第2课时 垂线及其性质、画法
知识点1 垂线的概念和画法
1.(教材练习T2变式)如图,按下列要求画:
(1)过点A画直线BC的垂线,垂足为E;
(2)过点B画直线AD的垂线,垂足为F;
(3)过点C画直线AD的垂线,垂足为G.
知识点2 垂线的性质和点到直线的距离
2.如图所示,点P到直线l的距离是 ( )
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段PD的长度
3.(2020河北)如图0,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有 ( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
4.(教材“交流”变式)如图1是宇凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段 的长度.
5.如图2,将一张长方形纸片的一角斜折过去,顶点A落在点A'处,BC为折痕,再将BE翻折过去与BA'重合,BD为折痕,那么两条折痕BC与BD的位置关系是 .
6.已知线段AB的长为10 cm,点A,B到直线l的距离分别为6 cm和4 cm,则符合条件的直线l有 条.
7.(2021六安皋城中学西校区期末)如图3,直线AB,CD相交于点O,OF⊥CD,垂足为O,且OF平分∠AOE.若∠BOD=20°,求∠EOF的度数.
8.(2021六安金安区期末)如图4,已知OA⊥OB,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC.
(1)当∠BOC=50°时,∠DOE= °;
当∠BOC=70°时,∠DOE= °.
(2)通过上面的计算,猜想∠DOE的度数与∠AOB的度数有什么关系,并说明理由.
答案
第2课时 垂线及其性质、画法
1.解:(1)(2)(3)如图所示.
2.B 由中的标注可知,PB是直线l外一点P到直线l的垂线段,根据点到直线的距离定义可知,线段PB的长度就是点P到直线l的距离.故选B.
3.D 在平面内,与已知直线垂直的直线有无数条,所以作已知直线的垂线,可作无数条.
4.PA
5.垂直 由折叠的性质得∠CBA=∠CBA',∠DBE=∠DBE'.
又因为∠CBA+∠CBA'+∠DBE+∠DBE'=180°,所以∠CBA'+∠DBE'=90°,
所以∠CBD=∠CBA'+∠DBE'=90°,
所以BC与BD垂直.
6.3 如图.共有3条直线.
7.解:因为∠BOD=20°,所以∠AOC=∠BOD=20°.
因为OF⊥CD,所以∠COF=90°,
所以∠AOC+∠AOF=90°,
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-20°=70°.
因为OF平分∠AOE,
所以∠EOF=∠AOF=70°.
8.(1)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.
又因为∠BOC=50°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+50°=140°.
因为OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
所以∠COD=∠AOC=70°,∠COE=∠BOC=25°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=70°-25°=45°.
因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.
又因为∠BOC=70°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+70°=160°.
因为OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,所以∠COD=∠AOC=80°,∠COE=∠BOC=35°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=80°-35°=45°.
故答案为45,45.
解:(1)45 45
(2)∠DOE=∠AOB.理由如图下:
设∠AOB=α,∠BOC=β.
因为OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,
所以∠COD=∠AOC=(∠AOB+∠BOC)=(α+β),∠COE=∠BOC=β,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=(α+β-β)=α=∠AOB.10.1 第1课时 对顶角及其性质
知识点1 对顶角的概念与识别
1.(教材练习T1变式)下列各中,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
知识点2 对顶角的性质
2.如图所示,直线AB,CD相交于点O.
(1)若∠AOD=160°,则∠BOD= °,∠BOC= °;
(2)若∠AOD=α,则∠BOD= ,∠BOC= .
3.(教材练习T2变式)是一把剪刀,若∠AOB+∠COD=60°,则∠AOB= °.
4.(2021合肥包河区期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠COE,若∠DOE=106°,则∠BOD= °.
5.(2021益阳)如图,AB与CD相交于点O,OE是∠AOC的平分线,且OC恰好平分∠EOB,则∠AOD= °.
6.如图所示,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠BOE=4∶1,则∠AOF等于 ( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
7.观察中的各个角,寻找对顶角(不含平角):
(1)如图①所示,两条直线AB与CD相交于一点形成 对对顶角;
(2)如图②所示,三条直线AB,CD,EF相交于一点形成 对对顶角;
(3)如图③所示,四条直线AB,CD,EF,GH相交于一点形成 对对顶角;
(4)探究(1)~(3)各题中直线条数与对顶角对数之间的关系,若有n(n为正整数,且n≥2)条直线相交于一点,则可形成 对对顶角;
(5)根据(4)中探究得到的结论计算:若有2022条直线相交于一点,则可形成 对对顶角.
答案
10.1 第1课时 对顶角及其性质
1.B 根据对顶角的定义,一个角的两边是另一个角两边的反向延长线,则这两个角互为对顶角.故选B.
2.(1)20 160 (2)180°-α α
3.30 因为∠AOB=∠COD,且∠AOB+∠COD=60°,所以∠AOB=30°.
4.37 因为∠DOE=106°,
所以∠COE=180°-∠DOE=180°-106°=74°.
因为OA平分∠COE,
所以∠AOC=∠COE=37°.
又因为∠AOC与∠BOD是对顶角,
所以∠BOD=∠AOC=37°.
故答案为37.
5.60 因为OE是∠AOC的平分线,OC恰好平分∠EOB,
所以∠AOE=∠COE,∠COE=∠BOC,
所以∠AOE=∠COE=∠BOC.
因为∠AOE+∠COE+∠BOC=180°,
所以∠BOC=60°,所以∠AOD=∠BOC=60°.
故答案为60.
6.B 设∠BOE=α,因为∠AOD∶∠BOE=4∶1,所以∠AOD=4α.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠BOE=α.
因为∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°,
所以4α+α+α=180°,解得α=30°,
所以∠AOD=4α=120°,
所以∠BOC=∠AOD=120°.
因为OF平分∠BOC,所以∠BOF=∠BOC=60°,所以∠AOF=180°-∠BOF=180°-60°=120°.
7.(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n-1) (5)4086462
