8.3 第1课时 完全平方公式的认识
知识点 完全平方公式
1.计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为 ( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
2.下列各式中,与(x-1)2相等的是 ( )
A.x2-2x+1 B.x2-2x-1
C.x2-1 D.x2
3.下列计算正确的是 ( )
A. (x+y)2=x2+y2
B. (x-y)2=x2-2xy-y2
C. (-x+y)2=x2-2xy+y2
D. (-x-y)2=x2-2xy+y2
4.已知x2+y2=13,xy=6,则(x+y)2= ;(x-y)2= .
5.利用完全平方公式计算:
(1)(1-a)2; (2)(x+2y)2;
(3)(-2x+3y)2; (4)(-2t-1)2.
6.(教材P70练习T1变式)计算(2-x)(x-2)的结果为 ( )
A.4-x2 B.x2-4
C.-4-4x-x2 D.-4+4x-x2
7.(2021合肥经济开发区168中期中)已知关于x的二次三项式x2+kx+9可以写成一个完全平方式,则k的值是 ( )
A.3 B.±3 C.6 D.±6
8.(2020宿州模拟)用4块完全相同的长方形拼成一个正方形(如图),用不同的方法计算中阴影部分的面积,可得到一个关于a,b的等式为 .
9.先化简,再求值:2a(a+2b)-(a+2b)2,其中a=-1,b=3.
10.(1)多项式x2+1加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方,完成下列填空:
①x2+1+ =(x+1)2;
②x2+1+ =(x-1)2;
③x2+1+ =.
(2)已知整式4x2,9,若再添加一个单项式,使这三个整式能组成一个二项式的完全平方,请写出这个单项式的所有可能情况.
答案
8.3 第1课时 完全平方公式的认识
1.D 将完全平方公式展开,将系数进行对比即可得出结果.
2.A
3.C A项,(x+y)2=x2+2xy+y2,本选项错误;
B项,(x-y)2=x2-2xy+y2,本选项错误;
C项,(-x+y)2=(x-y)2=x2-2xy+y2,本选项正确;
D项,(-x-y)2=(x+y)2=x2+2xy+y2,本选项错误.
故选C.
4.25 1 (x+y)2=x2+2xy+y2=13+2×6=25;
(x-y)2=x2-2xy+y2=13-2×6=1.
5.解:(1)原式=1-2a+a2.
(2)原式=x2+4xy+4y2.
(3)原式=4x2-12xy+9y2.
(4)原式=4t2 +4t+1.
6.D (2-x)(x-2)=-(x-2)2=-(x2-4x+4)=-x2+4x-4.故选D.
7.D 因为关于x的二次三项式x2+kx+9可以写成一个完全平方式,
所以x2+kx+9=(x±3)2=x2±6x+9,
所以k=±6.
故选D.
8.(a+b)2-(a-b)2=4ab S阴影=4S长方形=4ab,①
S阴影=S大正方形-S空白小正方形=(a+b)2-(b-a)2,②
由①②,得(a+b)2-(a-b)2=4ab.
9.解:原式=2a2+4ab-a2-4ab-4b2=a2-4b2.
当a=-1,b=3时,原式=(-1)2-4×32=-35.
10.解:(1)①因为(x+1)2=x2+2x+1,
所以应填2x.
②因为(x-1)2=x2-2x+1,
所以应填(-2x).
③因为x2+12=x4+x2+1,
所以应填x4.
(2)这个单项式可以是12x,-12x,x4.
c第2课时 完全平方公式的应用
知识点 1 利用完全平方公式进行简便计算
1.计算20222-2022×2021×2+20212的值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.利用完全平方公式进行计算:
(1)9992; (2)602;
(3)9.82; (4)2012-401.
知识点 2 完全平方公式的实际应用
3.如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则该长方形的面积是 ( )
A.2 cm2 B.2a cm2 C.4a cm2 D.(a2-1)cm2
4.如图,两个正方形的边长分别为a和b,如图果a+b=10,ab=22,那么阴影部分的面积是( )
A.15 B.17 C.20 D.22
知识点 3 与完全平方公式有关的综合运算
5.(教材习题8.3T8变式)若x2-2(m+1)x+16是完全平方式,则m的值是 ( )
A.3 B.-5 C.3或-5 D.±4
6.若(a+b)2加上一个单项式后等于(a-b)2,则这个单项式为 ( )
A.2ab B.-2ab C.4ab D.-4ab
7.已知(m-53)(m-47)=25,则(m-53)2+(m-47)2的值为 ( )
A.136 B.86 C.36 D.50
8.小妍将(2021x+2022)2展开后得到a1x2+b1x+c1;小磊将(2022x-2021)2展开后得到a2x2+b2x+c2,若两人计算过程无误,则c1-c2的值为 ( )
A.4043 B.2022 C.2021 D.1
9.已知(x+y)2=1,(x-y)2=49,求x2+y2与xy的值.
10.(2021台州)已知(a+b)2=49,a2+b2=25,则ab等于 ( )
A.24 B.48 C.12 D.2
11.若x+y=2,x2+y2=4,则x2022+y2022的值是 .
12.若n满足(n-2021)2+(2022-n)2=1,求式子(n-2021)(2022-n)的值.
13.已知x=a-2016,y=2022-a,xy=5.
(1)求x2+y2的值;
(2)求(x-y)2的值;
(3)求a的值.
14.(2021六安金安区皋城中学金安路校区期末)如图(a)所示的是一个长为4a,宽为b的长方形,沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形.然后用四块小长方形拼成如图(b)所示的正方形.
(1)(b)中的阴影正方形的边长可以表示为 (填序号).
①a+b;
②b-a;
③(a+b)(b-a).
(2)由(b)可以直接写出(a+b)2,(b-a)2,ab之间的一个等量关系是 .
(3)根据(2)中的结论,解决下列问题:
①已知x+y=8,xy=7,求(x-y)2的值;
②将一根铁丝剪成两段,用这两段铁丝围成两个正方形,拼成如图(c)所示的形状(在同一水平线上,两个正方形无重叠,铁丝的厚度忽略不计).若铁丝总长为28 cm,两个正方形的面积之差为14 cm2,则阴影部分的面积为 cm2.
答案
第2课时 完全平方公式的应用
1.A 20222-2022×2021×2+20212=(2022-2021)2=1.
2.解:(1)原式=(1000-1)2=10002-2×1000×1+1=998001.
(2)602=60+2=602+2×60×+2=3600+2+=3602.
(3)9.82=(10-0.2)2=102-2×10×0.2+0.22=100-4+0.04=96.04.
(4)原式=(200+1)2-401=2002+2×200×1+1-401=2002=40000.
3.C S长方形=(a+1)2-(a-1)2=a2+2a+1-(a2-2a+1)=4a(cm2).故选C.
4.B 由题意,得阴影部分的面积=(a-b)·a+b2=(a2+b2)-ab.
因为a+b=10,ab=22,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×22=56,
所以阴影部分的面积=×56-×22=28-11=17.
故选B.
5.C 因为x2-2(m+1)x+16是完全平方式,所以2(m+1)=±8,解得m=3或m=-5.故选C.
6.D (a+b)2+(-4ab)=(a-b)2.故选D.
7.B 设a=m-53,b=m-47,则ab=25,a-b=-6,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=(-6)2+50=86,
所以(m-53)2+(m-47)2=86.
故选B.
8.A 因为(2021x+2022)2展开后得到a1x2+b1x+c1,所以c1=20222.
因为(2022x-2021)2展开后得到a2x2+b2x+c2,所以c2=20212,
所以c1-c2=20222-20212=4043.
故选A.
9.解:因为(x+y)2=x2+y2+2xy=1,①
(x-y)2=x2+y2-2xy=49,②
所以①+②,得2(x2+y2)=50,即x2+y2=25;
①-②,得4xy=-48,即xy=-12.
10.C (a+b)2=a2+2ab+b2,将a2+b2=25,(a+b)2=49代入,得2ab+25=49,则2ab=24,所以ab=12.故选C.
11.22022 因为x+y=2,
所以(x+y)2=4,
所以x2+2xy+y2=4.
又因为x2+y2=4,
所以2xy=0,
所以x=0,y=2或y=0,x=2.
当x=0,y=2时,x2022+y2022=02022+22022=0+22022=22022,
当y=0,x=2时,x2022+y2022=22022+02022=22022+0=22022.
故答案为22022.
12.解:因为(n-2021)2+(2022-n)2=1,
所以[(n-2021)+(2022-n)]2=(n-2021)2+(2022-n)2+2(n-2021)(2022-n)=1+2(n-2021)·(2022-n)=1,
所以2(n-2021)(2022-n)=0,
所以(n-2021)(2022-n)=0.
13.解:(1)因为x=a-2016,y=2022-a,xy=5,
所以x+y=a-2016+2022-a=6,
所以x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×5=36-10=26.
(2)由(1)知x2+y2=26,所以(x-y)2=x2+y2-2xy=26-2×5=16.
(3)由(2)知(x-y)2=16,所以x-y=4或x-y=-4.
当x-y=4时,由x+y=6,可得x=5,y=1,此时a=x+2016=2021;
当x-y=-4时,由x+y=6,可得x=1,y=5,此时a=x+2016=2017.
综上可知,a=2021或a=2017.
14.(3)②设大正方形的边长为x cm,小正方形的边长为y cm,则4x+4y=28,
所以x+y=7,即x=7-y.
因为两个正方形的面积之差为14 cm2,所以x2-y2=14,
将x=7-y代入x2-y2=14,得
(7-y)2-y2=14,解得y=,
所以x=7-=,
所以S阴影=xy=××=(cm2).
解:(1)②
(2)(a+b)2=(b-a)2+4ab
(3)①由(2),得(x+y)2=(y-x)2+4xy,
整理,得(x-y)2=(x+y)2-4xy.
因为x+y=8,xy=7,
所以(x-y)2=82-4×7=36.
②第3课时 平方差公式
知识点 1 平方差公式
1.(2020杭州)计算(1+y)(1-y)的结果是 ( )
A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2
2.(2021合肥蜀山区50中东校期中)下列能用平方差公式计算的式子是 ( )
A.(a-b)(a-b) B.(-a+b)(a-b)
C.(-a-b)(a+b) D.(-a-b)(-a+b)
3.下列运算正确的是 ( )
A.(x+3y)(x-3y)=x2-3y2
B.(x+3y)(x-3y)=x2-9y2
C.(-x+3y)(x-3y)=-x2-9y2
D.(-x-3y)(x+3y)=x2-9y2
4.计算(-4xy2+3x2y)(4xy2+3x2y)的最佳方法是 ( )
A.运用多项式乘多项式法则
B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则
D.运用完全平方公式
5.一个长方形的长为2x-y,宽为2x+y,则这个长方形的面积是 ( )
A.4x2-y2 B.4x2+y2 C.2x2-y2 D.2x2+y2
6.当x=3,y=1时,代数式(x+y)(x-y)+y2的值是 .
7.计算:(1)(3b+2a)(2a-3b)= ;
(2)= ;
(3)(x2y-5)(-5-x2y)= .
知识点 2 利用平方差公式简便计算
8.(教材例2(1)变式)利用乘法公式计算:
(1)299×301+1;
(2)20222-2023×2021.
9.(2021合肥蜀山北区期中)下列各式中不能用平方差公式进行计算的是 ( )
A.(m-n)(m+n)
B.(2x+y)(y-2x)
C.(-x-y)(x+y)
D.(a+b-c)(a-b+c)
10.如图果(2a+2b-3)(2a+2b+3)=40,那么a+b的值为 ( )
A. B.- C.± D.±3
11.计算(x+1)(x2+1)(x-1)的结果正确的是 ( )
A.x4+1 B.(x+1)4 C.x4-1 D.(x-1)4
12.现有一列式子:①552-452=(55+45)(55-45);②5552-4452=(555+445)(555-445);③55552-44452=(5555+
4445)(5555-4445)……则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为 ( )
A.1.111111×1016
B.1.1111111×1027
C.1.111111×1056
D.1.1111111×1017
13.如图果一个正整数能表示为两个正整数的平方差,那么这个正整数就称为“智慧数”,例如图:5=32-22,5就是一个智慧数,则下列各数不是智慧数的是 ( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
14.(2020马鞍山和县期末)利用乘法公式进行计算:(2x+y-3)(2x-y+3).
15.如图①所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图②所示是由①中阴影部分拼成的一个长方形.
(1)设①中阴影部分的面积为S1,②中阴影部分的面积为S2,请直接用含a,b的代数式分别表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;
(3)试利用(2)中的公式计算:(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)+1.
答案
第3课时 平方差公式
1.C 本题考查了整式乘法的平方差公式,(1+y)(1-y)=12-y2=1-y2.
2.D
3.B (x+3y)(x-3y)=x2-9y2,故A选项错误,B选项正确;
C项,(-x+3y)(x-3y)=-x2-9y2+6xy,故本选项错误;
D项,(-x-3y)(x+3y)=-x2-9y2-6xy,故本选项错误.
故选B.
4.B
5.A 由长方形的面积公式可得,(2x+y)(2x-y)=4x2-y2.故选A.
6.9 (x+y)(x-y)+y2=x2-y2+y2=x2.当x=3,y=1时,原式=32=9.
7.(1)4a2-9b2 (2)n2-m2 (3)25-x4y2 (1)(3b+2a)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.
(2)原式==n2-m2.
(3)原式=(-5+x2y)(-5-x2y)=(-5)2-(x2y)2=25-x4y2.
8.解:(1)原式=(300-1)×(300+1)+1=3002-1+1=90000.
(2)20222-2023×2021=20222-(2022+1)(2022-1)=20222-(20222-12)=1.
9.C (m-n)(m+n)=m2-n2,A选项正确,不符合题意;
(2x+y)(y-2x)=(y+2x)(y-2x)=y2-4x2,B选项正确,不符合题意;
没有完全相同的项,不能用平方差公式计算,C选项错误,符合题意;
(a+b-c)(a-b+c)=[a+(b-c)][a-(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2,D选项正确,不符合题意.
故选C.
10.C 因为(2a+2b-3)(2a+2b+3)=40,
所以(2a+2b)2-32=40,
所以4(a+b)2=49,
所以(a+b)2=,
所以a+b=±.
11.C (x+1)(x2+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x2+1)
=(x2-1)(x2+1)
=x4-1.
12.D 根据题意,得第⑧个式子为5555555552-4444444452=(555555555+444444445)×
(555555555-444444445)=1.1111111×1017.故选D.
13.C 除1外,所有的奇数都是智慧数,所以,B,D选项都是智慧数,不符合题意;
除4外,所有能被4整除的偶数都是智慧数,所以A选项是智慧数,不符合题意,C选项不是智慧数,符合题意.
故选C.
14.解:原式=[2x+(y-3)][2x-(y-3)]=4x2-(y-3)2=4x2-y2+6y-9.
15.解:(1)S1=a2-b2,S2=(a+b)(a-b).
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
(3)原式=(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)+1
=(22-1)×(22+1)×(24+1)×(28+1)+1
=(24-1)×(24+1)×(28+1)+1
=(28-1)×(28+1)+1
=(216-1)+1
=216.
