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1.1.2 空间向量的数量积运算
第一章
1.1
2022
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握空间向量的夹角的概念.
2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
4.能用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.
5.加强数学抽象和直观想象的培养,进一步提升逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、空间向量的夹角
【问题思考】
1.平面内的两个向量a,b,它们的夹角是如何定义的 范围多少 这个定义适用于空间向量吗
提示:定义:两个非零向量a,b,O是平面内的任意一点,作 ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.范围:θ∈[0,π].这个定义也适用于空间向量.
2.填空:空间两个向量的夹角
(1)定义:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,
作 ,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作
.
(2)范围:∈[0,π].如果=0,那么向量a,b同向
共线;如果=π,那么向量a,b反向共线,所以若a∥b,
则=0或π;如果= ,那么向量a,b互相垂直,
记作a⊥b.
3.做一做:如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,下列各对向量的夹角为135°的是( )
B
二、空间向量的数量积及其性质
【问题思考】
1.平面内的两个非零向量a,b,它们的数量积a·b是如何定义的 这个定义适用于空间向量吗
提示:定义:两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积或内积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.这个定义也适用于空间向量.
2.填表:
3.做一做:(1)下列式子正确的是( )
A.|a|a=a2 B.(a·b)2=a2b2
C.a(a·b)=b·a2 D.|a·b|≤|a||b|
(2)已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=( )
解析:(1)根据数量积的定义,知A,B,C均不正确.
|a·b|=|a||b||cos|≤|a||b|,故D正确.
答案:(1)D (2)D
三、向量的投影
【问题思考】
1.已知两个非零平面向量a,b,怎样作向量a向向量b的投影 得到的投影向量是怎么定义的
2.填空:(1)如图①,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影,如图②所示.
3.做一做:已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是 .
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)=.( √ )
(3)若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的充要条件.( × )
(4)对于向量a,b,c,若a·b=a·c,则b=c.( × )
(5)对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c).( × )
(6)向量a向向量b投影,得到的是与向量b同向的向量.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
空间向量的数量积的计算
【例1】 如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:
分析:求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,根据数量积的定义进行计算.
反思感悟 1.在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.在解题过程中要注意两向量的夹角,正确运用两向量夹角的定义.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与向量的数乘运算区分开,向量的数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为数量.
(2)书写规范:不能写成a×b,也不能写成ab.
【变式训练1】 已知空间向量a,b满足|a|=4,|b|=8,a与b的夹角为150°,求下列各式的值.
(1)a·b;(2)(a+2b)·(2a-3b).
探究二
利用数量积证明空间中的垂直关系
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.
同理可证,EF⊥B1C.
∵AB1∩B1C=B1,且AB1,B1C 平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
反思感悟 当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.
【变式训练2】 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证:
(1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'.
所以AC'⊥B'C.
同理可证,AC'⊥B'D'.
又B'C,B'D' 平面B'CD',
且B'C∩B'D'=B',
所以AC'⊥平面B'CD'.
探究三
利用数量积求向量的夹角
反思感悟 求两个非零向量夹角的两种途径:
(1)转化为求平面角:把所求向量平移到同一个起点上,转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
(2)利用数量积的定义求向量夹角的余弦值,求出cos= 的值,然后确定的大小.
【变式训练3】 如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, ∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量 的夹角的余弦值.
探究四
利用数量积求距离(即线段长度)
反思感悟 求两点间的距离或线段长度的方法如下:
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
(3)利用|a|= ,通过计算求出|a|,即得所求距离.
【变式训练4】 如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,求点E,F间的距离.
【易错辨析】
将向量的运算性质与实数的运算性质混淆而致误
【典例】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a与b的夹角.
两式相减,得46a·b-23b2=0,即b·(2a-b)=0,
则b=0(不合题意,舍去)或2a-b=0.
由2a-b=0,知a与b共线,且a与b方向相同.
因此a与b的夹角为0°.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:本题误用实数的运算性质,即对于实数a,b,若ab=0,则必有a=0或b=0.但对于向量a与b,若满足a·b=0,则不一定有a=0或b=0.
两式相减,得46a·b-23b2=0,
即b2=2a·b,代入7a2+16a·b-15b2=0,
得a2=b2=2a·b.
因此向量a与b的夹角为60°.
防范措施 1.在实数的乘法运算中,若ab=ac(a≠0),则b=c;若ab=0,则a=0或b=0.这些在向量的运算中都不成立,如果混淆就会导致一些错误的出现,解题时要格外注意.
2.注意向量运算与实数运算的区别.
【变式训练】 (多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们不共线,下列四个命题中,正确的是( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
C.a2b=b2a
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析:由于数量积不满足结合律,故A不正确;由数量积的性质,知B正确;C中,由题意知a2b=b2a一定不成立;D中,运算正确.
答案:BD
随堂练习
1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
解析:由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1.
由a·b=0,即(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,
得2k-12=0,解得k=6.
答案:B
答案:D
答案:0
5.如图所示,在 ABCD中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.
本 课 结 束1.1.2 空间向量的数量积运算
课后训练巩固提升
A组
1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析:a·b=|a||b| cos=1 =0°,即a与b共线.反之不成立,因为当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.
答案:A
2.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角=( )
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
解析:∵a+b+c=0,∴a+b=-c.
∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|c|2.
∴a·b=.∴cos=.
答案:D
3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析:)·)=a2.
答案:C
4.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则△BCD是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
解析:=()·()=+||2=||2>0,
同理可证>0,>0.
所以△BCD的每个内角均为锐角.故△BCD是锐角三角形.
答案:B
5.(多选题)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为PA⊥平面ABCD,且CD 平面ABCD,所以PA⊥CD.故=0.因为AD⊥AB,PA⊥AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.因为PB 平面PAB,所以AD⊥PB.故=0.同理,=0.因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD.
所以=()·.因为四边形ABCD为矩形,所以BD不一定与AC垂直.所以的数量积不一定为0.故选BCD,排除A.
答案:BCD
6.已知|a|=2,|b|=3,=60°,则|2a-3b|= .
解析:∵|2a-3b|2=(2a-3b)2=4a2-12a·b+9b2=4×|a|2+9×|b|2-12×|a||b|cos 60°=61,
∴|2a-3b|=.
答案:
7.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,=135°,若m⊥n,则λ的值为 .
解析:∵m⊥n,∴(a+b)·(a+λb)=0.
∴a2+λb2+(1+λ)a·b=0,
即18+25λ+(1+λ)×3×5×cos 135°=0,
解得λ=-.
答案:-
8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则体对角线AC1的长度等于 .
解析:||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=16+9+25+2×4×3×cos 90°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=50+20+15=85,则||=.
答案:
9.已知|a|=2,|b|=3,且a,b夹角为,c=3a+2b,d=λa-b,若c⊥d,求λ的值.
解:∵|a|=2,|b|=3,且=,
∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,a·b=0.
∵c⊥d,∴(3a+2b)·(λa-b)=0.
∴3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0.
∴12λ-18=0,解得λ=.
10.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α于点A,线段BD⊥AB于点B,线段DD'⊥α于点D',如果∠DBD'=30°,AB=a,AC=BD=b,求点C,D间的距离.
解:||2=()2=||2+||2+||2+2().
∵AC⊥α,且AB α,∴AC⊥AB.
∴=0.
又∠DBD'=30°,AC⊥α,DD'⊥α,
∴<>=60°.
又BD⊥AB,∴=0.
∴||2=b2+a2+b2+2(0+b2cos 60°+0)=a2+3b2.
∴||=,
即点C,D间的距离为.
B组
1.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:∵,
∴|2=1.故选C.
答案:C
2.如图,在正四面体ABCD中,E是BC的中点,那么( )
A.
B.
C.
D.不能比较大小
解析:∵)·()=(||2-||2)=0,
)·()=|2·(cos 60°-1)<0.
∴.
答案:C
3.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列四个结论中,正确的是( )
A.()2=3||2
B.·()=0
C.的夹角为60°
D.正方体的体积为||
解析:如图所示,()2=()2=||2=3||2,故A正确;·()=.因为AB1⊥平面A1BC,A1C 平面A1BC,所以AB1⊥A1C,所以=0,故B正确;的夹角是夹角的补角,而的夹角为60°,故的夹角为120°,故C错误;正方体的体积为||||||,故D错误.
答案:AB
4.已知|a|=2,|b|=1,=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 .
解析:由题意知
由①得λ2+2λ-2<0,
解得-1-<λ<-1+.
当a+λb与λa-2b反向共线时,存在实数k<0,使a+λb=k(λa-2b),即无解.所以不存在a+λb与λa-2b反向共线的情况,②始终成立.故实数λ的取值范围为(-1-,-1+).
答案:(-1-,-1+)
5.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则·()= .
解析:由已知得=0.
取BC的中点D,连接OD,AD,则AD过点G,且AG=AD.
)=)=.
·()=)2=(||2+||2+||2)=×(1+4+9)=.
答案:
6.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若CF上有一点N,使MN⊥AE,则= .
解析:设=m.∵+m,
∴=()·×1×1×+4m=0.
∴m=.
答案:
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,求的夹角的余弦值.
解:∵,
且=0,
∴=-||2=-1.
又||=,||=,
∴cos<>==-.
故的夹角的余弦值为-.
8.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.
(1)设侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱长.
答案：(1)证明:.
∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
∴=0,=0.
又△ABC为正三角形,
∴<>=π-<>=π-.
∵=()·()=+||2+=||||·cos<>+||2=-1+1=0,
∴.
∴AB1⊥BC1.
(2)解:由(1)知=||||cos<>+||2=||2-1.
又||=,||=,
∴cos<>==cos.
∴||=2,即侧棱长为2.