线BC1平行于平面D1AC；
(2)求直线BC1到平面D1AC的距离．
解：(1)证明：因为ABCD A1B1C1D1为长方体，
故AB∥C1D1，AB＝C1D1，
故四边形ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面D1AC.
(2)直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离，设为h，
考虑三棱锥D1 ABC的体积，以平面ABC为底面，可得
V＝×(×1×2)×1＝，
而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，cos∠ACD1＝，sin∠ACD1＝，故S△AD1C＝×××＝.
所以，V＝××h＝，故h＝，
即直线BC1到平面D1AC的距离为.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
解析：①②③均正确．
2．在空间中，下列命题中正确的是( )
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
A．①③④ B．①④
C．① D．①②③④
【答案】B
3．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
【答案】C
解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．
4．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定
【答案】C
解析：因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.
5.如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝( )
A．2 B．3
C. D.
【答案】D
解析：因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF綉DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE ＝＝＝.
6．(多选)如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下各命题中，真命题为( )
A．BC⊥PC
B．OM∥平面APC
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M PAC的体积等于三棱锥P ABC体积的一半
【答案】ABCD
解析：因为PA⊥圆O所在的平面，BC 圆O所在的平面，所以PA⊥BC，而BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，而PC 平面PAC，所以BC⊥PC，故A正确；
因为点M为线段PB的中点，点O为AB的中点，所以OM∥PA，而OM 平面PAC，PA 平面PAC，所以OM∥平面APC，故B正确；
因为BC⊥平面PAC，所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，故C正确；
三棱锥M PAC和三棱锥P ABC均可以平面PAC为底面，此时M到底面的距离是B到底面距离的一半，故三棱锥M PAC的体积等于三棱锥P ABC体积的一半，故D正确．
二、填空题
7．长方体ABCD A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是 ．
【答案】平行
解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.
又∵MN 平面BCC1B1，∴AB⊥MN.
又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.
8．直线a和b在正方体ABCD A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是 .(只填序号即可)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
【答案】①②③
解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为基本事实4的应用，故①②③正确．
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则MN与AD1的位置关系为 ；若AM＝λAB，则λ＝ .
【答案】 平行
解析：∵ABCD A1B1C1D1为正方体，∴CD⊥平面AA1D1D，∴CD⊥AD1，又∵四边形AA1D1D为正方形，∴A1D⊥AD1，∴AD1⊥平面A1DC，又MN⊥平面A1DC，∴AD1∥MN，连接ON，则四边形AMON为平行四边形，AM＝ON＝AB，故λ＝.
三、解答题
10．如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB.
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．
解：(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，
所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，
所以B1C⊥AO，
故B1C⊥平面ABO.
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)方法1：在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H.如图．
由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，
所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又BC＝1，可得OD＝.
由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，
且AD＝＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，
所以点B1到平面ABC的距离为，
故三棱柱ABC A1B1C1的高为.
方法2：由于侧面BB1C1C为菱形，
∠CBB1＝60°，BC＝1.
故B1C＝1，BO＝，又AC⊥AB1，
则AO＝，AC＝，易得AB＝1，
在△ABC中，易得AC边上的高h＝，
由VA BB1C＝VB1 ABC，得
S△BB1C·AO＝S△ABC·h三棱柱，
所以×＝××·h三棱柱，
所以h三棱柱＝.
所以三棱柱ABC A1B1C1的高为.
11.如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，
AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求多面体A PBC的体积．
解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.
又PC 平面PCD，∴PC⊥BC.
(2)∵PD⊥平面ABCD，
∴VA PBC＝VP ABC＝·S△ABC·PD.
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，
∴△ABC为直角三角形且∠ABC为直角．
∵PD＝DC＝BC＝2，AB＝2DC，
∴VA PBC＝·S△ABC·PD＝×·AB·BC·PD＝××4×2×2＝.
B组 能力提升
一、选择题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则( )
A．B1B⊥l B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直
【答案】B
解析：因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.
2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D
解析：若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．
设α∩β＝直线a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.
因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.
因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，
所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.
又因为l α，l β，所以l与a不重合．
所以l∥a，综上知，选D.
二、填空题
3．如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面PAC的位置关系是 ．
【答案】平行
解析：∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA.又DE 平面PAC，PA 平面PAC，∴DE∥平面PAC.
三、解答题
4．如图，在四面体P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
(1)证明：BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由题知：AB＝1，BC＝，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝，所以CD＝，PD＝.
