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应用题—方案问题
教学内容
1、一元一次不等式；
2、一次函数最值；
3、设计方案．
教学过程
考点一:一元一次不等式
诊断．（2019 福田区一模）皮特是红树林中学的一个外籍教师，目前，他在电脑上打英语单词的平均速度是打汉字速度的2倍．某次，他连续打完一篇3600字（单词）的英语文章和一篇600字的汉语文章，一共刚好花了40分钟．（速度按每分钟打多少个英语单词或汉字测算）．
（1）皮特目前平均每分钟打多少汉字；
（2）最近，皮特把一篇汉语文章翻译成英文，原文加上译文总字数为6000字，已知它在1小时内（含1小时）打完了这6000字，问原文最多有多少汉字？
内化1-1．（2021 福田区二模）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了3500元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了2600元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？
内化1-2．（2020 罗湖区一模）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
考点二:一次函数最值
诊断．（2020 深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
内化1-1．（2021 坪山区一模）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
（1）A产品和B产品每件分别是多少元？
（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，求购买总费用的最大值．
内化1-2．（2019 南山区校级一模）随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，深圳市某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，
（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共55台进行试销，其中A型净水器为m台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．
考点三:设计方案
诊断．（2016 深圳）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）
（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；
（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
内化1-1．（2021 南山区一模）今年新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元．
（1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
内化1-2．（2020 福田区一模）因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元．问：
（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？
（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由．
挑战过关
1.（2019 深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
2.（2018 宝安区二模）宝安区的某商场经市场调查，预计一款夏季童装能获得市场青睐，便花费15000元购进了一批此款童装，上市后很快售罄．该店决定继续进货，由于第二批进货数量是第一批进货数量的2倍，因此单价便宜了10元，购进第二批童装一共花费了27000元．
（1）该店所购进的第一批童装的单价是多少元？
（2）两批童装按相同标价出售，经理根据市场情况，决定对第二批剩余的100件打七折销售．若两批童装全部售完后，利润不低于30%，那么每件童装标价至少是多少元？
3.（2021 龙岗区二模）某校今年新改造了一片绿化带，现计划种植龙舌兰和春兰两种花卉，已知2盆龙舌兰和3盆春兰售价130元，3盆龙舌兰和2盆春兰售价120元．
（1）求每盆龙舌兰和春兰单价．
（2）学校今年计划采购龙舌兰和春兰共400盆，相关资料表明：龙舌兰和春兰的成活率分别为70%和90%，学校明年都要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补花卉不多于80盆，应如何选购花卉，使今年购买花卉的费用最低？并求出最低费用．
4.（2020 南山区校级一模）新冠病毒疫情牵动全国人心，“疫情无情人有情”．“红十字会”将人们为武汉市捐赠的物资打包成件，其中口罩和防护服共320件，口罩比防护服多80件．
（1）求打包成件的口罩和防护服各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装口罩40件和防护服10件，乙种货车最多可装口罩和防护服各20件．红十字会安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．红十字会应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
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应用题—方案问题
教学内容
1、一元一次不等式；
2、一次函数最值；
3、设计方案．
教学过程
考点一:一元一次不等式
诊断．（2019 福田区一模）皮特是红树林中学的一个外籍教师，目前，他在电脑上打英语单词的平均速度是打汉字速度的2倍．某次，他连续打完一篇3600字（单词）的英语文章和一篇600字的汉语文章，一共刚好花了40分钟．（速度按每分钟打多少个英语单词或汉字测算）．
（1）皮特目前平均每分钟打多少汉字；
（2）最近，皮特把一篇汉语文章翻译成英文，原文加上译文总字数为6000字，已知它在1小时内（含1小时）打完了这6000字，问原文最多有多少汉字？
【解答】解：（1）设皮特目前平均每分钟打x个汉字，则皮特目前平均每分钟打2x个单词，
依题意，得：+＝40，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：皮特目前平均每分钟打60个汉字．
（2）设原文有m个汉字，则译文有（6000﹣m）个单词，
依题意，得：+≤60，
解得：m≤1200．
答：原文最多有1200个汉字．
内化1-1．（2021 福田区二模）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了3500元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，只花费了2600元．
（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？
【解答】解：（1）设每次购买酒精x瓶，消毒液y瓶，
依题意得：，
解得：．
答：每次购买酒精200瓶，消毒液300瓶．
（2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶，
依题意得：10×（1﹣30%）×2m+5×（1﹣20%）m≤2000，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值111．
答：最多能购买消毒液111瓶．
内化1-2．（2020 罗湖区一模）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：＝1.5×，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是25元．
（2）设每套悠悠球的售价为y元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y﹣500﹣900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是35元．
考点二:一次函数最值
诊断．（2020 深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，
由题意得：50（x+6）+30x＝620，
解得：x＝4，
∴6+4＝10，
答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，
由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600，
∵2＞0，
∴w随y的增大而增大，
∵y≤2（300﹣y），
∴0＜y≤200，
∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，
答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．
内化1-1．（2021 坪山区一模）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A产品价格比1件B产品价格少20元，300元购买A产品件数与400元购买B产品件数相同．
（1）A产品和B产品每件分别是多少元？
（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A、B两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A的数量不少于B的2倍，求购买总费用的最大值．
【解答】解：（1）设A产品每件x元，则B产品每件（x+20）元，
，解得，x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴x+20＝80，
答：A产品每件60元，则B产品每件80元；
（2）设购买A产品a件，则购买B产品（150﹣a）件，所需费用为w元，
w＝60a+80（150﹣a）＝﹣20a+12000，
∵a≥2（150﹣a），∴a≥100，∵﹣20＜0，∴w随a的增大而减小，
∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝﹣20×100+12000＝10000，
答：购买总费用的最大值为10000元．
内化1-2．（2019 南山区校级一模）随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，深圳市某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，
（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共55台进行试销，其中A型净水器为m台，购买两种净水器的总资金不超过10.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，该公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设该公司售完55台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W元，求W的最大值．
【解答】解：（1）设每台B型净水器的进价是x元，则每台A型净水器的进价是（x+200）元，
依题意，得：，解得：x＝1800，经检验，x＝1800是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+200＝2000．
答：每台A型净水器的进价是2000元，每台B型净水器的进价是1800元；
（2）购进A型净水器m台，则购进B型净水器（55﹣m）台，
依题意，得：2000m+1800（55﹣m）≤108000，解得：m≤45．
W＝（2500﹣2000﹣a）m+（2180﹣1800）（55﹣m）＝（120﹣a）m+20900，
∵120﹣a＞0，∴W随m值的增大而增大，
∴当m＝45时，W取得最大值，最大值为（26300﹣45a）元．
考点三:设计方案
诊断．（2016 深圳）荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）
（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；
（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
【解答】解：（1）设桂味的售价为每千克x元，糯米糍的售价为每千克y元；
根据题意得：，
解得：；
答：桂味的售价为每千克15元，糯米糍的售价为每千克20元；
（2）设购买桂味t千克，总费用为W元，则购买糯米糍（12﹣t）千克，
根据题意得：12﹣t≥2t，
∴t≤4，
∵W＝15t+20（12﹣t）＝﹣5t+240，
k＝﹣5＜0，
∴W随t的增大而减小，
∴当t＝4时，W的最小值＝220（元），此时12﹣4＝8；
答：购买桂味4千克，糯米糍8千克时，所需总费用最低．
内化1-1．（2021 南山区一模）今年新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19，简称为新冠肺炎）疫情在全球蔓延，我们国家坚决打赢这场无硝烟的人民战争，我市各单位为同学们的返校复学采取了一系列前所未有的举措．复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，原来购进5根跳绳和6个毽子共需196元；购进2根跳绳和5个毽子共需120元．
（1）求跳绳和毽子的售价原来分别是多少元？
（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共400个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于310根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【解答】解：（1）设跳绳原来的售价为x元，毽子原来的售价为y元，
依题意得：，解得：．
答：跳绳原来的售价为20元，毽子原来的售价为16元．
（2）设学校购进m根跳绳，则购进（400﹣m）个毽子，
依题意得：，解得：300≤m≤310．
设学校购进跳绳和毽子一共花了w元，则w＝20×0.8m+16×0.75（400﹣m）＝4m+4800，
∵4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝300时，w取最小值，此时400﹣m＝100．
∴学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳300根，毽子100个．
内化1-2．（2020 福田区一模）因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元．问：
（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？
（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元，
依题意，得：，解得：．
答：一只医用一次性口罩的售价为3元，一只KN95口罩的售价为11元．
（2）设购买m只医用一次性口罩，则购买（1000﹣m）只KN95口罩，
依题意，得：m≤2（1000﹣m），解得：m≤666．
设学校再次购进1000只口罩的总费用为w元，则w＝3m+11（1000﹣m）＝﹣8m+11000．
∵﹣8＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m是整数，∴m的最大值为666，
∴当m＝666时，w取得最小值，最小值为5672，此时1000﹣m＝334．
答：最省钱的购买方案是：购买666只医用一次性口罩，334只KN95口罩．
挑战过关
1.（2019 深圳）有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少1800度电．
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？
（2）A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．
【解答】解：（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据题意得：
，解得，
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度；
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90﹣x）吨垃圾，总发电量为y度，则
y＝300x+260（90﹣x）＝40x+23400，∵x≤2（90﹣x），∴x≤60，
∵y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y有最大值为：40×60+23400＝25800（度）．
答：A厂和B厂总发电量的最大是25800度．
2.（2018 宝安区二模）宝安区的某商场经市场调查，预计一款夏季童装能获得市场青睐，便花费15000元购进了一批此款童装，上市后很快售罄．该店决定继续进货，由于第二批进货数量是第一批进货数量的2倍，因此单价便宜了10元，购进第二批童装一共花费了27000元．
（1）该店所购进的第一批童装的单价是多少元？
（2）两批童装按相同标价出售，经理根据市场情况，决定对第二批剩余的100件打七折销售．若两批童装全部售完后，利润不低于30%，那么每件童装标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该店所购进的第一批童装的单价是x元/件，则该店所购进的第二批童装的单价是（x﹣10）元/件，根据题意得：＝2×，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解且符合题意．
答：该店所购进的第一批童装的单价是100元/件．
（2）第一批购进的数量为15000÷100＝150（件），
第二批购进的数量为150×2＝300（件）．
设每件童装标价为y元，
根据题意得：（150+300﹣100）y+100×0.7y﹣15000﹣27000≥（15000+27000）×30%，
解得：y≥130．
答：每件童装标价至少为130元．
3.（2021 龙岗区二模）某校今年新改造了一片绿化带，现计划种植龙舌兰和春兰两种花卉，已知2盆龙舌兰和3盆春兰售价130元，3盆龙舌兰和2盆春兰售价120元．
（1）求每盆龙舌兰和春兰单价．
（2）学校今年计划采购龙舌兰和春兰共400盆，相关资料表明：龙舌兰和春兰的成活率分别为70%和90%，学校明年都要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补花卉不多于80盆，应如何选购花卉，使今年购买花卉的费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设龙舌兰的单价为x元/盆，春兰的单价为y元/盆，
依题意得：，
解得：，
答：每盆龙舌兰的单价为20元，每盆春兰的单价为30元；
（2）设购买龙舌兰m盆，则购买春兰（400﹣m）盆，总费用为w元，
∴30%m+10%（400﹣m）≤80，
∴m≤200，
∴w＝20m+30（400﹣m）
＝﹣10m+12000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
当m＝200，
∴wmin＝﹣10×20+12000＝10000，
∴400﹣m＝400﹣200＝200，
答：购买龙舌兰200盆，则购买春兰200盆，总费用最低为10000元．
4.（2020 南山区校级一模）新冠病毒疫情牵动全国人心，“疫情无情人有情”．“红十字会”将人们为武汉市捐赠的物资打包成件，其中口罩和防护服共320件，口罩比防护服多80件．
（1）求打包成件的口罩和防护服各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批口罩和防护服全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装口罩40件和防护服10件，乙种货车最多可装口罩和防护服各20件．红十字会安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．红十字会应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【解答】解：（1）设打包成件的口罩有x件，防护服有y件，
依题意得：，
解得：．
答：打包成件的口罩有200件，防护服有120件．
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆，
依题意得：，
解得：2≤m≤4，
又∵m为正整数，
∴m可以为2，3，4，
∴共有3种安排方案，
方案1：安排甲种货车2辆，乙种货车6辆；
方案2：安排甲种货车3辆，乙种货车5辆；
方案3：安排甲种货车4辆，乙种货车4辆．
（3）方案1的运费为2×4000+6×3600＝29600（元）；
方案2的运费为3×4000+5×3600＝30000（元）；
方案3的运费为4×4000+4×3600＝30400（元）．
∵29600＜30000＜30400，
∴选择方案1可使运费最少，最少运费是29600元．
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应用题—二次函数利润问题
教学内容
1、图表类型；
2、涨降价类型；
3、设售价类型．
教学过程
考点一:图表类型
诊断1．（2019 深实验月考）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故函数有最大值，
∴当x＝55时，w有最大值，此时，w＝1250，
故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1250元；
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：40≤x≤70，
故销售单价x的取值范围为40≤x≤70．
内化1-1．（2021 深圳模拟）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【解答】解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
，解得：，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）∵W＝﹣x2+x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝22.5，
∵a＝﹣＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：
（﹣22+65）（×22+10）＝43×21＝903（元）．
∴第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为903元．
内化1-2．（2020 南山区三模）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p＝x+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【解答】解：（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，
，
解得，，
∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500（x为正整数）；
（2）设销售收入为w万元，根据题意得，
w＝yp＝（﹣500x+7500）（x+），
即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，
∴当x＝7时，w有最大值为16000，
此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
诊断2．（2021 深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；
（2）设该产品的销售利润为w，
由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜0，
∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），
答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．
内化2-1．（2019 深圳三模）深圳市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：
销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 …
每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 …
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）设每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式为：y＝kx+b
把（20，60），（30，40）代入y＝kx+b得
解得：
∴y与x之间的函数关系为：y＝﹣2x+100．
（2）∵一件产品的利润率不得高于50%，
∴x≤（1+50%）×18＝27
设该公司获得的利润为w，则w＝y（x﹣18）
＝（﹣2x+100）（x﹣18）
＝﹣2x2+136x﹣1800
＝﹣2（x﹣34）2+512
∵图象开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，
∴当x＝27时，w最大，最大值为414万元．
答：公司销售单价定为27元时可获利最大，最大利润为每月414万元．
内化2-2．（2018 深圳模拟）某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数关系，试销数据如下表：
售价（元/件） … 55 60 70 …
销量（件） … 75 70 60 …
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为ω元，试写出利润ω与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：
（1）设y＝kx+b，由题意：
解得
∴y＝﹣x+130
（2）ω＝（x﹣50）（130﹣x）＝﹣（x﹣90）2+1600
但是50≤x≤75，且在此范围内ω随x增大而增大，
所以当x＝75时，ω最大
当x＝75时，ω最大值为1375元．
考点二:涨降价类型
诊断1．（2021 福田区一模）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价a元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得：
，解得，
∴该商品每件的售价为30元，进价为每件24元；
（2）由题意得：w＝（30+a﹣24）（200﹣5a）＝（6+a）（200﹣5a）＝﹣5a2+170a+1200
＝﹣5（a﹣17）2+2645，
∴当a＝17时，w有最大值，最大值为2645，此时售价为30+17＝47（元）．
∴当售价为47元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为2645元．
内化1-1．（2021 南山区二模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
＝，解得x＝26，经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9＝26+9＝35，答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470．
②∵a＝﹣2＜0，∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，∴x+50≤65，
∴x≤15，∵x＜17时，y随x的增大而增大，∴当x＝15时，y最大＝2040．
15+50＝65．
答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
诊断2．（2018 南山区一模）随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．
（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；
（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；
（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？
【解答】解：（1）根据题意：y＝20000+×10000＝100x+20000；
（2）设所获的利润w（元），
则W＝（2200﹣1200﹣x）（100x+20000）
＝﹣100（x﹣400）2+36000000；
所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大；
（3）根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台，
此时47500＝100x+20000，
解得：x＝275．
所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．
内化2-1．（2018 南山育才中学二模）某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
【解答】解：（1）依题意有：y＝10x+160；
（2）依题意有：W＝（80﹣50﹣x）（10x+160）＝﹣10（x﹣7）2+5290，
因为x为偶数，
所以当销售单价定为80﹣6＝74（元）或80﹣8＝72（元）时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；
（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，
则200≤y≤260，200×50＝10000（元）．
答：他至少要准备10000元进货成本．
考点三:设售价类型
诊断．（2019 福田区一模）位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【解答】解：（1）根据题意得，y＝200+（60﹣x）×20
＝﹣20x+1400，
所以销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y＝﹣20x+1400（40≤x≤60）；
（2）w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣20x+1400）
＝﹣20x2+2200x﹣56000，
所以销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式w＝﹣20x2+2200x﹣56000；
（3）根据题意得56≤x≤60，
w＝﹣20x2+2200x﹣56000＝﹣20（x﹣55）2+4500
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝55，
∴当56≤x≤60时，w随x的增大而减小，
∴x＝56时，w有最大值，最大值＝﹣20（56﹣55）2+4500＝4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
内化1-1．（2018 福田区一模）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
【解答】解：（1）根据题意可得：
y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100；
（2）设每星期利润为W元，根据题意可得：
W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750．
则x＝55时，W最大值＝6750．
故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．
内化1-2．（2020秋 龙岗区期末）在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为20元，当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包．设该类型售价为x元（不低于进价），周利润为y元．请解答以下问题：
（1）求y与x的函数关系式？（要求关系式化为一般式）
（2）该药店为了获得周利润750元，且让利给顾客，售价应为多少元？
（3）物价局要求利润不得高于45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣20）[160﹣10（x﹣24）]＝（x﹣20）（400﹣10x）＝﹣10x2+600x﹣8000，
∴y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+600x﹣8000；
（2）当y＝750时，﹣10x2+600x﹣8000＝750，
整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35．
∵让利给顾客，∴x2＝35（舍）．
∴售价应为25元；
（3）y＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵利润不得高于45%，∴x﹣20≤20×45%，
解得：x≤29，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝30，
∴当x≤30时，y随x 的增大而增大，
∴当x＝29时，ymax＝﹣10（29﹣30）2+1000＝990．
∴当售价定为29元时，该药店获得利润最大，最大利润是990元．
挑战过关
1．（2021 深圳模拟）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180；
（2）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，∴当x＜70时，w随x的增大而增大，
∵销售利润不得高于30%，∴≤0.3，
解得：x≤65，
∴当x＝65时，w有最大值，最大值为750，
答：当销售单价定为65元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是750元；
（3）当每天利润为600元时，
由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得：x1＝60，x2＝80，
由（2）可知，二次函数开口向下，
当w≥600时，x的取值范围为：60≤x≤80，
∵销售量y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180，
由一次函数的性质，y随x的增大而减小，
∴当x＝60时，y最大，最大值为60，
∴为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为60千克．
2．（2022 龙岗区一模）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣2x+160．
（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，
整理得：x2﹣100x+2100＝0，解得：x1＝30，x2＝70，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，
答：每千克樱桃的售价应定为30元；
（2）设超市日销售利润为w元，
w＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵﹣2＜0，∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，
答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．
3．（2020秋 龙华区期末）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设第一次加价的增长率为x，由题意得：
10（1+x）（1+x+10%）＝24，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍）．
∴第一次加价的增长率为50%．
（2）设当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得：
y＝（m﹣10）[100+10（24﹣m）]
＝﹣10m2+440m﹣3400
＝﹣10（m﹣22）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当m＝22时，y取得最大值为1440．
∴当销售单价为22元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．
4．（2020 深实验三模）某商店试销一种新商品，该商品的进价为40元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价在40～70元之间的调整而不同．当售价在40～50元时，每月销售量都为60件；当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元．
（1）当售价在50～70元时，求每月销售量为y与x的函数关系式？
（2）当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
（3）若该商店每月采购这种新商品的进货款不低于1760元，则该商品每月最大利润为 元．
【解答】解：（1）令y＝kx+b
由图知：当x＝50时，y＝60；当x＝70时，y＝20．
∴，∴，
∴y＝﹣2x+160（50≤x≤70）；
（2）由题可知，
当40≤x≤50时，Q＝60（x﹣40）＝60x﹣2400，
∵60＞0，∴Q随x的增大而增大，
∴x＝50时，Q有最大值600元．
当50≤x≤70时，Q＝y（x﹣40）＝2x2+240x﹣6400＝﹣2（x﹣60）2+800，
∵﹣2＜0，∴x＝60时，Q有最大值800元．
综上所述，当该商品售价是60元时，该商店每月获利最大，最大利润是800元．
（3）设采购的数量为m，则40m≥1760，解得m≥44，
由（1）知，若40≤x≤50，则利润的最大值为600元；
若50≤x≤70，由﹣2x+160≥44可得x≤58，
∵Q＝﹣2（x﹣60）2+800中x＜60时，Q随x的增大而增大，
∴当x＝58时，Q取得最大值，最大值为792，
故答案为：792．
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应用题—二次函数利润问题
教学内容
1、图表类型；
2、涨降价类型；
3、设售价类型．
教学过程
考点一:图表类型
诊断1．（2019 深实验月考）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
内化1-1．（2021 深圳模拟）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
内化1-2．（2020 南山区三模）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p＝x+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
诊断2．（2021 深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
内化2-1．（2019 深圳三模）深圳市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y（万个）与销售单价x（元/个）之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：
销售单价x（元/个） … 20 25 30 35 …
每月销售量y（万个） … 60 50 40 30 …
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定（一件产品的利润率不得高于50%）请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．
内化2-2．（2018 深圳模拟）某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数关系，试销数据如下表：
售价（元/件） … 55 60 70 …
销量（件） … 75 70 60 …
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为ω元，试写出利润ω与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
考点二:涨降价类型
诊断1．（2021 福田区一模）某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价a元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
内化1-1．（2021 南山区二模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
诊断2．（2018 南山区一模）随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．
（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；
（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；
（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？
内化2-1．（2018 南山育才中学二模）某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售量为y个．
（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；
（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？
考点三:设售价类型
诊断．（2019 福田区一模）位于郑州市二七区的二七德化步行街是郑州最早的商业文化购物步行街，在郑州乃至中原都相当有名，德化步行街某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
内化1-1．（2018 福田区一模）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？
内化1-2．（2020秋 龙岗区期末）在新冠肺炎抗疫期间，某药店决定销售一批口罩，经市场调研：某类型口罩进价每包为20元，当售价为每包24元时，周销售量为160包，若售价每提高1元，周销售量就会减少10包．设该类型售价为x元（不低于进价），周利润为y元．请解答以下问题：
（1）求y与x的函数关系式？（要求关系式化为一般式）
（2）该药店为了获得周利润750元，且让利给顾客，售价应为多少元？
（3）物价局要求利润不得高于45%，当售价定为多少时，该药店获得利润最大，最大利润是多少元？
挑战过关
1．（2021 深圳模拟）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
2．（2022 龙岗区一模）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系y＝﹣2x+160．
（1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
3．（2020秋 龙华区期末）某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元件为定价售出，已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多10%．
（1）求第一次加价的增长率；
（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个，如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件，那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
4．（2020 深实验三模）某商店试销一种新商品，该商品的进价为40元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价在40～70元之间的调整而不同．当售价在40～50元时，每月销售量都为60件；当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元．
（1）当售价在50～70元时，求每月销售量为y与x的函数关系式？
（2）当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
（3）若该商店每月采购这种新商品的进货款不低于1760元，则该商品每月最大利润为 元．
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应用题—工程问题
教学内容
1、常规方程类；
2、不等式类．
教学过程
考点一:常规方程类
诊断．（2021春 福田区校级期中）大道进行改造，工程招标时，工程指挥部收到甲、乙两个工程队的投标书，根据甲、乙两队的投标书测算：若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作20天才可完成．
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了缩短工期，若安排两队共同完成这项工程需要多少天？
【解答】解：（1）设安排乙队单独完成这项工程需要x天，
依题意得：+＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：安排乙队单独完成这项工程需要60天．
（2）设安排两队共同完成这项工程需要y天，
依题意得：+＝1，
解得：y＝24．
答：安排两队共同完成这项工程需要24天．
内化1-1．（2017 深圳模拟）某工程，乙工程队单独先做10天后，再由甲、乙两个工程队合作20天就能完成全部工程，已知甲工程队单独完成此工程所需天数是乙工程队单独完成此工程所需天数的．
（1）求：甲、乙工程队单独做完成此工程各需多少天？
（2）甲工程队每天的费用为0.67万元，乙工程队每天的费用为0.33万元，该工程的预算费用为20万元，若甲、乙工程队一起合作完成该工程，请问工程费用是否够用，若不够用应追加多少万元？
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天，则：
+（+）×20＝1，解得x＝60．经检验：x＝60是原方程的根，
x＝×60＝40．
故甲队单独完成这项工程需要40天，乙队单独完成这项工程需要60天．
（2）设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，则：（+）y＝1，解得y＝24，
需要施工费用 （0.67+0.33）×24＝24（万元），24﹣20＝4（万元），
故工程费用不够用，应追加4万元．
内化1-2．（2014春 龙华区期末）某项工程，若由乙队独做2天后，再由甲、乙两队合做10天能完成全部工程．已知乙队每天的工效比甲队高25%．甲队每天的工程费3万，乙队每天的工程费3.5万．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）如果工程要求不超过12天完工，那么，在尽可能节约施工费用的情况下，该怎样安排甲乙两队施工？最低工程费是多少万元．
【解答】解：①设甲单独做需要x天完成，则
2×+10×（+）＝1，解得 x＝25．则25×＝20（天）．
答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需要25天、20天；
②甲队单独完成工程费用为3×25＝75（万元），乙队单独完成工程费用为3.5×20＝70（万元），
因此可以看到，安排乙队单独施工费用更低．
但乙队单独施工无法在12天完工，因此将工期按12天处理，尽可能安排乙队施工会节省费用
所以设甲队施工y天，则+＝1，解得y＝10．
因此安排甲乙合作施工10天，乙队单独施工2天可以尽可能节省费用．
10×3+12×3.5＝72（万元）．
答：安排甲乙合作施工10天，乙队单独施工2天可以尽可能节省费用，最低费用是72万元．
考点二:不等式类
诊断1．（2019春 南山区期末）南山区某道路供水、排水管网改造工程，甲工程队单独完成任务需40天，若乙队先做30天后，甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务．请问：
（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队用了x天做完其中一部分，乙队用了y天做完另一部分，若x、y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么，两队实际各做了多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由题意，得+×20＝1，解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的根．
答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务；
（2）根据题意得 +＝1．整理得 y＝100﹣x．
∵y＜70，∴100﹣x＜70．解得 x＞12．又∵x＜15且为整数，∴x＝13或14．
当x＝13时，y不是整数，所以x＝13不符合题意，舍去．
当x＝14时，y＝100﹣35＝65．
答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天．
内化1-1．（2016 福田区二模）深圳市地铁9号线梅林段的一项绿化工程由甲、乙两工程队承担，已知乙工程队单独完成这项工程所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
【解答】解：（1）设解工程队单独完成这项工作需要x天，则乙队单独完成需x天，
由题意，得66×+36×＝1，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，∴x＝80，
答：乙队单独完成需80天．
（2）∵甲队做其中一部分用了x天，乙队做另一部分用了y天，
∴+＝1即y＝80﹣x，
又∵x＜46，y＜52，∴，解得42＜x＜46，
∵x、y均为正整数，∴x＝45，y＝50，
答：甲队做了45天，乙队做了50天．
诊断2．（2019春 宝安区期末）宝安区某街道对长为20千米的路段进行排水管道改造后，需对该段路面全部重新进行修整，甲、乙两个工程队将参与施工，已知甲队每天的工作效率是乙队的2倍，若由甲、乙两队分别单独修整长为800米的路面，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲队每天可以修整路面多少米？
（2）若街道每天需支付给甲队的施工费用为0.4万元，乙队为0.25万元，如果本次路面修整预算55万元，为了不超出预算，至少应该安排甲队参与工程多少天？
【解答】解：（1）设甲队每天可以修整路面x米，则乙队每天可以修整路面x米，
根据题意，得+5＝
解得x＝160．
经检验，x＝160是原方程的根，且符合题意．
答：甲队每天可以修整路面160米；
（2）设应该安排甲队参与工程y天，
根据题意，得0.4y+×0.25≤55
解得y≥75．
故至少应该安排甲队参与工程75天．
内化2-1．（2020 宝安区二模）在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；
（2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成x米的清淤任务，则甲工程队每天能完成2x米的清淤任务，
依题意，得：﹣＝5，解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝20．
答：甲工程队每天能完成20米的清淤任务，乙工程队每天能完成10米的清淤任务．
（2）设应安排乙工程队清淤m天，则安排甲工程队清淤天，
依题意，得：0.8m+2×≤60，解得：m≥60．
答：至少应安排乙工程队清淤60天．
内化2-2．（2021 深圳模拟）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，
根据题意得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m+5×≤145，解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
挑战过关
1．（2020 南山区校级二模）在广深高速公路改建工程中，某路段长4000米，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知甲工程队每天比乙工程队多完成50米，如果甲、乙两工程队一起合作完成1500米所用时间与甲工程队单独完成1000米所用时间相同．
（1）求甲、乙两个工程队每天分别改建完成多少米？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，则甲、乙两个工程队各做多少天？最低费用为多少？
【解答】解：（1）设甲工程队每天改建完成x米，则乙工程队每天改建完成（x﹣50）米，
＝，解得，x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，∴x﹣50＝50，
答：甲、乙两个工程队每天分别改建完成100米、50米；
（2）∵乙工程队每天施工的费用比甲工程队费用一半多，而乙工程队每天完成的工程是甲的一半，
∴当甲工程队工作30天时，剩下的工程由乙队施工，总费用最低，此时乙施工的天数为：（4000﹣100×30）÷50＝20（天），
∴最低费用为：0.6×30+0.35×20＝25（万元），
即要使该工程的施工费用最低，则甲、乙两个工程队各做30天、20天，最低费用为25万元．
2．（2021 深圳模拟）某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天．
（1）求甲、乙两工程队每天维护道路的长度是多少千米？
（2）若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？
【解答】解：（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x千米，则甲工程队每天维护道路的长度是（1+50%）x千米，依题意得：﹣＝1，解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴（1+50%）x＝6．
答：甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米．
（2）设乙工程队先单独做m天，
依题意得：m+≤26，解得：m≤10．
设所需工程费用为w万元，则w＝15m+（25+15）×＝﹣m+800，
∵﹣1＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝10时，w取最小值，最小值＝﹣1×10+800＝790．
答：当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元．
3．（2020 盐田区二模）某段公路施工，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍，由甲、乙两工程队合作20天可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）若此项过程由甲工程队单独施工，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，已知甲工程队每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，要使施工费用不超过64万元，则甲工程队至少要单独施工多少天？
【解答】解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，
根据题意可得：+＝1，解得：x＝30，经检验x＝30是原方程的解．故x+30＝60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
（2）设甲工程队要单独施工m天，则甲、乙两工程队要合作施工＝天，
由题意得：m+×3.5≤64，解得：m≥36，答：甲工程队至少要单独施工36天．
4．（2021 罗湖区校级二模）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，解得x＝2000，经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，∵y＞0，∴80﹣1.5x＞0，x＜53.3，∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，∴w随x的增大而减小，∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
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应用题—工程问题
教学内容
1、常规方程类；
2、不等式类．
教学过程
考点一:常规方程类
诊断．（2021春 福田区校级期中）大道进行改造，工程招标时，工程指挥部收到甲、乙两个工程队的投标书，根据甲、乙两队的投标书测算：若让甲队单独完成这项工程需要40天；若由乙队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作20天才可完成．
（1）若安排乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了缩短工期，若安排两队共同完成这项工程需要多少天？
内化1-1．（2017 深圳模拟）某工程，乙工程队单独先做10天后，再由甲、乙两个工程队合作20天就能完成全部工程，已知甲工程队单独完成此工程所需天数是乙工程队单独完成此工程所需天数的．
（1）求：甲、乙工程队单独做完成此工程各需多少天？
（2）甲工程队每天的费用为0.67万元，乙工程队每天的费用为0.33万元，该工程的预算费用为20万元，若甲、乙工程队一起合作完成该工程，请问工程费用是否够用，若不够用应追加多少万元？
内化1-2．（2014春 龙华区期末）某项工程，若由乙队独做2天后，再由甲、乙两队合做10天能完成全部工程．已知乙队每天的工效比甲队高25%．甲队每天的工程费3万，乙队每天的工程费3.5万．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）如果工程要求不超过12天完工，那么，在尽可能节约施工费用的情况下，该怎样安排甲乙两队施工？最低工程费是多少万元．
考点二:不等式类
诊断1．（2019春 南山区期末）南山区某道路供水、排水管网改造工程，甲工程队单独完成任务需40天，若乙队先做30天后，甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务．请问：
（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队用了x天做完其中一部分，乙队用了y天做完另一部分，若x、y都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么，两队实际各做了多少天？
内化1-1．（2016 福田区二模）深圳市地铁9号线梅林段的一项绿化工程由甲、乙两工程队承担，已知乙工程队单独完成这项工程所需的天数是甲工程队单独完成所需天数的，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？
诊断2．（2019春 宝安区期末）宝安区某街道对长为20千米的路段进行排水管道改造后，需对该段路面全部重新进行修整，甲、乙两个工程队将参与施工，已知甲队每天的工作效率是乙队的2倍，若由甲、乙两队分别单独修整长为800米的路面，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲队每天可以修整路面多少米？
（2）若街道每天需支付给甲队的施工费用为0.4万元，乙队为0.25万元，如果本次路面修整预算55万元，为了不超出预算，至少应该安排甲队参与工程多少天？
内化2-1．（2020 宝安区二模）在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；
（2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？
内化2-2．（2021 深圳模拟）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
挑战过关
1．（2020 南山区校级二模）在广深高速公路改建工程中，某路段长4000米，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知甲工程队每天比乙工程队多完成50米，如果甲、乙两工程队一起合作完成1500米所用时间与甲工程队单独完成1000米所用时间相同．
（1）求甲、乙两个工程队每天分别改建完成多少米？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，则甲、乙两个工程队各做多少天？最低费用为多少？
2．（2021 深圳模拟）某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天．
（1）求甲、乙两工程队每天维护道路的长度是多少千米？
（2）若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？
3．（2020 盐田区二模）某段公路施工，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍，由甲、乙两工程队合作20天可完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）若此项过程由甲工程队单独施工，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，已知甲工程队每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，要使施工费用不超过64万元，则甲工程队至少要单独施工多少天？
4．（2021 罗湖区校级二模）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
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应用题—三角函数
教学内容
1、设未知数解三角形；
2、作高解三角形．
教学过程
考点一:设未知数解三角形
诊断．（2015 深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
【解答】解：如图，∵∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，
∴∠DAF＝30°，
∴AF＝DF＝10米，
在Rt△FGA中，
AG＝AF sin∠AFG＝10×＝5（米），
∴AB＝（1.5+5）（米）．
答：旗杆AB的高度为（1.5+5）米．
内化1-1．（2020 南山区校级一模）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【解答】解：在Rt△CAD中，，
则，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴，
解得，CD＝45（m）．
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
内化1-2．（2022 坪山区一模）如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）
【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，
∵BM＝CN＝1.7米，且BM⊥DM，CN⊥DM，
∴BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∵∠CNM＝∠BMN＝90°，
∴平行四边形BCNM是矩形，
同理，四边形CEDN是矩形，
∴ED＝CN＝1.7米，
∴AE＝AD﹣ED＝3.3﹣1.7＝1.6（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝58°，
∵，
∴CE＝≈＝1（米），
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，
∵＝1，
∴BE＝AE＝1.6（米），
∴BC＝BE﹣CE≈1.6﹣1＝0.6（米），
答：B、C两点的距离约为0.6米．
内化1-3．（2020 光明区一模）随着疫情逐步得到控制，在疫情防控初期驰援武汉的医护人员已陆续返回，深圳市为返深医护人员在中心区亮灯致敬．某大厦的立面截图如图所示，图中的所有点都在同一平面内，已知高度为1m的测量架AF在A点处测得∠1＝30°，将测量架沿AB方向前进220m到达G点，在B点处测得∠2＝45°，电子显示屏的底端E与地面的距离EH＝15m，请你计算电子显示屏DE的高度．（结果精确到1m，其中：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：∵在Rt△BCD中，∠2＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
设BC＝DC＝xm，
∵在Rt△ACD中，∠1＝30°，
∴，
∴，
∵AC﹣BC＝220，
∴，
解得．
∵DE＝DC+CH﹣EH，CH＝1，EH＝15，
∴（m）．
故电子显示屏DE的高度约为286m．
考点二:作高解三角形
仰角俯角：
诊断1．（2019 深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，从点E看向点C，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝AD＝600，
作CM⊥DE于M，
则CM＝AD＝600m，
在Rt△CEM中，tan53°＝＝＝，
∴EM＝450，
∴AC＝EM+ME＝950（米），BC＝AC﹣AB＝350（米），
答：隧道BC长为350米．
内化1-1．（2016 深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，
由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝8×4＝32（米），∴AD＝CD＝16（米），BD＝AB cos30°＝16（米），
∴BC＝CD+BD＝（16+16）米，
则BH＝BC sin30°＝（8+8）米．
内化1-2．（2020 南山育才二中一模）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度．（结果保留根号）
【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，如图所示：
（1）∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°，∴∠BPE＝30°，在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝9米，则x﹣x＝9，解得：x＝．则BE＝米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝米．
∴PQ＝PE﹣QE＝﹣＝9+3（米）．
答：电线杆PQ的高度为（9+3）米．
方向角：
诊断2．（2022 龙岗区一模）如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．
（1）求∠C的度数；
（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC与点E．
由题意得，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣45°＝30°；
（2）由题意得，AB＝40×＝20（海里），
在Rt△ABE中，BE＝AB sin45°＝10（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，
∴BC＝2BE＝20（海里），
答：B处船与小岛C的距离为20海里．
内化2-1．（2020 南山区校级一模）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西60°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上．
（1）求A、B之间的路程（精确到0.1米）；
（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）∵AB＝AO﹣BO，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝100米．
又∵AD＝CD×tan60°≈100×1.732＝173.2米，
∴AB＝AD﹣BD＝173.2﹣100＝73.2米，
（2）∵73.2米＝0.0732千米，5秒＝小时，
∴0.0732÷＝52.7千米/时．
∵52.7＜60，
∴该小车没有超速．
内化2-2．（2020 南外二模）一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）
【解答】解：（1）作BC⊥AP于C，在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝20，AC＝AB cosA＝20，
∵∠NBP＝15°，∴∠PBD＝75°，∴∠CBP＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴PC＝BC＝20，
∴AP＝AC+PC＝20+20，
在Rt△ADP中，∠A＝30°，
∴PD＝AP＝10+10，
答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（10+10）海里；
（2）设轮船每小时航行x海里，
在Rt△ADP中，AD＝AP cosA＝10+30，
∴BD＝AD﹣AB＝10﹣10，
由题意得，+＝，
解得，x＝60﹣20，
经检验，x＝60﹣20是原方程的解，
答：轮船每小时航行（60﹣20）海里．
挑战过关
1．（2018 南山区校级一模）如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．（＝1.73，结果保留一位小数．）
【解答】解：作BE⊥CD于E．
可得Rt△BED和矩形ACEB．
则有CE＝AB＝16，AC＝BE．
在Rt△BED中，∠DBE＝45°，DE＝BE＝AC．
在Rt△DAC中，∠DAC＝60°，DC＝ACtan60°＝AC．
∵16+DE＝DC，
∴16+AC＝AC，
解得：AC＝8+8＝DE．
所以塔CD的高度为（8+24）米≈37.9米，
答：塔CD的高度为37.9米．
2．（2021 宝安区二模）如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B在海岛A的南偏西63.4°方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1°位置．（参考数据：tan53.1≈，sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈，cos63.4°≈）
（1）求C点到岛的距离；
（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，设AD为x海里，
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝，cos∠DAC＝，∠DAC＝53.1°，
则CD＝AD tan∠DAC≈x（海里），AC＝≈x（海里），
在Rt△ADB中，tan∠DAB＝，∠DAB＝63.4°，
则BD＝AD tan∠DAB≈2x，由题意得，x+2x＝30，
解得，x＝9，∴x＝×9＝15（海里），
则C点到岛的距离AC约为15海里；
（2）设A处所派快艇的速度为y海里/小时，则B处所派快艇的速度为（y+25）海里/小时，
由题意得，＝，
解得，y＝25，
经检验，y＝25是原方程的根，
答：A处所派快艇的速度为25海里/小时．
3．（2021 深圳二模）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2），观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）
【解答】解：（1）由已知得AP＝BP＝AB＝15（cm），
在Rt△APE中，∠APE＝90°，sin∠AEP＝，
∴AE＝≈48（cm），
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为48cm；
（2）如图2，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，
∴∠BAF＝∠AEP＝18°，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，
AF＝AB cos∠BAF＝30×cos18°≈30×0.95≈28.5（cm），
BF＝AB sin∠BAF＝30×sin18°≈30×0.31≈9.3（cm），
∵BF∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝30°，
∴CF＝BF tan∠CBF≈9.3×tan30°＝9.3×≈5.36（cm），
∴AC＝AF+CF≈28.5+5.36≈34（cm）．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．
4．（2020 宝安区三模）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为（即tan∠PCD＝）．
（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．
（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
【解答】解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，∴四边形BEPF是矩形，∴PE＝BF，PF＝BE
∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC tan60°＝90（米），
故建筑物的高度为90米；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝＝，∴CE＝2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，∴AF＝AB﹣BF＝90﹣x，PF＝BE＝BC+CE＝90+2x，
又∵AF＝PF，∴90﹣x＝90+2x，
解得：x＝30﹣30，
答：人所在的位置点P的铅直高度为（）米．
5．（2021 深圳一模）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？
【解答】解：（1）过点B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，
设CD＝x，则BD＝x，
∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°
∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2
x 2+30x﹣4000＝0，
∴x＝50或﹣80（舍弃），
∴BD＝50．
（2）设运动时间为t，则AP＝14t，CQ＝20（t﹣4）．BC＝100
若点Q在点P的正东方向，则PQ∥AC，
∴＝，即：＝，得t＝8，
由∵△BPQ∽△BAC，
∴＝，即：＝，
得PQ＝12．
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应用题—三角函数
教学内容
1、设未知数解三角形；
2、作高解三角形．
教学过程
考点一:设未知数解三角形
诊断．（2015 深圳）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．
内化1-1．（2020 南山区校级一模）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
内化1-2．（2022 坪山区一模）如图为某学校门口“测温箱”截面示意图，当身高1.7米的小聪在地面M处时开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°，当他在地面N处时，此时在额头C处测得A的仰角为58°，如果测温箱顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求B、C两点的距离．（结果保留一位小数，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6）
内化1-3．（2020 光明区一模）随着疫情逐步得到控制，在疫情防控初期驰援武汉的医护人员已陆续返回，深圳市为返深医护人员在中心区亮灯致敬．某大厦的立面截图如图所示，图中的所有点都在同一平面内，已知高度为1m的测量架AF在A点处测得∠1＝30°，将测量架沿AB方向前进220m到达G点，在B点处测得∠2＝45°，电子显示屏的底端E与地面的距离EH＝15m，请你计算电子显示屏DE的高度．（结果精确到1m，其中：≈1.41，≈1.73）
考点二:作高解三角形
仰角俯角：
诊断1．（2019 深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，从点E看向点C，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．
内化1-1．（2016 深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
内化1-2．（2020 南山育才二中一模）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度．（结果保留根号）
方向角：
诊断2．（2022 龙岗区一模）如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．
（1）求∠C的度数；
（2）求B处船与小岛C的距离．（结果保留根号）
内化2-1．（2020 南山区校级一模）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西60°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上．
（1）求A、B之间的路程（精确到0.1米）；
（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
内化2-2．（2020 南外二模）一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）
挑战过关
1．（2018 南山区校级一模）如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C两点在同一水平线上，求塔CD的高．（＝1.73，结果保留一位小数．）
2．（2021 宝安区二模）如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B在海岛A的南偏西63.4°方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1°位置．（参考数据：tan53.1≈，sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈，cos63.4°≈）
（1）求C点到岛的距离；
（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．
3．（2021 深圳二模）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角，即望向屏幕中心P（AP＝BP）的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP＝18°时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2），观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为30cm．
（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）
（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，≈1.41，≈1.73）
4．（2020 宝安区三模）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC＝90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为（即tan∠PCD＝）．
（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．
（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
5．（2021 深圳一模）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿某一方向直航140海里的海岛B，其速度为14海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行3小时后，到达C港口接旅客，停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．
（1）求海岛B到航线AC的距离；
（2）甲船在航行至P处，发现乙船在其正东方向的Q处，问此时两船相距多少？
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