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1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第一章
1.3
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性.
2.会用空间直角坐标系刻画点的位置.
3.掌握空间向量的坐标表示.
4.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示.
5.借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空间两点间的距离公式.
6.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 空间直角坐标系
【问题思考】
1.回忆我们以前学过的平面直角坐标系和平面向量的坐标运算,思考下列问题:
(1)平面直角坐标系是由什么组成的 类比平面直角坐标系的构成,你能得出空间直角坐标系是由什么组成的吗
提示:平面直角坐标系是由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成的.空间直角坐标系是由空间中三条两两垂直、原点重合的数轴组成的.
(2)在平面向量中,根据单位正交基底,我们是怎样建立平面直角坐标系的x轴、y轴的
提示:在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i,j},以O为原点,分别以i,j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴,这样我们就建立了平面直角坐标系.
(3)类似平面向量中直角坐标系的建立,我们怎样建立空间直角坐标系呢
提示:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,这样我们就建立了空间直角坐标系.
2.填空:空间直角坐标系
(1)定义:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以 i,j,k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O叫做原点, i,j,k 都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 Oxy 平面, Oyz 平面, Ozx 平面,它们把空间分成八个部分.
(2)画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°.
(3)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(5)空间向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a= xi+yj+zk .有序实数组(x,y,z) 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z) .
答案:(1)(1,1,0) (1,1,1) (2)(1,0,1) (0,1,1) (3)(0,0,1) (0,1,0)
3.做一做:
如图,在棱长为1的正方体中,
写出下列各点和向量的坐标:
(1)B ,B' ;
二、空间向量运算的坐标表示
【问题思考】
1.对于空间的一个单位正交基底{i,j,k},有i·i=j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k=0.设两个非零的空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),类比平面向量运算的坐标表示回答下列问题:
(1)如何表示a+b,a-b,λa(λ∈R)
提示:a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),
λa=(λa1,λa2,λa3).
(2)如何根据向量数量积的运算律推导a·b的坐标表示
提示:a=(a1,a2,a3)=a1i+a2j+a3k,b=(b1,b2,b3)=b1i+b2j+b3k,
所以a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)
=a1b1i2+a2b2j2+a3b3k2+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1j·i+a2b3j·k+a3b1k·i+a3b2k·j
=a1b1+a2b2+a3b3.
2.填表:设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
3.做一做:(1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是( )
A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6)
C.a·b=10 D.|a|=6
(2)与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为( )
A.(1,7,5) B.(1,-7,5)
C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5)
解析:(1)易验证A,B,C均不正确;
(2)只有C选项中向量与a,b的数量积都为0.
答案:(1)D (2)C
三、空间两点间的距离公式
【问题思考】
1.在空间直角坐标系Oxyz中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,根据空间向量运算的坐标表示回答下列问题:
2.填空:设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
合作探究 释疑解惑
探究一
空间点、向量的坐标表示
【例1】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求:
(1)点B,C1,B1,M,N的坐标;
所以点B的坐标是(0,1,0).
同理,点C1的坐标是(0,0,2).
点B1在x轴、y轴、z轴上的射影分别为C,B,C1,它们在坐标轴上的坐标分别为0,1,2,所以点B1的坐标是(0,1,2).
反思感悟 1.建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的把直角边放在坐标轴上.
2.求空间点、向量的坐标的一般步骤
(1)建系:根据图形特征建立空间直角坐标系;
(2)运算:找出点在x轴、y轴、z轴上的射影的坐标;综合利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量;
(3)定结果:根据射影坐标写出点的坐标;将所求向量用已知的基向量表示出来确定坐标.
【变式训练1】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出各顶点的坐标;
解:(1)设x轴、y轴、z轴的单位向量分别为i,j,k.
因为正方体的棱长为2,
因为D(0,0,0),
所以A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
同理可得,A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2).
探究二
空间向量的坐标运算
(1)p+2q;
(2)3p-q;
(3)(p-q)·(p+q);
(4)cos
.
分析:先由点的坐标计算得到向量p,q的坐标,然后再进行各种运算.
解:因为A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),
(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).
(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15).
(3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26.
反思感悟 1.一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法、减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.
【变式训练2】 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求:
(1)a+b;(2)a-b;(3)a·b;
(4)2a·(-b);(5)(a+b)·(a-b).
解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).
(2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6).
(3)a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7.
(4)∵2a=(4,-2,-4),
∴(2a)·(-b)=(4,-2,-4)·(0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14.
(5)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+4-(0+1+16)=-8.
探究三
利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,
1.若把本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,则结果又是什么
2.本例中若G是A1D的中点,点H在平面xDy上,且GH∥BD1,试判断点H的位置.
反思感悟 向量平行与垂直问题的两种类型
(1)平行与垂直的判断.
①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用.
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb,其中λ∈R),建立关于参数的方程.
②选择坐标表示,以达到简化运算的目的.
【变式训练3】 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:
(1)AE⊥D1F;
(2)AE⊥平面A1D1F.
证明:设正方体的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
由(1)知AE⊥D1F.
∵D1A1∩D1F=D1,D1A1,D1F 平面A1D1F,
∴AE⊥平面A1D1F.
探究四
利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题
【例4】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的中点.利用空间向量解决下列问题:
(1)求EF与C1G所成角的余弦值;
(2)求F,H两点间的距离.
分析:建系Dxyz→得各点的坐标→数量积运算→夹角、长度公式→几何结论
反思感悟 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤:
(1)建系:根据题目中的几何图形建立适当的空间直角坐标系;
(2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标;
(3)论证、计算:结合公式进行论证、计算;
(4)转化:转化为几何结论.
【变式训练4】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1, ∠ACB=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点.试建立适当的空间直角坐标系,求:
(1)BN的长;
(2)A1B与B1C所成角的余弦值.
解:以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
(1)由题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
【易错辨析】
转化不等价致误
【典例】 已知向量a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是( )
错解:因为a与b的夹角为钝角,
所以a·b=3×(-1)+(-2)(x-1)+(-3)×1<0,
解得x>-2,所以x的取值范围是(-2,+∞).
答案:A
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:空间向量a,b的夹角为钝角与a·b<0并不等价,a·b<0中包含着=180°的情形.=180°的情形,可利用a=λb(λ<0),也可利用a·b=-|a||b|,即cos=-1求得.同样a·b>0也包含着=0°的情形.解题时应把这种情况剔除.
正解:因为a与b的夹角为钝角,
所以a·b<0,且≠180°.
由a·b<0,得(3,-2,-3)·(-1,x-1,1)=3×(-1)+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0,解得x>-2.
若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使b=λa,
即(-1,x-1,1)=λ(3,-2,-3).
答案:B
防范措施 1.对题目中的条件要认真分析,找出一些隐含或限制条件,对题目条件进行等价转化,对于公式中的特殊情形要记清,不要漏掉;
2.此类题目中夹角为钝角要在a·b<0中剔除夹角为180°的情况,夹角为锐角要在a·b>0中剔除夹角为0°的情况.
随堂练习
1.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )
A.(-1,0,1),(-1,2,0)
B.(-1,0,0),(-1,2,0)
C.(-1,0,0),(-1,0,0)
D.(-1,2,0),(-1,2,0)
解析:点A在x轴上的射影的横坐标不变,纵、竖坐标都为0,在xOy平面上的射影横、纵坐标不变,竖坐标为0,故应选B.
答案:B
2.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( )
A.-1 B.1
C.0 D.-2
解析:∵p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),
∴p·q=1×0+0×3+1×(-1)=-1.
答案:A
3.已知向量a=(-1,0,1),b=(1,2,3),k∈R,若ka-b与b垂直,则k= .
解析:因为(ka-b)⊥b,所以(ka-b)·b=0,即ka·b-|b|2=0,
答案:7
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,则异面直线EF与A1C1所成角的大小为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz.
设正方体的棱长为2,
则E(0,1,2),F(2,2,1),A1(0,0,0),C1(2,2,0),
故异面直线EF与A1C1所成的角为30°.
答案:30°
5.已知向量a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).
(1)若a∥b,求λ与m的值;
(2)若|a|= ,且a与c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.
解:(1)由a∥b,知存在实数k,使得a=kb,
即(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),
解得λ=-1.
因此,a=(0,1,-2).
本 课 结 束1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课后训练巩固提升
A组
1.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在空间的一个单位正交基底{i,j,k}下的坐标为( )
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,10,12) D.(4,2,3)
解析:p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).
答案:A
2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于( )
A.3 B.2
C. D.5
解析:∵a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|a-b+2c|=3.
答案:A
3.已知点A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若向量,则点C的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析:设点C坐标为(x,y,z),
则=(x,y,z).
因为=(-3,-2,-4),,
所以x=-,y=-,z=-.
答案:A
4.已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),a∥b,则实数λ与μ的值分别为( )
A. B.5,2
C.-,- D.-5,-2
解析:∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,
即λ+1=6k,0=k(2μ-1),2λ=2k,
解得λ=,k=,μ=.
答案:A
5.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为,则λ=( )
A.2 B.-2
C.-2或 D.2或-
解析:a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,
a·b=|a||b|cos=.
由=6-λ,得λ=-2或.
答案:C
6.已知a=(-2,-1,3),b=(-1,3,-2),a,b的夹角为θ,则θ= .
解析:cos θ==-,
故θ=120°.
答案:120°
7.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ= .
解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),
∴λa+b=(4,1-λ,λ).
又|λa+b|=,∴16+(1-λ)2+λ2=29.
∴λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.
∵λ>0,∴λ=3.
答案:3
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为CC1的中点,则异面直线A1M与C1D1所成角θ的正切值为 .
解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(1,1,1),C1(1,1,2),D1(0,1,2),
所以=(1,1,-1),=(-1,0,0).
所以cos<>==-.
所以cos θ=,sin θ=,从而tan θ=.
答案:
9.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求实数k的值;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数k的值.
解:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),
a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).
(1)∵(ka+b)∥(a-3b),
∴,
解得k=-.
(2)∵(ka+b)⊥(a-3b),
∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=.
10.如图所示,正四棱锥S-ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.
(1)求CE的长;
(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;
(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.
分析:由于棱锥是正四棱锥,因此底面四边形ABCD是正方形,从而OA,OB,OS两两垂直,故可建立空间直角坐标系进行求解和证明.在第(3)问的证明过程中,要充分利用共线向量的知识,不直接设出点G的坐标,而是设的坐标,这样就出现一个未知量,便于求解.
解:连接SO,AC,OB,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱长为,底面边长为,E为SA的中点,
所以A,S,C,B,E.
(1),
所以||=,
即CE=.
(2)因为=,
所以cos<>==-.
故异面直线BE和SC所成角的余弦值为.
(3)证明:因为G在SC上,所以共线,
所以可设=λ,λ∈R,
则+-λ,0,-λ=.
因为OG⊥SC,即,所以=0.
所以λ-(1-λ)=0,解得λ=.
所以.
又,
所以=-+0+=0.
所以,即OG⊥BE.
B组
1.已知a=(2,0,3),b=(4,-2,1),c=(-2,x,2),若(a-b)⊥c,则x等于( )
A.4 B.-4
C.2 D.-2
解析:∵a-b=(-2,2,2),且(a-b)⊥c,
∴(a-b)·c=0,即4+2x+4=0,解得x=-4.
答案:B
2.已知O为原点,向量=(2,-2,3),=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为,则(x,y,z)=( )
A.(-2,-4,-1) B.(-2,-4,1)
C.(-2,4,-1) D.(2,-4,-1)
解析:由题意得(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2,即(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),
解得
答案:A
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:建系如图,
则C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0),
因此=(1,-1,-1),=(0,1,-2).
所以cos<>=.
故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值是.
故选C.
答案:C
4.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析:∵b-a=(1+t,2t-1,0),
∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+02=5t2-2t+2=5.
∴|b-a.
∴|b-a|min=.
答案:C
5.已知△ABC的三个顶点是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2),则△ABC的面积为 .
解析:S△ABC=|AB||AC|sin α,其中α是边AB与AC的夹角,
则S△ABC=|||·|.
在本题中=(1,2,-2),=(-2,0,-3),
所以||2=12+22+(-2)2=9,
||2=(-2)2+(-3)2=13,
=1×(-2)+2×0+6=4.
所以S△ABC=.
答案:
6.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当取得最小值时,点Q的坐标为 .
解析:设=λ=(λ,λ,2λ),λ∈R,则Q(λ,λ,2λ),=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ).因为=6λ2-16λ+10=6,所以当λ=时,取得最小值,此时点Q的坐标为.
答案:
7.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)三点.
(1)若,求点D的坐标;
(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).
因为,所以存在实数m,n,使得
解得即D(-1,1,2).
(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).
假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β).
所以解得α=1,β=1.
故存在α=β=1,使得=α+β成立.
8.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°
解:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(,1,0),B1(,1,2),M.
假设存在点N,满足条件.
因为点N在CC1上,
所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2).
因为=(,1,2),,
所以||=2,||==2m-1.
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°,
那么向量的夹角等于45°或135°.
又因为cos<>=,
所以=±,解得m=-,这与0≤m≤2矛盾.
所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.