(共54张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
第一章
1.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.
2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算及其运算律.
3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用.
4.培养数学抽象、直观想象与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、空间向量的概念
【问题思考】
1.刘力同学放学后回家,先从学校大门口出发向北行走600米,再向东行走500米,最后乘电梯上行45米到达住处.据此回答下列问题:
(1)刘力同学放学回家的三个位移在同一平面内吗
提示:不在同一平面内.
(2)你能用示意图表示一下刘力同学放学回家的总位移吗
提示:
2.填空:(1)空间向量
①定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
②长度或模:空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(2)几类常见的空间向量
3.做一做:
给出下列命题:
①零向量没有确定的方向;
②互为相反向量的两个向量必共线;
③若向量a与向量b的模相等,则a,b的方向相同或相反;
④任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内.
其中真命题的序号是 .
解析:①正确;②正确;③已知|a|=|b|,但不能确定向量a,b的方向,故③错误;④正确.
综上可知,真命题为①②④.
答案:①②④
二、空间向量的线性运算
【问题思考】
1.如图,观察正方体中过同一个顶点A的三条棱所表示的向量 ,回答下列问题:
(1)三条棱所表示的向量在同一平面内吗 这三个向量是相等向量吗
提示:不在同一平面内.这三个向量不是相等向量.
提示:能运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,故任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.可类比平面向量的运算法则,借助平行四边形法则或三角形法则求解.
2.填空:(1)空间向量的加法、减法以及数乘运算.
由图①知
(2)与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(λ,μ∈R):
交换律:a+b=b+a;
结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;
分配律:(λ+μ)a= λa+μa,λ(a+b)= λa+λb.
(3)一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
答案:C
三、共线向量与共面向量
【问题思考】
1.根据平面向量知识,回答下列两个问题:
(1)在平面向量中,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是什么 对于空间向量是否也成立呢
提示:a∥b(b≠0)的充要条件是存在实数λ,使a=λb.对于空间向量仍然成立.
(2)已知平面内任意两个不共线向量a,b,对于这个平面内任意一个向量p能否用向量a,b表示 怎样表示
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.填空:
(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 =λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
(3)与直线、平面平行的向量:如图,如果表示
向量a的有向线段 所在的直线OA 与直线l
平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果
直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称
向量a平行于平面α.
(4)共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
(5)三个向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
3.做一做:对于空间中任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是( )
A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线也不共面向量
解析:当向量a,b不共线时,由向量共面的充要条件知这三个向量a,b,2a-b共面;当向量a,b共线时,这三个向量a,b,2a-b共线,也共面,所以它们一定是共面向量.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任意一个空间向量都可以进行平移.( √ )
(2)任意两个非零空间向量相加时,一定可以用平行四边形法则运算.( × )
(3)若表示两个空间向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这两个向量不是共面向量.( × )
(5)若p=xa+yb(其中x,y∈R),则p与a,b共面.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
空间向量的有关概念
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A.若|a|<|b|,则aB.若a,b互为相反向量,则a+b=0
C.空间中两平行向量相等
分析:根据相等向量、相反向量的概念判断.
解析:(1)向量的模有大小,但向量不能比较大小,故A错;相反向量的和为0,不是0,故B错;相等向量满足模相等,方向相同两个条件,平行向量不一定具备,故C错;D正确.
反思感悟 1.空间向量关于零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念与平面向量相对应的概念完全相同.
2.由于向量是由其模和方向确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决.
3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线.
【变式训练1】 (1)下列说法:
①若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同;
其中错误的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:(1)①错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
探究二
空间向量的线性运算
解:(1)因为P是C1D1的中点,
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.
(2)要注意数形结合思想的运用,培养直观想象素养.
【变式训练2】 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
探究三
向量共线问题
证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点,
又点F不在直线EH上,
∴四边形EFGH是梯形.
反思感悟 1.本题利用空间向量共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
2.判断或证明两空间向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
求证:E,F,B三点共线.
探究四
空间向量共面问题
【例4】 已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外的任意一点.
分析:要判断三个向量共面,即判断其中一个向量是否可以用另外两个向量线性表示.
反思感悟 1.证明三个空间向量共面,常用如下方法:
(1)证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a=xb+yc,则向量a,b,c共面.
(2)寻找平面α,证明这些向量与平面α平行.
2.对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
【变式训练4】 已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O,判断在下列条件下,点P是否与点A,B,M共面.
(2)∵4+(-1)+(-1)=2≠1,
∴点P与点A,B,M不共面.
【易错辨析】
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:对向量的减法法则理解、记忆错误,进而对向量的差推断运算错误.
2.熟知向量加减运算法则的代数运算和几何运算形式,是解决这类问题的关键.
随堂练习
1.下列说法正确的是( )
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共线,故C错误;由于向量的模是一个实数,故可以比较大小,故D正确.
答案:D
答案:B
4.已知非零向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k= .
解析:若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,
则2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],其中λ∈R.
因为非零向量e1,e2不共线,
5.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E是上底面A'B'C'D'的中心,求下列各式中x,y,z的值.
本 课 结 束第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
课后训练巩固提升
A组
1.在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则等于( )
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
解析:=b-a+c.故选C.
答案:C
2.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( )
A.m,n,p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m,n,p共面
解析:因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,所以p=m+n.又m与n不共线,所以m,n,p共面.
答案:D
3.已知点A,B,C不共线,对空间任意一点O,若,则P,A,B,C四点( )
A.不共面 B.共面
C.不一定共面 D.无法判断
解析:∵=1,∴P,A,B,C四点共面.
答案:B
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1的中点,则( )
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
解析:由题图观察,平移后可以首尾相接,故有=0.
答案:A
5.(多选题)给出下列四个命题,其中错误的是( )
A.空间向量就是空间中的一条有向线段
B.不相等的两个空间向量的模必不相等
C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
D.空间中任意两个单位向量必相等
解析:有向线段可表示向量,但向量不是有向线段,向量的起点和终点不确定,A错误;相等向量大小相等,方向相同,不相等的两个向量可能模相等,方向不同,B错误;C正确;空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,D错误.
答案:ABD
6.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,,若=x+y(),则实数x= ,y= .
解析:),所以x=1,y=.
答案:1
7.已知A,B,P三点共线,O为空间任意一点,且与A,B,P三点不共线,+β,则实数β= .
解析:∵A,B,P三点共线,
∴=λ,即=λ(),=(1-λ)+λ.
又+β,
∴解得β=.
答案:
8.已知A,B,C,D四点满足任意三点不共线,但四点共面,O是空间任意一点,且点O不在平面ABCD内,=2x+3y+4z,则2x+3y+4z= .
解析:∵A,B,C,D四点共面,
∴=m+n+p,且m+n+p=1.
由已知得=(-2x)+(-3y)+(-4z),
∴(-2x)+(-3y)+(-4z)=1.
∴2x+3y+4z=-1.
答案:-1
9.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值.
(1)+x+y;
(2)=x+y.
解:根据题意,画出大致图形,如图所示.
(1)∵)=,
∴x=y=-.
(2)∵=2,
∴=2.
又=2,∴=2.
∴=2-(2)=2-2.
∴x=2,y=-2.
10.已知e1,e2为两个不共线的非零向量,且=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2 ,求证:A,B,C,D四点共面.
证明:假设存在实数λ,μ,使得=λ+μ,
即e1+e2=λ(2e1+8e2)+μ(3e1-3e2)=(2λ+3μ)e1+(8λ-3μ)e2.
∵e1,e2为两个不共线的非零向量,
∴解得
∴.
由向量共面的充要条件知,共面.又向量有一个公共的起点A,
∴A,B,C,D四点共面.
B组
1.若P,A,B,C为空间四点(点P,A,B,C不共线),且有=α+β,则α+β=1是A,B,C三点共线的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若α+β=1,则=β(),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则=λ,故=λ(),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.
故选C.
答案:C
2.如图所示,已知在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为点N为BC的中点,
所以).
又,所以)-.
所以)-.
所以)-.
答案:D
3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必( )
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
解析:因为+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,且11-6-4=1,
所以M,A1,B,D1四点共面,故选C.
答案:C
4.(多选题)下列四个命题是真命题的是( )
A.若,则A,B,C,D四点共线
B.若,则A,B,C三点共线
C.若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b
D.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0
解析:根据共线向量的定义,若,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故A是假命题;,且有公共起点A,故B是真命题;由于a=4e1-e2=-4-e1+e2=-4b,故a∥b,故C是真命题;易知D也是真命题.
答案:BCD
5.如图,在三棱锥O-ABC中,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,则等于 .
解析:由题意知).
因为=a,=b,=c,
所以(-a-b+c).
答案:(-a-b+c)
6.设e1,e2是两个不共线的空间向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线,则k= .
解析:=(-e1-3e2)+(2e1-e2)=e1-4e2.
∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使=λ.
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2).∴解得k=-8.
答案:-8
7.如图,M,N分别是空间四边形ABCD的棱AB,CD的中点.请判断向量与向量是否共面.
解:由题图可得,①
,②
因为=-=-,
所以①+②得2,
即.故向量与向量共面.
8.如图,四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断是否共线.
解:∵M,N分别是AC,BF的中点,
且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
∴,
=-.
∴=-.
∴+2=2()=2.
∴,即共线.
