(共56张PPT)
第2课时 用空间向量研究夹角问题
第一章
1.4.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.
3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题.
4.能描述用向量方法解决夹角问题的程序,体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用.
5.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 直线与直线所成的角
【问题思考】
1.根据立体几何知识,我们怎样求两条异面直线a,b的夹角 异面直线所成的角的范围是什么
2.设直线a,b的夹角为θ,方向向量分别为a,b,那么夹角θ与方向向量的夹角
之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
提示:当0°≤≤90°时,θ=;
当90°<≤180°时,θ=180°-.cos θ=|cos|.
3.填空: 异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos|
= .
4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1= 2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设AB=1,
答案:D
二、直线与平面所成的角
【问题思考】
1.如图,直线AB与平面α斜交,交点为B,怎样求直线AB与
平面α所成的角 直线与平面α所成的角的范围是什么
2.如图,设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成的角为θ,那么θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的三角函数值满足什么等式
提示:=90°-θ或90°+θ.sin θ=|cos|.
3.填空: 直线与平面所成的角
直线与平面相交,设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量为u,平面的
法向量为n,则sin θ=|cos|= .
4.做一做:已知向量m,n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量,若cos=- ,则l与α所成的角为( )
A.30° B.60° C.150° D.120°
解析:设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos|= ,即θ=60°.故选B.
答案:B
三、平面与平面所成的角
【问题思考】
1.怎样求二面角α-l-β的平面角
提示:在棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α内作OA⊥l,在半平面β内作OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.范围是[0,π].
2.如图,设平面α,β的法向量分别是n1和n2,平面α与平面β的夹角为θ,那么θ与向量的夹角之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
提示:=θ或180°-θ.cos θ=|cos|.
3.填空: 平面与平面所成的角
(1)定义:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
(2)若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos|
= .
4.做一做:平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β的夹角为 .
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互补.( √ )
(2)直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角.( × )
(3)平面α与平面β的夹角的大小就等于这两个平面形成的二面角α-l-β的大小.( × )
(4)平面α与平面β的夹角为θ,法向量分别为n1,n2,则θ=.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求异面直线所成的角
【例1】 如图,在三棱锥V-ABC中,顶点C在空间直角坐标系的原点处,顶点A,B,V分别在x轴、y轴、z轴上,D是线段AB的中点,且AC=BC=2,∠VDC= θ.当θ= 时,求异面直线AC与VD所成角的余弦值.
反思感悟 求异面直线所成角的方法
(1)几何法:
①作图:选择“特殊点”作异面直线的平行线,作出所求角;
②证明:证明所作角符合定义;
③计算:解三角形求解.
(2)坐标法:
①建系:建立空间直角坐标系;
②找坐标:求出两条异面直线的方向向量的坐标;
③求夹角:利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角;
④下结论:结合异面直线所成角的范围,得到异面直线所成的角.
提醒:两条异面直线所成角的取值范围是 .
【变式训练1】 如图所示,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.
解:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设CB=CA=CC1=1,
探究二
求直线与平面所成的角
【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC, ∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求BD与平面ADMN所成的角.
分析:(1)建系,用向量方法证明垂直.
(2)先计算平面ADMN的法向量与直线BD的方向
向量的夹角,再转化为直线BD与平面ADMN所成的角.
解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
反思感悟 求直线与平面所成的角的方法与步骤
思路一:找直线在平面内的射影,充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值).
思路二:利用向量法求直线与平面所成的角θ的基本步骤
【变式训练2】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°, E,F分别为C1C,BC的中点.求直线A1B与平面AEF所成角的正弦值.
解:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),
探究三
求平面与平面的夹角
【例3】 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD的夹角的大小.
分析:有两种思路,思路一:根据二面角的定义找出平面EAC与平面ABCD的夹角,再求其大小;思路二:建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用法向量的夹角与平面间的夹角之间的关系求解.
解法一:以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设PA=AB=a,AC=b,连接BD,与AC的交点为O,连接OE.取AD的中点F,连接OF,EF.
解法二:建系如解法一.∵PA⊥平面ABCD,
反思感悟 利用向量方法求平面与平面的夹角的大小时,多采用法向量法,具体求解步骤如下:
(1)建立空间直角坐标系;
(2)分别求出两个平面的法向量n1和n2;
(3)设两平面间的夹角为θ,则cos θ=|cos|;
(4)根据余弦值,确定两平面间的夹角的大小.
【变式训练3】 如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,BC= ,PA=AC=1,求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值.
解法一:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,
解法二:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
【规范解答】
利用空间向量解决空间几何的综合问题
【典例】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1 =AC=CB= AB.求平面A1CD与平面A1 的夹角的正弦值.
审题策略:建立空间直角坐标系,利用向量方法进行求解.
答题模板:第1步:建立空间直角坐标系
第2步:设点,求出向量坐标
第3步:用待定系数法求法向量坐标
第4步:求两个法向量的夹角的余弦值,进而求得正弦值.
反思感悟 通过分析,得出规范解答本题的要点如下:
(1)利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而恰当地建立空间直角坐标系;
(2)利用中点公式正确地求出相关点的坐标;
(3)用待定系数法求出平面的法向量;
(4)利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为两平面夹角的正弦值.
【变式训练】 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求直线DP与平面ABFD所成角的正弦值.
(1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF.
因为PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF.
又BF 平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解:作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.
由(1)可得,DE⊥PE.
又DP=2,DE=1,
随堂练习
1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°,则l1与l2所成的角为( )
A.30° B.150°
C.30°或150° D.以上均不对
解析:l1与l2所成角与其方向向量的夹角相等或互补,且异面直线所成角的
范围为 ,故l1与l2所成的角为30°.
故选A.
答案:A
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为( )
答案:B
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,
则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
3.若平面α与平面β相交于直线l,在两个平面内与l垂直的两个向量分别为u=(0,-1,3),v=(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为 .
4.已知在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是BC的中点.则直线A'C与DE所成角的余弦值为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
5.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1 =O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明:O1O⊥底面ABCD.
(2)若∠CBA=60°,求平面B1OC1 与平面BDD1B1夹角的余弦值.
(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,
所以CC1⊥AC,DD1⊥BD,
又CC1∥DD1∥OO1,
所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.
因为AC∩BD=O,
所以O1O⊥底面ABCD.
(2)解:因为四棱柱的所有棱长都相等,
所以四边形ABCD为菱形,即AC⊥BD,
又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设四棱柱的棱长为2.
本 课 结 束(共43张PPT)
第1课时 用空间向量研究距离问题
第一章
1.4.2
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题.
3.能描述用向量方法解决距离问题的程序,体会向量方法在研究几何距离问题中的作用.
4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、 点到直线的距离
【问题思考】
(2)设与b方向相同的单位向量为e,那么向量a在向量b上的投影向量等于什么
(3)在上图中,怎样求线段MM1的长度 长度的表达式是什么
提示:在Rt△MOM1中,由勾股定理,
2.填空: 点到直线的距离
3.做一做:
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为 .
解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系,连接GD1,
则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),
二、点到平面的距离
【问题思考】
1.如图,平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,回答下列问题:
(1)点P到平面α的距离是哪一线段的长度
提示:线段PQ.
(2)从向量投影的角度来看,点P到平面α的距离又是什么
(3)根据向量投影的定义,你能得出点P到平面α的距离的表达式吗
2.填空: 点到平面的距离
3.做一做:已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为( )
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)点到直线的距离实质上就是点与直线上的一点构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的模.( × )
(2)点到平面的距离实质就是从该点出发的斜线段对应的向量在平面的法向量上的投影向量的长度.( √ )
(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
点到直线的距离
【例1】 如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,求点M到直线AD1距离的最小值.
分析:设点M的坐标为(0,m,m),利用点到直线的距离公式用m表示距离,把距离表示成关于m的函数.
若本例中的“DC1”改为“BB1”,其他条件不变,试求点M到直线AD1距离的最大值.
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
第一步:依据图形先求出直线的单位方向向量u.
解:取AC的中点D,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.
解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
(2)根据题意,知A1D1 BC,
所以四边形A1BCD1为平行四边形.所以A1B∥D1C.
因为A1B 平面B1CD1,D1C 平面B1CD1,
所以A1B∥平面B1CD1.
同理BD∥平面B1CD1.
因为A1B∩BD=B,A1B 平面A1BD,BD 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面B1CD1.
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.
反思感悟 用向量方法求点面距的步骤
(1)建系:建立适当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
提醒:用向量方法求线面距、面面距时一般要转化为求点面距.
【变式训练2】 如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
解:由题意知DA,DC,DF两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
(1)设F(0,0,z).
∵四边形AEC1F为平行四边形,
(2)设n1为平面AEC1F的一个法向量,
显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),
【易错辨析】
用向量方法求点到平面的距离时因选错向量致误
【典例】 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2 ,侧棱长为4,E,F分别为AB,BC的中点,则点D1到平面B1EF的距离d= .
错解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
防范措施 1.平面的法向量要计算正确.
2.计算点到平面的距离时,选取的向量是该点与平面内的一点构成的向量.
【变式训练】 如图,已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,N,D分别是AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
∵N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),
随堂练习
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E是CC1的中点,则点E到A1B的距离为( )
答案:D
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.连接A1E.
∵A1(4,0,4),B(4,4,0),E(0,4,2),
2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点C1到平面A1BD的距离是( )
答案:D
解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AC1,BC1,如图所示.
3.已知以向量n=(6,3,4)为方向向量的一条直线和直线l垂直,点A(2,0,2)在直线l上,则点P(-4,0,2)到直线l的距离为 .
4.已知直线AB∥平面α,平面α的法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为 .
5.已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.
解:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,
则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),
本 课 结 束1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
课后训练巩固提升
A组
1.已知△ABC的三个顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由已知得=(4,-5,0),=(0,4,-3).
设边AC上的高为BD.||==4,||=,
所以边AC上的高BD==5.
答案:C
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是( )
A. B. C. D.
解析:分别以PA,PB,PC所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以=(1,0,0).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),
则点P到平面ABC的距离d=.
答案:D
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在直线的距离为( )
A.a B.a
C.a D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,连接A1B.
∵A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a),
∴=(0,a,-a),=(-a,0,a).
取a==(0,a,-a),u=.
∴点A1到BC1的距离为a.
答案:A
4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A. B.
C. D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0),
所以=(-1,0,1),=(0,1,-1),
.
因为,且直线AD1与MN不重合,
所以MN∥AD1.
又MN 平面ACD1,
所以MN∥平面ACD1.
所以直线MN与平面ACD1之间的距离等于点M到平面ACD1的距离.
设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0.
可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.
连接AM,因为-(1,0,0)=,
所以点M到平面ACD1的距离d=.
所以直线MN与平面ACD1间的距离为.
答案:D
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为 .
解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).
设M为AC中点,则M,
所以.
因为AD1=CD1,
所以MD1⊥AC.
所以MD1的长即为点D1到AC的距离.
而||=,所以点D1到AC的距离为.
答案:
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D到直线GF的距离为 .
解析:分别以向量为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立如图所示的空间直角坐标系,连接DF,
则D(0,0,0),F(1,1,0),G(0,2,1),
∴=(1,-1,-1),=(1,1,0).
取a==(1,1,0),u=,则a2=2,a·u=0.
∴点D到直线GF的距离为.
答案:
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz,
则D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D(0,0,1),所以=,=(1,1,0).
可求得平面EFD1B1的一个法向量为n=.
又=(0,0,1),所以点D到平面EFD1B1的距离d=.
答案:
8.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.
解法一:如图,作AH⊥BD,垂足为H,连接PH.
∵PA⊥平面ABCD,且BD 平面ABCD,
∴PA⊥BD.
又PA∩AH=A,∴BD⊥平面PAH.
∵PH 平面PAH,∴PH⊥BD.
∴PH即为点P到BD的距离.
在Rt△ABD中,可得AH=.
在Rt△PAH中,由勾股定理得PH=.
∴点P到直线BD的距离为.
解法二:分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
∵P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
∴=(3,0,-1),=(-3,4,0).
取a==(3,0,-1),u=,则a2=10,a·u=-.
∴点P到直线BD的距离为.
9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D.
(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.
解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),D1(0,0,1),D(0,0,0).
(1)证明:设E(1,y,0)(0≤y≤2),则=(1,y,-1),=(-1,0,-1).
由于=0,故D1E⊥A1D.
(2)建系后,知A(1,0,0),C(0,2,0),则=(-1,2,0),=(1,0,-1).
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),
则所以
可取n=(2,1,2).
当E为AB的中点时,E(1,1,0),则=(0,1,0),
所以点E到平面ACD1的距离为.
B组
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是( )
A. B.
C. D.
解析:以向量为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立空间直角坐标系Bxyz(图略),则=(2,0,0),=(1,0,2).
取a==(2,0,0),u=,
则a2=4,a·u=.所以点A到直线BE的距离为.
答案:B
2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4,且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点,则点E到平面O1BC的距离为( )
A.2 B.1
C. D.3
解析:由题意知OO1⊥平面ABCD,所以OO1⊥OA,OO1⊥OB.又OA⊥OB,
所以可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
因为底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形,
所以OA=2,OB=2.
则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3),
所以=(0,2,-3),=(-2,0,-3).
设平面O1BC的法向量为n=(x,y,z),
则n⊥,n⊥,
所以所以
所以可取n=(-,3,2).
因为E是O1A的中点,
所以E.
所以.
所以点E到平面O1BC的距离为.
答案:C
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( )
A. B.
C. D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则A1(0,-1,0),B(0,1,1),C(,0,1),A(0,-1,1),
所以=(0,0,1),=(0,2,1),=(,1,1).
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,可得n=为平面A1BC的一个法向量.
所以点A到平面A1BC的距离为.
答案:B
4.已知在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,将△BCE沿BE折起成△BC1E,而且使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD,则点C1到直线AB的距离为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(6,0,0),C1(4,2,2),D(0,4,0),
于是=(-6,0,0),=(-2,2,2).
向量的单位向量u=(-1,0,0),取a==(-2,2,2).
所以点C1到AB的距离为=2.
答案:2
5.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz,
则A1(1,0,0),B1(1,1,0),D1(0,0,0),N,
∴=(1,1,0),.
∵E,F,M,N分别是所在棱的中点,
∴易证平面A1EF∥平面B1NMD1,
∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为点A1到平面B1NMD1的距离.
设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z).
由n·=0,n·=0,
得平面B1NMD1的一个法向量n=(2,-2,1).
又=(0,1,0),∴点A1到平面B1NMD1的距离为.
答案:
6.如图,已知正三角形ABC的边长为4,E,F分别为BC和AC的中点,PA⊥平面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,求AE与平面α的距离.
解:设的单位向量分别为e1,e2,e3,则{e1,e2,e3}可构成空间的一个基底,且
e1·e2=e2·e3=e3·e1=0.由已知得=2e1,=2e2,=2e3,
)=-2e1+e2+e3.设n=xe1+ye2+e3是平面α的一个法向量,则n⊥,n⊥.所以
即
解得所以n=e1+e3.
因为AE∥α,所以直线AE到平面α的距离即为点A到平面α的距离.所以直线AE到平面α的距离为.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC =90°,PA=AD=2,AB=BC=1,请问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为 若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
解:直线PA上存在点M满足题意.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),
所以=(1,1,-2),=(0,2,-2).
设M(0,0,z0)(0≤z0≤2),又设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则所以
取z=1,则x=1,y=1.所以,n=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.
又因为=(0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=(2-z0).
令d=,可得z0=1.
所以存在点M,且M(0,0,1)是线段AP的中点.
综上可知,线段AP的中点到平面PCD的距离为.第2课时 用空间向量研究夹角问题
课后训练巩固提升
A组
1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60°
C.30° D.以上均错
解析:设直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos 120°|=.∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.
答案:C
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则直线AC与BD1所成角的余弦值为( )
A.0 B.
C.- D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∵D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
∴=(-2,-2,3),=(-2,2,0).
∵=0,∴.
∴AC⊥BD1.
故直线AC与BD1所成角的余弦值为0.
答案:A
3.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,点E为C1D1的中点,则平面ABB1A1与平面A1BE的夹角的余弦值为( )
A.- B.-
C. D.
解析:设AD=1,则A1(1,0,2),B(1,2,0),所以=(0,2,-2).
因为E为C1D1的中点,所以E(0,1,2).
所以=(-1,1,0).设m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,
由·m=0,·m=0,可得平面A1BE的一个法向量为m=(1,1,1).
又DA⊥平面ABB1A1,所以=(1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量.
所以cos=.
设所求夹角为θ,则cos θ=|cos|=.
即平面ABB1A1与平面A1BE夹角的余弦值为.
故选C.
答案:C
4.(多选题)正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所形成的二面角的大小为( )
A.30° B.45°
C.135° D.150°
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),于是=(0,1,0).
取PD的中点E,连接AE,则E,于是.
易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,
∵cos<>=,∴平面PAB与平面PCD所形成的二面角的余弦值为±.
∴平面PAB与平面PCD所形成的二面角的大小为45°或135°.
答案:BC
5.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为 .
解析:设直线l与平面α所成的角是θ,
则sin θ=|cos|=.
答案:
6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是 .
解析:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,
从而.
由于cos<>=,故异面直线AM与CN所成角的余弦值为|cos<>|=.
答案:
7.已知点E,F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,则平面AEF与平面ABCD的夹角的正切值等于 .
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为1,则平面ABCD的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面AEF的法向量为n2=(x,y,z).
因为A(1,0,0),E,F,
所以.
由n2·=0,n2·=0,可得平面AEF的一个法向量是n2=(1,-1,3).
所以cos=.设平面AEF与平面ABC的夹角为α,则cos α=|cos|=,从而sin α=.所以tan α=.
答案:
8.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.
解:∵四边形ACDE是正方形,
∴EA⊥AC.
∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,且EA 平面ACDE,
∴EA⊥平面ABC.
以A为原点,以过点A,且平行于BC的直线为x轴,分别以AC,AE所在直线为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).
∵M是正方形ACDE的对角线的交点,∴M(0,1,1).
(1)证明:=(0,1,1),=(0,2,-2),=(2,0,0),
∵=0,=0,∴.
∴AM⊥EC,AM⊥CB.
又EC∩CB=C,∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC,
∴为平面EBC的一个法向量.
∵=(0,1,1),=(2,2,0),
∴cos<>=.
∴<>=60°.
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
9.如图,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.
(1)求证:AB∥GH;
(2)求平面EFQ与平面PDC的夹角的余弦值.
(1)证明:因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,所以EF∥AB,DC∥AB.所以EF∥DC.
又因为EF 平面PCD,DC 平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
又因为EF 平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,所以EF∥GH.又因为EF∥AB,所以AB∥GH.
(2)解 在△ABQ中,AQ=2BD,AD=DQ,
所以∠ABQ=90°.
又因为PB⊥平面ABQ,所以BA,BQ,BP两两垂直.
以B为原点,BA,BQ,BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BA=BP=BQ=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),
所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1),=(-1,-1,2),=(0,-1,2).
设平面EFQ的法向量为m=(x1,y1,z1).
由m·=0,m·=0,得平面EFQ的一个法向量为m=(0,1,2).
设平面PDC的法向量为n=(x2,y2,z2).
由n·=0,n·=0,
得平面PDC的一个法向量为n=(0,2,1).
所以cos=.
设平面EFQ与平面PDC的夹角为θ,则cos θ=|cos|=.
所以平面EFQ与平面PDC的夹角的余弦值为.
B组
1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成的角为( )
A.60° B.90°
C.45° D.以上都不对
解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),
所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).
设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),
则
可得平面A1ED1的一个法向量为n=(0,1,1).
因为cos==-1,
所以=180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
答案:B
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,
可知∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°.
设B1C1=1,则CC1==DD1.
∵∠DC1D1=45°,∴C1D1=.
∴B1(,0,0),C(,1,),C1(,1,0),D(0,1,).
∴=(0,1,),=(-,0,).
∴cos<>=.
∴直线B1C与C1D所成角的余弦值为.
答案:A
3.已知Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,D为AB的中点,沿中线将△ACD折起使得AB=,则平面ACD与平面BCD的夹角为( )
A.60° B.90°
C.120° D.150°
解析:取CD中点E,连接AE,则AE⊥CD.在平面BCD内过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,
则<>或其补角为平面ACD与平面BCD的夹角.
依题意知AE=BF=,EF=2,AB=,
由=()2,得13=3+4+3+2×3×cos<>,则cos<>=-.
∴<>=120°.
∴平面ACD与平面BCD的夹角为60°.
答案:A
4.如图所示,在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
解析:设AC与BD交于点O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设PA=AD=AC=1,则BD=,所以O(0,0,0),B,F,C,P.
易知为平面BDF的一个法向量.
可得平面PBC的一个法向量为n=(1,).
所以cos=.
设平面PBC与平面BDF的夹角为θ,则cos θ=|cos|=.所以sin θ=,tan θ=.
所以平面PBC与平面BDF的夹角的正切值为.
答案:D
5.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是 .
解析:设正三棱柱的棱长为2.
因为,
所以 =()·=0+2-2-0=0,所以.
所以异面直线AB1与BM的夹角为90°.
答案:90°
6.空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a= .
解析:平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1).
设平面α的法向量为u=(x,y,z),则有即3x=4y=az.
所以可取u=.由题意得|cos|=,已知a>0,故a=.
答案:
7.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值.
解:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4) ,C1(0,2,4).
(1)因为=(2,0,-4),=(1,-1,-4), 所以cos<>=.
设异面直线A1B与C1D所成的角为θ,则cos θ=|cos<>|=.
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0.
因为=(1,1,0),=(0,2,4),所以x+y=0,y+2z=0.所以可取n1=(2,-2,1).
取平面ABA1的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1的夹角为θ,
则cos θ=|cos|=.所以sin θ=.
因此,平面ADC1与平面ABA1的夹角的正弦值为.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2, AD=1,M是棱PB的中点.
(1)求证:AM∥平面PCD.
(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值.
解:由题意知,AP,AB,AD两两垂直.以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1).
(1)证明:=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).
设平面PCD的法向量n=(x,y,z),
则所以
取z=1,则x=2,y=-1.所以n=(2,-1,1)是平面PCD的一个法向量.
因为·n=0,所以⊥n.
又AM 平面PCD,所以AM∥平面PCD.
(2)由题意知=λ=λ(1,2,0),0≤λ≤1.
连接AN,因为=(1,0,0),所以=(1,0,0)+λ(1,2,0)=(1+λ,2λ,0).
所以=(1+λ,2λ,0)-(0,1,1)=(1+λ,2λ-1,-1).
又平面PAB的一个法向量为m=(1,0,0),
所以cos<,m>=>0,
设直线MN与平面PAB所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,m>|=.
所以,当,即λ=时,sin θ取得最大值,也就是直线MN与平面PAB所成的角最大.