1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系
课后训练巩固提升
A组
1.设平面α内两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面α的法向量的是( )
A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)
C.(1,1,1) D.(1,-1,-1)
解析:平面α的法向量应当与a,b都垂直,检验知选B.
答案:B
2.已知向量a=(2,-3,5)与b=(4,x,y)平行,则x,y的值分别为( )
A.6和-10 B.-6和10
C.-6和-10 D.6和10
解析:∵a与b平行,∴,解得x=-6,y=10.
答案:B
3.若=λ+μ,λ,μ∈R,则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
解析:∵=λ+μ,∴共面.
∴直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
答案:D
4.已知点A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是( )
A.(1,1,1) B.
C. D.
解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),=(0,-1,1),=(-1,1,0),
则解得x=y=z.
因为单位向量的模为1,所以只有选项B正确.
答案:B
5.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则下列四个结论中正确的是( )
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
解析:,所以,即A1M∥D1P,故A正确;
由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故C,D正确;因为PQ与D1B1平行但不相等,所以四边形D1PQB1为梯形,即D1P与B1Q不平行,从而A1M与B1Q不平行,故B不正确.
答案:ACD
6.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x= ,y= .
解析:∵l1∥l2,∴.
∴x=-14,y=6.
答案:-14 6
7.若A,B,C是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z= .
解析:.
因为a·=0,a·=0,
所以
所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).
答案:2∶3∶(-4)
8.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以=(x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x= .
解析:=(-2,2,-2),=(-1,6,-8).
可得平面ABC的一个法向量n=(2,7,5).
由n·=0,得2x-7+15=0,解得x=-4.
答案:-4
9.如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上, OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.求证:直线BC∥EF.
证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.
由平面ABED⊥平面ACFD,平面ABED∩平面ACFD=AD,FQ 平面ACFD,
得FQ⊥平面ABED.
因为△ODF,△ODE是正三角形,所以Q为OD的中点,所以EQ⊥OD.
以Q为原点,分别为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得E(,0,0),F(0,0, ),B,-,0,C,
所以=(-,0, ).
因为=2,且B EF,所以BC∥EF.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.
证法一:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N,E,F(1,3,4),
∴=(-1,0,4),=(-1,0,4).
∵,
∴MN∥EF.
又EF 平面EFBD,MN 平面EFBD,
∴MN∥平面EFBD.
同理,可证AM∥平面EFBD.
又MN 平面AMN,AM 平面AMN,且MN∩AM=M,
∴平面AMN∥平面EFBD.
证法二:建立空间直角坐标系Dxyz如证法一,
则A(2,0,0),M(1,0,4),N,D(0,0,0),E,F(1,3,4),
∴=(-1,0,4),=(1,3,4).
设平面AMN的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
∴
∴可取n1=.
∴n1=为平面AMN的一个法向量.
同理,可得平面EFBD的一个法向量为n2=.
∵n1=n2,∴n1∥n2.
∴平面AMN∥平面EFBD.
B组
1.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则下列等式不成立的是( )
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
解析:由题意知PA⊥平面ABCD,所以PA与平面内的直线AB,CD都垂直,故A,B正确;
因为菱形的对角线互相垂直,所以对角线BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD,故C正确.
若PC⊥AB,则AC⊥AB,在菱形中不成立,故选D.
答案:D
2.(多选题)已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则下列向量是平面α的法向量的是( )
A.(1,-4,2)
B.(0,-1,1)
C.
D.
解析:=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的法向量,则必须满足把选项代入验证,选项A,C,D都满足,只有选项B不满足.
答案:ACD
3.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).则下列结论正确的是( )
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的法向量
D.
解析:∵=0,=0,
∴AB⊥AP,AD⊥AP.故A,B正确.
又不平行,
∴是平面ABCD的法向量.故C正确.
∵=(2,3,4),=(-1,2,-1),
∴不平行.故D错误.
答案:ABC
4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z= .
解析:∵α∥β,∴u1∥u2.
∵u1=(-3,y,2),∴z≠0.
∴,
解得y=1,z=-4.
∴y+z=-3.
答案:-3
5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为 .
解析:设AC与BD相交于点O,连接OE.
因为AM∥平面BDE,且AM 平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥EO.
又O是正方形ABCD对角线的交点,且ACEF是矩形,
所以M为线段EF的中点.
在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1).
因此点M的坐标为.
答案:
6.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.请用向量方法证明AP∥平面EFG.
解:以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),所以=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).
设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则
所以
所以取z=1,则x=1.于是n=(1,0,1)是平面EFG的一个法向量.
因为n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,
所以n⊥.又AP 平面EFG,
所以AP∥平面EFG.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB 若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.
解:存在,当E为PD的中点时,CE∥平面PAB.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),
∴=(0,2,-1).
设点E的坐标为(0,y,z),则
=(0,y,z-1),=(-1,y-1,z).
∵点E在PD上,∴.
∴.①
=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量.
∵CE∥平面PAB, ∴.
∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y-1)=0.
∴y=1.代入①,得z=.
∴E是PD的中点.
∴在棱PD上存在点E,且当E为PD中点时,CE∥平面PAB.(共47张PPT)
第一章
1.4.1
2022
第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能用向量语言描述点、直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
4.能用向量方法证明有关直线、平面之间的平行关系,体会向量方法在研究几何问题中的应用.
5.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 空间中点、直线的向量表示
【问题思考】
1.我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,阅读教材第26页,回答下列两个问题:
(1)如何用向量表示空间中的一个点
提示:在空间中,取一定点O作为基点,空间中的任意一点P就可以用向量
来表示.
(2)如图,点A是直线l上的一个点,a是直线l的方向向量,
在直线l上取 =a,P是直线l上的任意一点,那么点P在
直线l上的充要条件是什么
2.填空:
3.做一做:若点A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
答案:A
二、空间中平面的向量表示
【问题思考】
1.如图,设两条直线相交于点O,它们确定平面α,这两条直线的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,那么点P在平面α内的充要条件是什么
2.填空:
(2)平面的法向量:如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a· =0}.
3.做一做:已知平面α内一点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点在平面α内的是( )
答案:B
三、空间中直线、平面的平行
【问题思考】
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,且l1 α.试根据直线的方向向量、平面的法向量的定义回答下列问题:
(1)如何用u1,u2表示l1∥l2
提示:l1∥l2 u1∥u2.
(2)如何用u1,n1表示l1∥α
提示:l1∥α u1⊥n1.
(3)如何用n1,n2表示α∥β
提示:α∥β n1∥n2.
2.填表:
3.做一做:(1)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( )
(2)已知直线l的方向向量为v=(1,-1,2),平面α的法向量为n=(2,4,1),且l α,则l与α的位置关系是 .
解析:(1)∵l1∥l2,
∴a∥b.
∴存在λ∈R,使得a=λb,
则有2=3λ,4=λx,5=λy,
(2)因为v·n=2-4+2=0,
所以v⊥n.
又l α,所以l∥α.
答案:(1)D (2)l∥α
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)一个平面的法向量都是同向的.( × )
(2)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ )
(3)直线的方向向量与平面的法向量平行时,直线与平面平行.( × )
(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求平面的法向量
【例1】 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系.求:
(1)平面ABCD的一个法向量;
(2)平面SAB的一个法向量;
(3)平面SCD的一个法向量.
分析:先建系,求平面法向量的两种思路:一是找平
面的垂线;二是待定系数法设出法向量,利用法向量与平面内的两条不共线的向量垂直,计算出平面的一个法向量.
解:由题意知AD,AB,AS两两垂直.以A为原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,且AB∩SA=A,
∴AD⊥平面SAB,
反思感悟 1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.
2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组 有无数多个解,只需给x,y,z中的一个变量赋予一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.
【变式训练1】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:
(1)平面BDD1B1的一个法向量;
(2)平面BDEF的一个法向量.
解:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).
(1)连接AC,因为AC⊥平面BDD1B1,
取x=2,则y=-2,z=-1.
所以,n=(2,-2,-1)为平面BDEF的一个法向量.
探究二
利用空间向量证明线线平行
【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
分析:转化为证明直线的方向向量平行.
又F AE,F EC1,∴AE∥FC1,EC1∥AF.
∴四边形AEC1F是平行四边形.
反思感悟 1.两直线平行 两直线的方向向量共线;
2.两直线的方向向量共线 两直线平行或重合,所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时,必须指出两直线不重合.
【变式训练2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1, A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设DA=a,DC=b,DD1=c,
探究三
利用空间向量证明线面、面面平行
【例3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
分析:(1)设向量n1为平面ADE的法向量,要让FC1∥平面ADE,需证明 ⊥n1.
(2)设向量n2为平面B1C1F的法向量,要让平面ADE∥平面B1C1F,需证明n1∥n2.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
(2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,
取y2=-1,则z2=2.所以,n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一个法向量.
因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思感悟 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法
方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示.
方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.
方法三:先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,再证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
2.利用空间向量证明面面平行,求出两平面的法向量,若两法向量是共线向量,则可判定两平面平行.
【变式训练3】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1, BD,AA1的中点,求证:GD1∥平面EFC.
(提示:此题还有其他两种证明方法:①建立空间直角坐标系,求出平面EFC的法向量n,证明n⊥ ;②连接GB与BD1,证明平面GBD1∥平面EFC.)
【易错辨析】
忽视直线与平面平行的条件致误
【典例】 已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v= (-2,1,-4),则直线l与平面α的位置关系为 .
错解:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,∴u⊥v.∴l∥α,即直线与平面平行.
答案:l∥α
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题错误在于对直线与平面平行的条件理解不清,混淆了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.
正解:∵u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,∴u⊥v.∴l∥α或l α,即直线与平面平行或在平面内.
答案:l∥α或l α
防范措施 1.在用向量方法判断直线与平面的平行关系时,必须考虑直线是否在平面内.
2.若向量a与平面α的法向量垂直,则以a为方向向量的直线有可能与平面平行,也有可能在平面内.
解析:A,B,C均能推出l∥α或l α,但不能确定一定是l∥α.
答案:D
随堂练习
1.给出下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2 α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且以向量a为方向向量的直线在平面α内,则a·n=0;④若向量n1,n2均为平面α的法向量,则n1∥n2.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:①③④正确;②中由α∥β,得n1∥n2.
答案:C
2.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内,若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y2等于( )
A.0 B.1 C.2 D.无意义
答案:B
3.若平面α,β的法向量分别为(2x,1,3),(1,-2y,9),且α∥β,则x= ,
y= .
解析:∵l∥α,∴l的方向向量与α的法向量垂直.
答案:-8
5.如图,在多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4, EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.
证明:∵EF⊥平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,
∴EF⊥AE,EF⊥BE.
又AE⊥EB,∴EB,EF,EA两两垂直.
以E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为
x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知,得E(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
又AB 平面DEG,
所以AB∥平面DEG.
本 课 结 束(共49张PPT)
第一章
1.4.1
2022
第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明有关直线、平面之间的垂直关系.
4.体会向量方法在研究直线、平面的位置关系中的应用.
5.培养直观想象、逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
空间中直线、平面的垂直
【问题思考】
1.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,两个平面α,β的法向量分别为n1,n2.类似空间中直线、平面平行的向量表示,试根据直线的方向向量、平面的法向量的定义回答下列问题:
(1)如何用u1,u2表示l1⊥l2
提示:l1⊥l2 u1⊥u2.
(2)如何用u1,n1表示l1⊥α
提示:l1⊥α u1∥n1
(3)如何用n1,n2表示α⊥β
提示:α⊥β n1⊥n2
2.填表:
3.做一做:(1)若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α斜交
(2)若平面α,β的法向量分别为m=(-1,2,4),n=(x,-1,-2),且α⊥β,则x的值为( )
解析:(1)∵n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2)=-2a,
∴n∥a.∴l⊥α.
(2)∵α⊥β,∴它们的法向量互相垂直.
∴m·n=0,即(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.故选B.
答案:(1)B (2)B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两条直线的方向向量互相垂直,则这两条直线垂直.( √ )
(2)若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面垂直.( × )
(3)若两个平面垂直,则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.( √ )
(4)若两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( × )
(5)若平面α,β的法向量分别为n1=(1,0,1),n2=(0,2,0),则α⊥β.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
利用向量证明线线垂直
【例1】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN= CC1.求证:AB1⊥MN.
则{a,b,c}构成空间的一个基底.由已知条件和正三棱柱的性质,
得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0.
证法二:设线段AB的中点为O,连接OC,作OO1∥AA1,交A1B1于点O1.
由题意知,可以以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
反思感悟 利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤:
(1)基向量法
①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;
②把两条直线的方向向量用基底表示;
③利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两条直线垂直.
(2)坐标法
①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;
②根据所求出点的坐标求出两条直线方向向量的坐标;
③计算两条直线方向向量的数量积为0;
④由方向向量垂直得到两直线垂直.
【变式训练1】 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3,M是BC的中点.在DD1上是否存在一点N,使MN⊥DC1 并说明理由.
解:存在点N∈DD1,使得MN⊥DC1,理由如下:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1(0,2,3),M .假设在DD1上存在一点N,使MN⊥DC1.
设N(0,0,h),0≤h≤3,
探究二
利用向量证明线面垂直
【例2】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为棱CC1的中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.
证明:如图所示,取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
平面ABC⊥平面BCC1B1,
平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,
所以AO⊥平面BCC1B1.
即AB1⊥BA1,AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD=B,所以AB1⊥平面A1BD.
(方法二)设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
本例中增加条件:E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF⊥平面ADE.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,
所以EF⊥EA,EF⊥ED.
又因为EA∩ED=E,所以EF⊥平面ADE.
反思感悟 1.坐标法证明线面垂直有两种思路
方法一:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量;
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
方法二:(1)建立空间直角坐标系;
(2)将直线的方向向量用坐标表示;
(3)求出平面的法向量;
(4)证明直线的方向向量与平面的法向量平行.
2.使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用方法二,否则常常选用方法一解决.
【变式训练2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1B, DC的中点,求证:AE⊥平面A1D1F.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1,
取z=1,则y=2.所以,n=(0,2,1)是平面A1D1F的一个法向量.
探究三
利用向量证明面面垂直
【例3】 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A= ,AB=AC=2A1C1 =2,D为BC中点.
证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
所以BC⊥AD,BC⊥AA1.
又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1.
因为BC 平面BCC1B1,
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
因为n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n2.
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
反思感悟 1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得证面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
【变式训练3】 在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°, ∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
证明:建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.
∵∠BCD=90°,
∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,且CD 平面BCD,
∴AB⊥CD.
又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
设n=(x,y,z)是平面BEF的法向量,
【规范解答】
【典例】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,C1B1的中点,G为CC1上任一点,tan∠ECD=4.
(1)求证:AG⊥EF;
(2)确定点G的位置,使AG⊥平面 F,并说明理由.
审题策略:(1)建立空间直角坐标系,利用向量法证明;(2)假设存在,设出点G的坐标,利用线面垂直这个条件求解.
规范展示:因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,所以四边形ABCD是正方形,设其边长为2a.
∠ECD是EC与底面所成的角,而∠ECD=∠ C1,已知tan∠ECD=4,所以CC1=4EC1=4a.
以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标,
则A(0,0,0),C(2a,2a,0),C1(2a,2a,4a),E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),
答题模板:第1步:设出正方形的边长,计算棱柱的高
第2步:建立空间直角坐标系
第3步:求相关点的坐标
第4步:求出直线的方向向量的坐标,利用方向向量垂直,证明线线垂直
第5步:根据点G在CC1上,设出点G的坐标
第6步:利用AG⊥ ,对应向量的数量积为0,列出等式,得到点G的坐标
第7步:根据点G的坐标,下结论
反思感悟 通过分析,得出规范解答本题的要点如下:
(1)建系之前,根据已知条件整理好正四棱柱的长、宽、高的长度,长度设得巧妙;
(2)利用中点坐标公式或点共线的关系求出相关点的坐标;
(3)正确计算出向量的坐标和记住数量积的坐标公式;
(4)正确将线线垂直、线面垂直转化为对应向量之间的关系;
(5)正确把握探究性问题的解题思路.
【变式训练】 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥DC;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.
(1)证明:由题意知,DA,DC,DP两两垂直.以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(2)解:G∈平面PAD,设G(x,0,z)满足条件.
随堂练习
1.若平面α,β的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则α与β的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
解析:∵a·b=-2+2+0=0,∴a⊥b.∴α⊥β.
答案:B
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线 垂直于( )
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
答案:B
3.直线l1与l2的方向向量分别为a1,a2,若a1⊥a2,则l1与l2的位置关系为 .
解析:两直线的方向向量垂直,则这两条直线也垂直.
答案:垂直
4.已知直线l与平面α垂直,直线的一个方向向量为u=(1,3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z= .
解析:∵l⊥α,v∥α,∴u⊥v.
∴(1,3,z)·(3,-2,1)=0,即3-6+z=0,解得z=3.
答案:3
5.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
取x1=1,则y1=1.所以,n1=(1,1,0)是平面AA1C1C的一个法向量.
设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
取z2=4,则x2=1,y2=-1.所以n2=(1,-1,4)是平面AEC1的一个法向量.
因为n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0.
所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
本 课 结 束第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系
课后训练巩固提升
A组
1.设直线l1的方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=( )
A.1 B.-2
C.-3 D.3
解析:l1⊥l2 a⊥b a·b=0.
所以2×2+1×2+(-2)×m=0,解得m=3.
答案:D
2.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
A.,-,4 B.,-,4
C.,-2,4 D.4,,-15
解析:∵,∴=0.
∴3+5-2z=0,解得z=4.
∵BP⊥平面ABC,∴.
∴解得
答案:B
3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( )
A.B1E=EB B.B1E=2EB
C.B1E=EB D.E与B重合
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),所以=(0,1,-2).
设E(2,2,t),0≤t≤2,则=(2,2,t).
由D1F⊥DE,得(0,1,-2)·(2,2,t)=0,即2-2t=0.
所以t=1,即E为BB1的中点.
答案:A
4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.位置关系不确定
解析:以D为原点,线段DA的长为单位长度,
DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意有D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
因为=0,=0,
所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.
答案:B
5.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是 (填“垂直”“平行”或“相交但不垂直”).
解析:因为m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.
所以l与α不垂直.
设平面α的法向量为n=(x,y,z),则计算步骤略,得到α的一个法向量n=.
∵n·m≠0,
∴l与α不平行.∴l与α相交但不垂直.
答案:相交但不垂直
6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和Q(cos x,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与OQ垂直,则x的值为 .
解析:由题意得.∴=0.
∴cos x·(2cos x+1)-(2cos 2x+2)=0.
∴2cos2x-cos x=0,解得cos x=0或cos x=.
又x∈[0,π],∴x=或x=.
答案:
7.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为 .
解析:易得=(-1,1,0).设M(x,y,z),则=(x,y,z-1),=(x-1,y-2,z+3).
∵点M在直线AB上,
∴共线.∴=λ,λ∈R.
∴x=-λ,y=λ,z-1=0.
又CM⊥AB,∴.∴=0.
∴-(x-1)+(y-2)=0.①
将x=-λ,y=λ,代入①,得λ=.
∴x=-,y=,z=1,
即点M的坐标为.
答案:
8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.
证明:以D为原点,线段DA的长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设E(a,0,0),其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F,
所以=(2a,1,-1),=(2a,0,0).
因为=0,=0,
所以EF⊥PB,EF⊥AB.
又PB∩AB=B,
所以EF⊥平面PAB.
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)在AB上是否存在点D,使得AC1⊥CD 并说明理由.
解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,∴AC与BC互相垂直.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直.以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
(1)证明:=(-3,0,0),=(0,-4,4).
∵=0,∴.∴AC⊥BC1.
(2)假设在AB上存在点D,使得AC1⊥CD.建系后得=(-3,4,0).
∵点D在AB上,∴可设=λ=(-3λ,4λ,0),其中λ∈[0,1],
则D(3-3λ,4λ,0).于是=(3-3λ,4λ,0).
=(-3,0,4).∵AC1⊥CD,
∴=0.
∴-9+9λ=0,解得λ=1,这样的点D存在.
∴当点D与B重合时,AC1⊥CD.
B组
1.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,那么直线l的单位方向向量s=( )
A.(0,1,-1) B.±
C.(0,,-) D.±(0,,-)
解析:由题意知,直线l的方向向量平行于平面α的法向量.故直线l的单位方向向量是s=±.
答案:B
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC
B.BD
C.A1D
D.A1A
解析:以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则C(0,1,0),E,D(0,0,0),B(1,1,0),
所以=(1,1,0).
因为+0=0,
所以.所以CE⊥BD.
答案:B
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),
所以=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,1).
因为=-=0,=0,
所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.
答案:B
4.(多选题)如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是( )
A.=0
B.AB⊥DC
C.BD⊥AC
D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
解析:建立以D为原点,DB,DC,DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系Dxyz(图略).
设折叠前Rt△ABC的斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),
所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),=(-1,0,0).
由于=0+0+1=1,故A错误;=0,故AB⊥DC,故B正确;
由于=0,故BD⊥AC,故C正确;
易知平面ADC的一个法向量为=(-1,0,0).
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则·n=x-z=0,·n=y-z=0.取z=1,
则x=1,y=1.故n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量.由于·n=-1,故D错误.
答案:BC
5.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则D(0,a,0).
设Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),
则=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).
由PQ⊥QD,得-1+x(a-x)=0,
即x2-ax+1=0.
由题意知方程x2-ax+1=0只有一解,
所以Δ=a2-4=0.
因为a>0,所以a=2,这时x=1∈[0,2].
答案:2
6.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE= .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,
则B1(0,0,3a),D,3a,C(0,a,0).
设E(a,0,z)(0≤z≤3a),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).
分析知B1D⊥CE,则要使CE⊥平面B1DE,只需,
则=0,即2a2+z2-3az=0,
解得z=a或2a.
故AE=a或2a.
答案:a或2a
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点,
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,请确定点E的位置并说明理由.
解:分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体棱长为a,
则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a,e),e∈[0,a].
(1)证明:由B,D的坐标,得=(-a,-a,0).
由A1,E的坐标,得=(-a,a,e-a).
∵=a2-a2=0.∴.∴A1E⊥BD.
(2)E为CC1的中点,理由如下:
取BD的中点O,连接A1O,OE,
则O,
.
∵A1B=A1D,O为BD中点,
∴A1O⊥BD.
又平面A1BD⊥平面EBD,平面A1BD∩平面EBD=BD,且A1O 平面A1BD,
∴A1O⊥平面EBD.
又OE 平面EBD,
∴A1O⊥OE.
∴=0,
即-+ae=0,
解得e=,即E.
∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.
