第3课时 一元一次不等式的应用
知识点 1 用一元一次不等式表示不等关系
1.(2021遵义)小明用30元购买铅笔和签字笔,已知铅笔和签字笔的单价分别是2元/支和5元/支,他买了2支铅笔后,最多还能买几支签字笔 设小明还能买x支签字笔,则下列不等关系正确的是( )
A.5×2+2x≥30 B.5×2+2x≤30
C.2×2+2x≥30 D.2×2+5x≤30
2.(教材练习T1变式)小明拿100元钱去购买笔记本和笔共30件,已知每本笔记本3元,每支笔5元,求小明最多能买几支笔.设小明买了x支笔,依题意可列不等式为 ( )
A.3x+5(30-x)≤100 B.3(30-x)+5≤100
C.5(30-x)≤100+3x D.5x+3(30-x)≤100
3.“支援湘江,支援武汉”,新冠疫情期间,全国医疗工作者增援湖北,爱心人士捐钱捐物.小张准备用自己攒的2000元钱购买口罩和防护服若干寄到武汉金银潭医院,他从网上购买了1200元的防护服后,看到一款口罩23元一包,求他最多还能买几包口罩.设小张买了x包口罩,则x满足的不等式为 .
知识点 2 一元一次不等式的应用
4.(教材习题7.2T9变式)某校举行党史知识竞赛,共30道题,每道题给出4个答案,其中只有一个答案正确,选对得4分,不选或选错扣2分,得分不低于80分得奖,那么得奖至少应选对的题数是 ( )
A.23 B.24 C.25 D.26
5.某商品进价为700元,出售时标价为1100元,后由于商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于10%,则最低可打 ( )
A.六折 B.七折 C.八折 D.九折
6.小明家鱼塘里的大鱼和小鱼共重3600 千克,现将鱼塘中的大鱼与小鱼分类出售,大鱼每千克10元,小鱼每千克6元.若小明家的收入不低于27000元,则鱼塘中的大鱼总质量应至少为多少千克
7.(2021合肥包河区期中)某商品的标价比成本价高m%,根据市场行情,该商品需降价n%出售,为了不亏本,m,n应满足 ( )
A.(1+m%)(1+n%)≥1
B.(1+m%)(1-n%)≥1
C.(1-m%)(1+n%)≥1
D.(1-m%)(1-n%)≥1
8.(2021河北)已知训练场球筐中有A,B两种品牌的乒乓球共101个,设A品牌乒乓球有x个.
(1)淇淇说:“筐里B品牌乒乓球的数量是A品牌乒乓球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程:101-x=2x.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确;
(2)据工作人员透露:B品牌乒乓球的数量比A品牌乒乓球的数量至少多28个,试通过列不等式的方法说明A品牌乒乓球最多有几个.
9.(2021六安金安区皋城中学期中)某工厂准备用①所示的A型正方形板材和B型长方形板材,制作成②所示的竖式和横式两种无盖箱子.
(1)若现有A型板材150张,B型板材300张,为节约成本,需将板材全部用完,且不能切割板材,则可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个
(2)若该工厂准备用不超过24000元的资金购买A,B两种型号板材,制作竖式、横式箱子共100个.已知A型板材每张20元,B型板材每张60元,则最多可以制作竖式箱子多少个
10.(2021合肥蜀山区期中)某公交公司有A,B型两种客车,它们的载客量和租金如图下表:
A B
载客量(人/辆) 45 30
租金(元/辆) 400 300
红星中学根据实际情况,计划租用A,B型客车共7辆,同时送七年级师生到基地参加社会实践活动,设租用A型客车x辆,根据要求回答下列问题:
(1)用含x的式子填写下表:
车辆数(辆) 载客量 租金(元)
A x 45x 400x
B 7-x ① ②
(2)若要保证租车费用不超过2700元,求x的最大值;
(3)在(2)的条件下,若七年级师生共有283人,写出最省钱的租车方案.
答案
第3课时 一元一次不等式的应用
1.D 2.D
3.1200+23x≤2000
4.B 设选对x道题,则不选或选错(30-x)道题.
依题意,得4x-2(30-x)≥80.解得x≥.
因为x为正整数,所以得奖至少应选对24道题.
故选B.
5.B 设打了x折.由题意得1100×0.1x-700≥700×10%,解得x≥7.故最低可打7折.
6.解:设鱼塘中的大鱼总质量为x 千克.
根据题意,得10x+6(3600-x)≥27000.解得x≥1350.
故鱼塘中的大鱼总质量应至少为1350千克.
7.B 设进价为a元.由题意,得a(1+m%)(1-n%)-a≥0,
则(1+m%)(1-n%)≥1.
故选B.
8.解:(1)嘉嘉所列方程为101-x=2x,解得x=33.
又因为x为整数,
所以x=33不合题意,
所以淇淇的说法不正确.
(2)依题意,得101-x-x≥28.
解得x≤36.
又因为x为整数,所以x可取的最大值为36.
答:A品牌乒乓球最多有36个.
9.解:(1)设可制作竖式无盖箱子x个,横式无盖箱子y个.
依题意,得
解得
答:可制作竖式无盖箱子30个,横式无盖箱子60个.
(2)设制作竖式无盖箱子m个,则制作横式无盖箱子(100-m)个.
依题意,得20×[m+2(100-m)]+60×[4m+3(100-m)]≤24000.
解得m≤50.
答:最多可以制作竖式箱子50个.
10.(1)B型车(7-x)辆,每辆载客30人,每辆租金300元,
所以B型车载客量为30(7-x),租金是300(7-x)元.
故答案为①30(7-x),②300(7-x).
解:(1)①30(7-x) ②300(7-x)
(2)A型车租金为400x元,B型车租金为300(7-x)元,要保证租车费用不超过2700元,
则400x+300(7-x)≤2700,解得x≤6,
所以x的最大值为6.
(3)根据题意,得45x+30(7-x)≥283,解得x≥.
由(2)知x≤6.所以x≥且x≤6.
又因为x为整数,
所以x可以取5或6.
当x=5时,租金为400×5+300×(7-5)=2600(元),
当x=6时,租金为400×6+300×(7-6)=2700(元).
所以x=5,即租用A型客车5辆,租用B型客车2辆最省钱.7.2 第1课时 一元一次不等式的概念及解法
知识点 1 一元一次不等式的概念
1.(2020合肥瑶海区38中期中)下列不等式中,是一元一次不等式的是 ( )
A.x2+1>x B.-y+1>y
C.>1 D.5+4>8
2.(2021合肥蜀山区50中期中)当k= 时,不等式(k-2)+2>0是一元一次不等式.
知识点 2 不等式的解、解集
3.下列说法正确的是 ( )
A.x=4是不等式2x>-8的一个解
B.x=-3是不等式2x>-8的解集
C.不等式2x>-8的解集是x>4
D.不等式2x>-8的解集是x<-4
知识点 3 解简单的一元一次不等式
4.不等式-x+2≥0的解集为 ( )
A.x≥-2 B.x≤-2 C.x≥2 D.x≤2
5.不等式x+2>3x-4的解集是 .
6.解下列不等式:
(1)3x-2>x+4; (2)3x-5<2(2+3x).
知识点 4 不等式的解集在数轴上的表示方法
7.(2021重庆)不等式x≤2在数轴上表示正确的是 ( )
8.某个不等式的解集在数轴上的表示如图所示,这个不等式可以是 ( )
A.2x-1≤3 B.2x-1<3
C.2x-1≥3 D.2x-1>3
9.如图是甲、乙两人玩跷跷板的示意(支点在中点处),甲的体重是m kg,则m的取值范围在数轴上的表示是中的 ( )
10.关于x的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数,则m的取值范围是 ( )
A.m> B.m<0 C.m< D.m>0
11.解不等式3(x+2)≥4(x-1)+7,并把它的解集在数轴上表示出来.
12.(2021遂宁)已知关于x,y的二元一次方程组满足x-y>0,则a的取值范围是 .
答案
7.2 第1课时 一元一次不等式的概念及解法
1.B A项是一元二次不等式,不是一元一次不等式,故本选项不符合题意;
B项是一元一次不等式,故本选项符合题意;
C项不等式的左边不是整式,不是一元一次不等式,故本选项不符合题意;
D项不是一元一次不等式,故本选项不符合题意.
故选B.
2.±3 因为不等式(k-2)x|k|-2+2>0是一元一次不等式,
所以
解得k=±3.
故答案为±3.
3.A A项,不等式2x>-8的解集为x>-4,则x=4是不等式2x>-8的一个解,正确;B项,x=-3是不等式2x>-8的一个解,不是解集,错误;C项,不等式2x>-8的解集是x>-4,错误;D项,不等式2x>-8的解集是x>-4,错误.
4.D 移项,得-x≥-2.
系数化成1,得x≤2.
5.x<3 移项,得x-3x>-4-2.
合并同类项,得-2x>-6.
x系数化成1,得x<3.
6.解:(1)移项,得3x-x>4+2.
合并同类项,得2x>6.
x系数化成1,得x>3.
(2)去括号,得3x-5<4+6x.
移项、合并同类项,得-3x<9.
x系数化成1,得x>-3.
7.D 不等式x≤2在数轴上表示为
故选D.
8.A 由题可知,不等式的解集为x≤2,分别求出四个选项中不等式的解集,可知应选A.
9.B 由题可知,甲的体重>乙的体重(40 kg),即m>40.
10.A 解方程4x-2m+1=5x-8,得x=9-2m.
因为关于x的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数,所以9-2m<0,解得m>.
11.解:去括号,得3x+6≥4x-4+7.
移项,得3x-4x≥-4+7-6.
解得x≤3.
在数轴上表示不等式的解集如图.
12.a>1
①-②,得x-y=3a-3.
因为x-y>0,所以3a-3>0,
解得a>1.故答案为a>1.第2课时 解较复杂的一元一次不等式
知识点 1 较复杂的一元一次不等式的解法
1.不等式A.x<-2 B.x<-1 C.x<0 D.x>2
2.(教材“交流”变式)下面是解不等式>1-的过程,每一步只对上一步负责,则其中错误的步骤是 ( )
解:>1-,
去分母、去括号,得x>6-2x-4.①
移项,得x-2x>6-4.②
合并同类项,得-x>2.③
x系数化成1,得x>2.④
A.只有④ B.①③ C.②④ D.①②④
3.(2021临沂)不等式4.解下列不等式,并在数轴上表示解集.
(1)x+≥x; (2)>;
(3)->-3.
知识点 2 一元一次不等式的特殊解
5.不等式x+1>2x-3的最大整数解为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.不等式3-x≥的非负整数解有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.不等式-≥1的最小整数解是 .
8.使代数式4x-的值不大于3x+5的值的x的最大整数值是 ( )
A.4 B.6 C.7 D.8
9.若不等式≥4x+6的解集为x≤-4,则a的值是 ( )
A.34 B.22 C.-3 D.0
10.求不等式+1≥的所有自然数解.
11.(2021合肥庐江县期中)已知x=3是关于x的不等式3x->的解,求a的取值范围.
12.(2020张家界)阅读下面的材料:
对于实数a,b,我们定义符号min{a,b}的意义为:当a根据上面的材料回答下列问题:
(1)min{-1,3}= ;
(2)当min=时,求x的取值范围.
13.(2020天水)若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解,则a的取值范围为 ( )
A.a>-7且a<-4 B.a≥-7且a≤-4
C.a≥-7且a<-4 D.a>-7且a≤-4
14.如图果关于x的不等式3x-m≤0的正整数解是1,2,3,求m的取值范围.
答案
第2课时 解较复杂的一元一次不等式
1.A 去分母,得3x+2<2x.移项、合并同类项,得x<-2.
故选A.
2.D 去分母,得x>6-2(x-2),
去括号,得x>6-2x+4,
所以原解题过程中步骤①错误;
针对题干步骤①移项,得x+2x>6-4,步骤②错误;
由-x>2,得x<-2,步骤④错误.
故选D.
3.B 去分母,得x-1<3x+3.
移项,得x-3x<3+1.
合并同类项,得-2x<4.
系数化为1,得x>-2.
将不等式的解集表示在数轴上如图下.
故选B.
4.解:(1)去分母,得4x+3≥3x.
移项、合并同类项,得x≥-3.
在数轴上表示不等式的解集如图.
(2)去分母,得3(x-1)>4(2x-1).
去括号,得3x-3>8x-4.
移项、合并同类项,得-5x>-1.
系数化为1,得x<.
在数轴上表示不等式的解集如图.
(3)去分母,得2(x-2)-5(x+4)>-30.
去括号,得2x-4-5x-20>-30.
移项、合并同类项,得-3x>-6.
系数化为1,得x<2.
在数轴上表示不等式的解集如图.
5.C 移项,得x-2x>-3-1.合并同类项,得-x>-4.解得x<4.
所以不等式x+1>2x-3的最大整数解是3.
6.B 去分母、去括号,得6-2x≥3x-2.
移项,得-2x-3x≥-2-6.
合并同类项,得-5x≥-8.
系数化为1,得x≤.
故不等式的非负整数解是0和1,共2个.
7.7 去分母、去括号,得6x-2-5x+5≥10,解得x≥7.
所以不等式-≥1的最小整数解是7.
8.B 根据题意列不等式,得4x-≤3x+5,解得x≤.
所以符合题意的x的最大整数值是6.
9.B 解不等式,得x≤-,则-=-4,解得a=22.
10.解:去分母,得3(4+x)+6≥8(x+1).
去括号,得12+3x+6≥8x+8.
移项、合并同类项,得-5x≥-10.
系数化为1,得x≤2.
则不等式的所有自然数解是0,1,2.
11.解:因为x=3是关于x的不等式3x->的解,
所以9->2,
解得a<4.
即a的取值范围是a<4.
12.解:(1)-1
(2)由题意,得≥.
去分母,得3(2x-3)≥2(x+2).
去括号,得6x-9≥2x+4.
移项、合并同类项,得4x≥13.
系数化为1,得x≥.
所以x的取值范围为x≥.
13.D 解不等式3x+a≤2,得x≤.
显然不等式的2个正整数解,只有1和2,所以2≤且<3,解得a≤-4且a>-7.
故选D.
14.解:解不等式3x-m≤0,得x≤.
由不等式的正整数解是1,2,3,得≥3且<4,
所以m的取值范围是m≥9且m<12.
