1.2 空间向量基本定理
课后训练巩固提升
A组
1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a
C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
解析:对于A,由于3a=2(a-b)+a+2b,故向量3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底,故A不符;同理可判断B,D不符;对于C,因为不存在实数m,n,使得a=m·2b+n·(b-c),所以三个向量不共面.故选C.
答案:C
2.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',=a,=c,=b,D是四边形OABC的对角线的交点,则( )
A.=-a+b+c
B.=-b-a-c
C.a-b-c
D.a-b+c
解析:=-)=a-b+c.
答案:D
3.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{}为基底,=x+y+z,则x,y,z的值是( )
A.x=y=z=1 B.x=y=z=
C.x=y=z= D.x=y=z=2
解析:)+)+)=,由空间向量基本定理,得x=y=z=1.
答案:A
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
A.2 B. C. D.
解析:∵,且||=||=1,||=2,=0,=0,<>=120°,
∴=||2=()2=||2+||2++2()=1+4+1-1=5.
因此||=,即EF的长为.
答案:C
5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a与b的位置关系是 .
解析:∵a·b=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0.∴a⊥b.
答案:a⊥b
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若+λ=0(λ∈R),则λ= .
解析:如图,连接A1D,A1C1,C1D,则E在A1C1上,F在C1D上,
易知EFA1D.
所以,
即=0.
所以λ=-.
答案:-
7.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是 .
解析:设棱长为2.
∵,
∴=()·=0-2+2-0=0.
∴.
∴AB1⊥BM.
答案:90°
8.如图,设四面体OABC的三条棱=a,=b,=c,G为△ABC的重心,以{a,b,c}为空间的一个基底表示向量.
解:由G为△ABC的重心,易知E为AC的中点,
∴)=[()+()]=[(a-b)+(c-b)]=(a+c-2b),
=b+=b+(a+c-2b)=(a+b+c).
9.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:CE⊥A'D;
(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
答案：(1)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底.
根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.
∵=b+c,=-c+b-a,
∴=-c2+b2=0,
∴.∴CE⊥A'D.
(2)解:∵=-a+c,=b+c,
∴||=|a|,||=|a|,
又=(-a+c)·c2=|a|2,
∴cos<>=.
故异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.
B组
1.若a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3({e1,e2,e3}为空间的一个基底),且d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为( )
A.,-,-1 B.,1
C.-,1 D.,-,1
解析:d=xa+yb+zc=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3.
∵d=e1+2e2+3e3,
∴
解得x=,y=-,z=-1.
答案:A
2.已知OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A. B.
C. D.
解析:如图,由已知得.
因为G1是△ABC的重心,所以.
所以,
从而x=y=z=.
答案:A
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则直线AC1与CE的位置关系是( )
A.重合 B.垂直
C.平行 D.无法确定
解析:.设正方体的棱长为1,则=()·=-1+1=0,所以.故AC1与CE垂直.
答案:B
4.(多选题)若向量的起点M和终点A,B,C互不重合,且其中三点不共线,则下列四个式子能得出M,A,B,C四点共面的是( )
A.
B.
C.
D.=2
解析:对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1) M,A,B,C四点共面知,A符合;对于选项B,D,易知共面,且有公共起点M,所以M,A,B,C四点共面,故B,D符合;对于选项C,M,A,B,C四点不共面.
答案:ABD
5.在空间四边形ABCD中,=a-2c,=5a-5b+8c,对角线AC,BD的中点分别是E,F,则= .
解析:)=)+)=)=3a-b+3c.
答案:3a-b+3c
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用作为基向量,则= .
解析:2=2+2+2=()+()+()=,
所以).
答案:)
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)请用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
解:(1)(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.
(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,
∴|a+b+c|=.∴||=|a+b+c|=,
即MN=.
8.如图,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.
(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;
(2)求异面直线DM和AO所成角的大小.
答案：(1)证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,
则(a+b+c),(b+c-5a),
(a+c-5b),(a+b-5c).
因为(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×cos 60°-9)=0,
所以,
即AO⊥BO.
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
(2)解:=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),则||=.
||=.
因为(-2a-2b+c)· (b+c-5a)=,
所以cos<>=.
所以<>=.
故异面直线DM和AO所成角的大小为.(共47张PPT)
1.2 空间向量基本定理
第一章
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解空间向量基本定理及其意义.
2.掌握空间向量的正交分解.
3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法.
4.培养数学抽象、直观想象与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 空间向量基本定理
【问题思考】
(2)在图中任找一个向量p,是否都能用向量a,b,c来表示 表示唯一吗
提示:是,表示唯一.
2.填空:空间向量基本定理
(1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= xa+yb+zc .
(2)基底:如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc, x,y,z∈R} .这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.做一做:设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A.{a+b,b-a,a}
B.{a+b,b-a,b}
C.{a+b,b-a,c}
D.{a+b+c,a+b,c}
解析:由已知及向量共面的充要条件,易得向量a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.
答案:C
二、空间向量的正交分解
【问题思考】
1.如图,正方体的棱长为3,向量e1,e2,e3分别为棱AB,AD,AA1上的单位向量,回答下列问题:
(2)基底{e1,e2,e3}与一、【问题思考】中的平行
六面体图中的基底{a,b,c}有何不同
提示:e1,e2,e3为单位向量,且两两垂直.
2.填空:
(1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
(2)正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.( √ )
(2)若a,b为空间两个不共线的向量,c=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.( × )
(3)若{a,b,c}为空间的一个基底,则{-a,b,2c}也可以构成空间的一个基底.( √ )
(4)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
基底的判断
则2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)
=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3.
∵{e1,e2,e3}为空间的一个基底,
反思感悟 1.判断三个向量能否作为空间的一个基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证法结合向量共面的充要条件或者利用常见的几何图形帮助,进行判断.
2.求一向量在不同基底下的表示式,一般采用待定系数法,即设出该向量在新基底下的表示式,转化为在原基底下的表示式,对比系数.
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的一个基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z不共面.同理向量b,c,z不共面,向量x,y,a+b+c也不共面.故选C.
答案:C
探究二
用基底表示空间向量
反思感悟 用基底表示空间向量的三个步骤:
(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据向量加法的三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的线性运算进行变形、化简,最后求出结果.
(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c},可以表示出所有空间向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.
探究三
空间向量基本定理与数量积的综合应用
【例3】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,
∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.
本例条件不变,求异面直线CA1与AB所成角的余弦值.
反思感悟 1.求空间向量的模、夹角时,常常将所求向量用某个基底表示,然后再根据公式计算.
2.用向量法求异面直线的夹角的余弦值的步骤:
【变式训练3】 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成角的余弦值.
【例4】 如图,在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.
证明:连接ON,设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ,
反思感悟 用向量法证明空间中垂直关系的步骤:
(1)把几何问题转化为向量问题;
(2)选择空间的某个基底表示未知向量;
(3)通过数量积运算证明数量积为0;
(4)将向量问题回归到几何问题.
【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.
证明:设正方体的棱长为1,
∴PA⊥B1O,PC⊥B1O.
又PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,
∴B1O⊥平面PAC.
【易错辨析】
混淆向量夹角与空间角致错
【典例】 在平行四边形ABCD中,AB=2AC=2,且∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求点B,D间的距离.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:异面直线的夹角为锐角或直角,而两个空间向量的夹角的范围是[0,π],本题中异面直线AB与CD成60°角,并不能确定< >=60°.
防范措施 1.理解向量夹角与直线夹角、二面角的区别,若直线a,b的夹角为θ,直线a,b的方向向量分别为a,b,则cos θ=|cos
|.
2.将直线夹角、二面角正确转化为向量夹角,是解决这类问题的关键.
【变式训练】 如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC α, BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B.已知AC=AB=BD=6,则CD= .
=3×62+2×62×cos 60°=144.
所以CD=12.
12
随堂练习
1.已知空间的一个基底{a,b,c},向量m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x+y等于( )
A.2 B.-2
C.1 D.0
解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使得n=λm,即xa+yb+c=λ(a-b+c).
答案:D
答案:D
3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,若λe1+μe2+ve3=0,则λ2+μ2+v2= .
解析:∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底,
∴e1,e2,e3为不共面向量.又λe1+μe2+ve3=0,∴λ=μ=v=0.
∴λ2+μ2+v2=0.
答案:0
本 课 结 束